2022年上海数学高一知识点总结.docx

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1、集合与函数概念【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 .图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫

2、做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 .【】集合间的基本关系名称记号意义性质示意图1AAAB子集（或A 中的任一元素都属于 BBA（ 6）子集、真子集、集合相等2A3 如AB 且BC ,就AC或4 如AB 且BA ,就AB真子集ABAB ,且 B 中至少有一元素不属于 A（或 BA）（ 1）A（ A 为非空子集）2 如 AB 且 BC ,就 AC集合A 中的任一元素都属AB于 B,B 中的任一元素相等都属于 A(1) AB(2) BA（ 7）已知集合 A 有 nn1 个元素,就它有2n 个子集,它有 2n1个真子集,它有2n1 个非空子集,它有 2n2非空真子集 .【】集合的基本运算（ 8

3、）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图A I B交集 x | xA, 且xB（1） AI AA（2） AI（3） AI BAAI BBA U B并集 x | xA, 或（1）AU AA（2）AUA（3）AU BAAU BBxB补集eU A x | xU , 且xA1 AIeU A2 A U eU AU简洁规律用语1、命题： 用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句.真命题： 判定为真的语句 . 假命题： 判定为假的语句 .2、“如 p ,就 q”形式的命题中的p 称为命题的 条件 , q 称为命题的 结论 .3、原命题：“如 p ,就 q ”逆命题： “如 q ,就 p ” 否命题：“

4、如p ,就q ”逆否命题：“如q ,就p ”4、四种命题的真假性之间的关系：（1） 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；（2） 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系 5、如 pq ,就 p 是 q 的充分条件 , q 是 p 的必要条件 如 pq ,就 p 是 q 的充要条件 （充分必要条件） 利用集合间的包含关系：例如：如 A如 A=B,就 A 是 B 的充要条件；B ,就 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；6、规律联结词： 且 and：命题形式pq ；或（ or ）：命题形式pq ；非（ not ）：命题形式p .pqpqpqp真真真假真假真真假假假真假

5、真真假假假假真7、全称量词“全部的” 、“任意一个”等,用“”表示；全称命题 p：xM , p x ； 全称命题 p 的否定p：xM ,p x ；存在量词“存在一个” 、“至少有一个”等,用“”表示；特称命题 p：xM , px ； 特称命题 p 的否定p： xM ,p x ；【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集| x |a a0 x |axa| x |a a0x | xa 或 xa把 axb 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |a ,| axb |c,| axb |cc0| x |a a0 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解

6、法判别式000b 24ac二次函数yax2bxca0的图象一元二次方程2axx1,2bb22a4acbxc0a0x1x2b2a无实根的根（其中 x1x2 ax2bxc0 a0 x | xx1 或 xx2 x | xb2aR的解集ax2bxc0 a0 x | x1xx2的解集函数及其表示【】函数的概念（ 1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数x ,在集合 B中都有唯独确定的数f x 和它对应, 那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作f : AB 函数的三要素

7、: 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数,且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a, b ；满意axb 的实数 x 的集合叫做开区间,记做a,b ；满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 a,b , a,b ；满意 xa, xa, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a, a, b, b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需ab （ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是

8、整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 ytan x 中, xkkZ 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 a, b ,其复合函数f g x的定义域应由不等式ag xb 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问

9、题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ,就在a y0 时,由于x, y 为

10、实数,故必需有b2 y4a yc y0 ,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【】函数的表示法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映

11、射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A到 B 的映射,记作f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 aA, bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象函数的基本性质【】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量 的值 x1 、x2 , 当 x1 x2 时,

12、都（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性函数的单调性有 fx1fx2, 那 么 就说fx在这个区间上是 增函数假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量 的值 x 1、x2 ,当 x1 fx2 , 那 么 就说 fx在这个区间上是 减函数某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数yf g x , 令ug x , 如yf u为 增 ,ug x为 增 , 就yf gx 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u

13、为增, ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yyf gx 为减（ 2）打“”函数f xxa a x0 的图象与性质xf x 分别在 ,a 、a , 上为增函数,分别在oa ,0 、 0,a 上为减函数（ 3）最大（小）值定义一般地,设函数yf x的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xM ；（ 2）存在 x0I ,使得f x0M 那么,我们称M 是函数f x的最大值,记作fmax xM 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（ 1）对于任意的xI ,都有f xm ；（2）存在 x0I ,使

14、得f x0 m 那么,我们称m 是函数f x 的最小值,记作fmax xm 【】奇偶性（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法假如对于函数 fx定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x,都有 f x= 判肯定义域是否关于fx , 那么函数fx叫做 奇原点对称）函数的奇偶性函数假如对于函数 fx定义域内任 意 一 个 x , 都 有f x=fx, 那么函数 fx叫做偶函数（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 奇函数在 y 轴两侧

15、相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）利用基本函数图象的变换作图：；画出函数的图象要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf xyf xh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位k 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|

16、个单位yf xhyf xk伸缩变换yf x01,伸1,缩yf xyf x0 A 1,缩yAf xA 1,伸对称变换1yf xx轴yf xyf xy轴yf xyf x原点yf xyf x直线yxyf xyf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |yf x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |（ 2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途

17、径, 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 指数函数【】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念假如 xna, aR, xR, n1 ,且 nN,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时,a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根n式子a 叫做根式,这里n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数；当n 为偶数时, a0 根 式 的 性 质 ： n a na ； 当 n 为 奇 数

18、时 , n ana ； 当 n 为 偶 数 时 ,nnaa0a| a |aa0（ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 幂等于 0ma nnam a0, m, nN, 且 n1 0 的正分数指数m1 m1正数的负分数指数幂的意义是：an nn m a0, m, nN, 且 n1 0aa的负分数指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数rs（ 3）分数指数幂的运算性质 arasar s a0, r , sR a ars a0, r , sR abrar br a0, b0, rR【】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x a0 且 a1 叫做指数函

19、数a10a1图象定义域R值域0,过定点图象过定点0,1 ,即当 x0 时, y1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数1 x0a x1x01 x0a x1x0ax函数值的1 x0a x1x0ax变化情形xaa 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低对数函数【】对数与对数运算（ 1）对数的定义如 axN a0, 且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlog aN ,其中 a 叫做底数,N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog aNa xN a0, a1, N0 （ 2）几个重要的对数恒等式log a

20、10 , log a a1 , logabb a（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10 N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828）（ 4）对数的运算性质假如 a0, a1, M0, N0 ,那么加法： log a Mlog a Nlog a MN 减法： log a Mloga NMlog aN数乘：n log a Mlog a Mn nRlog Na aN lognn log0,log b N换底公式：ab Ma M bnRblog a Nblog b a0,且b1【】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数对数函数名称定义函数 ylog

21、 a xa0 且 a1 叫做对数函数a10a1图象定义域0,值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1 时, y0 奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数log a x0x1log ax0x1log a x0x1log ax0 x1log a x00x1log ax00x1函数值的变化情形a 变化对 图象的影响在第一象限内,a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高6 反函数的概念设函数yf x 的定义域为A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子 x y 如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和

22、它对应,那么式子 x y表示 x 是 y 的函数,函数 x y 叫做函数yf x 的反函数,记作x f1 y ,习惯上改写成1y f x （7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式yf x 中反解出 xf1 y ；将 xf1 y 改写成 yf1 x ,并注明反函数的定义域1（8）反函数的性质原函数yf x 与反函数 yf x 的图象关于直线 yx 对称函数yf x 的定义域、值域分别是其反函数1yf x 的值域、定义域如 Pa,b 在原函数yf x 的图象上,就P b,a 在反函数 yf1x 的图象上一般地,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数幂函数（ 1）幂函数的

23、定义一般地,函数yx 叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0 ,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性： 当为奇数时, 幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数当q（

24、其中pp, q 互质, p 和 qZ ）,如 p 为奇数 q 为奇数时, 就qqpyx是奇函数, 如 p 为奇数 q 为偶数时, 就qyx p是偶函数,如 p 为偶数 q 为奇数时,就yx p 是非奇非偶函数图象特点：幂函数yx , x0, ,当1 时,如 0x1,其图象在直线 yx 下方,如x1 ,其图象在直线 yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线 yx 上方,如 x1 ,其图象在直线 yx下方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式一般式：f xax 2bxc a0 顶点式：f xaxh2ka0 两根式：f xa xx1 xx2 a0 （ 2）求二次函数解析式的方法已知三个

25、点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（ 3）二次函数图象的性质二次函数f xax 2bxc a0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb , 顶点坐标是2ab4acb 2, 2 a4a当 a0 时,抛物线开口向上, 函数在 ,b 2a4acb2bb上递减, 在 , 上递增, 当 x时,2a2 abbfmin x；当 a4a0 时,抛物线开口向下,函数在,2a上递增,在 , 上2 a递减,当 xb时, fmax x2a4 acb 24 a二次函数f x2axbxc a0

26、 当2b4ac0 时,图象与 x 轴有两个交点M1x1,0,M2x2,0,|M1M2 | |x1x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0 a0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc0a0 的两实根为x , x ,且xx 令12122bf xaxbxc ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： a 对称轴位置： x2a判别式：端点函数值符号kx1 x2yy

27、bf k 0a0x2a.Ok x1x2xxb2akOx1.f k 0x2xa0x1 x2kya0f k0.Ox2x1k xyxb2aOkx1x 2x.xba02af k0x1 k x2af k 0ya0Okx1x2x.f k 0yx1Of k0.kx2xa0k1 x1x2 k2y. f k1 x1a00f k2 0.x 2yxb2ak1k2Ok1k 2xOx1.x2x.f k1 0xb2aa0f k 2 0有且仅有一个根 x（1或 x2）满意 k1 x（1或 x2 ） k2f k1 f k2 0,并同时考虑 f k1 =0或 f k2=0 这两种情形是否也符合y.Ok1a0f k1 0x1k

28、2x2x.yOx1f k1 .k10k2x2x.f k 2 0a0f k2 0k1 x1k2 p1 x2 p2此结论可直接由推出（ 5）二次函数f xax2bxca0 在闭区间 p, q 上的最值设 f x 在区间 p, q 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x01 pq 2（）当 a0 时（开口向上）b如2amf qp ,就mf p如 pbq ,就2amf b 如b2 a2aq ,就ffffOxOxOxffb如x0 ,就2aMf qbx0 ,就2aMf p 当 aff0 时 开口向下 OxOxf如bp ,就 M2af f p如 pbq ,就2aMf b 如2abq ,就2 aMf qf

29、ffOxOxOxfff如b2ax0 ,就 mf qb2ax0 ,就 mf p ffOxOxff函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成立的实数 x 叫做函数yf x xD 的零点；2、函数零点的意义： 函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根, 亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点：1（代数法）求方程f x0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数用函数的性质找出零

30、点4、二次函数的零点：yf x 的图象联系起来,并利二次函数 yax 2bxca0 ）,方程函数有两个零点）,方程ax 2ax 2bxcbxc0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次0 有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点）,方程ax 2bxc0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 就称为第几象限角第一象限角的集合为k 360ok 360o90o ,k其次象限角的集合为k 360o90ok 360 o180o, k第三象限角的集合为k 360o180ok 360o270