2022年全等三角形中做辅助线总结.docx

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1、全等三角形中做帮助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；线段垂直平分线,常向两端把线连；线段和差及倍半,延长缩短可试验；线段和差不等式,移到同一三角去；三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；一、由角平分线想到的帮助线口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；角平分线具有两条性质： a、对称性； b、角平分线上的点到角两边的距离相等；对于有角平分线的帮助线的作法,

2、一般有两种；从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线,构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；通常情形下, 显现了直角或是垂直等条件时, 一般考虑作垂线； 其它情形下考虑构造对称图形；至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件；与角有关的帮助线EA（一）、截取构全等如图 1-1 ,AOC=BOC,如取 OE=O,F 并连O接 DE、DF,就有 OED OFD,从而为我们证A明线段、角相等制造了条件；例1 如图 1-2 ,AB/CD, BE平分 BCD, CE平分 BCD,点 E 在 AD上,求证：BC=AB+C；DBDCF图1-1BEDFC例2 已知：如图 1-3 , AB=2AC,

3、 BAD=图1-2 CAD,DA=D,B 求证 DCAC例3 已知：如图 1-4 ,在 ABC中, C=2 B,AD平分 BAC,求证： AB- AC=CD分析：此题的条件中仍有角的平分线, 在证明中仍要用到构造全等三角形, 此题仍是证明线段的和差倍分问题； 用到的是截取法来证明的, 在长的线段上截取短的线段, 来证明；试试看可否把短的延长来证明呢？B练习1. 已知在 ABC中, AD平分 BAC, B= 2C,求证： AB+BD=ACAECD图1-42. 已知：在 ABC中, CAB=2B,AE平分 CAB交 BC于 E,AB=2AC,求证： AE=2CE3. 已知：在 ABC中, ABAC

4、,AD为 BAC的平分线, M为 AD上任一点；求证： BM-CMAB-AC精品文档沟通24. 已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分线 AD上的任一点,连接 DB、DC；求证： BD+CDAB+；AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；A例1 如图 2-1 ,已知 ABAD, BAC= FAC,CD=B；C求证： ADC+B=180D分析：可由 C 向 BAD的两边作垂线；近而证 ADCB与 B之和为平角；EFC图 2-1例2 如图 2-2 ,在 ABC中, A=90,AB=AC, ABD= CBD；求证

5、： BC=AB+ADB分析：过 D 作 DEBC于 E,就 AD=DE=C,E就构造出全等三角形, 从而得证；此题是证明线段的和差倍分问题, 从中利用了相当于截取的方法；ADCE图2-2例3 已知如图 2-3 , ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P；求证： BAC的平分线也经过点 P；A分析：连接 AP,证 AP平分 BAC即可,也就是证 P 到 AB、AC的距离相等；NDMFPBC练习：1. 如图 2-4 AOP=BOP=15 , PC/OA,PDOA,C图2-3BPA精品文档沟通OD3图2-4假如 PC=4,就 PD=（）A4B3C2D12. 已知在 ABC中, C=90, AD平分

6、 CAB,CD=1.5,DB=2.5. 求 AC；3. 已知：如图 2-5,BAC=CAD,ABA,D CEAB,A1AE=2 （ AB+AD）. 求证： D+ B=180；D4. 已知：如图 2-6, 在正方形 ABCD中, E为 CD 的中点,BF 为 BC上的点, FAE=DAE；求证： AF=AD+C；F5. 已知：如图 2-7 ,在 Rt ABC中, ACB=90 ,EC图2-5CDAB,垂足为 D, AE平分 CAB交 CD于 F,过 F 作 FH/AB 交 BC于 H；求证 C F=BH；ACDEEFHB图2-6 FCADB图2-7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边

7、上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交, 就截得一个等腰三角形, 垂足为底边上的中点, 该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质； （假如题目中有垂直于角平分线的线段,就延长该线段与角的另一边相交）；例1 已知：如图 3-1 , BAD=DAC,ABAC,CDAD于 D,H 是 BC中点；求证：1ADH= （AB-AC）2分析：延长 CD交 AB于点 E,就可得全等三角形；问题可证；B例2 已知：如图 3-2 , AB=AC, BAC=90 ,AD为 A精品文档沟通DCEH图示 3-1F AED4BC图3-2BC的平分线, CEBE.求证： BD=

8、2C；E例 3已知：如图 3-3 在ABC中, AD、AE分别 BAC的内、外角平分线, 过顶点 B 作 BFAD,交 AD的延长线于 F,连结 FC并延长9精品文档沟通交 AE于 M；求证： AM=M；EB分析：由 AD、AE 是 BAC内外角平分线,可得EAAF,从而有 BF/AE,所以想到利用比例线段证相等；AMDCEFN图3-3例4 已知：如图 3-4 ,在 ABC中, AD平分 BAC, AD=AB,CM AD交 AD1延长线于 M；求证： AM=2（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线 AD,自然想到以 AD为轴作对称变换,作 AB1D关于 AD的对称 AED,然后只需证 DM=

9、21EC,另外AE由求证的结果 AM=2（AB+AC）,即 2AM=AB+A,C也可F尝试作 ACM关于 CM的对称 FCM,然后只需证 DF=CBF 即可；练习：DnCM图3-41. 已知：在 ABC中, AB=5, AC=3, D是 BC中点, AE是BAC的平分线,且 CEAE于 E,连接 DE,求 DE；2. 已知 BE、BF 分别是 ABC的 ABC的内角与外角的平分线, AFBF于 F,AE BE于 E,连接 EF分别交 AB、AC于 M、N,求证1MN= BC2（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时, 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线, 从而构造等腰三角形；

10、或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交, 从而也构造等腰三角形；如图 4-1 和图 4-2 所示；CAHIDFEGBCAB图4-1图4-2例 4如图, ABAC, 1=2,求证： ABACBDCD；CA12DB如图, BCBA,BD平分 ABC,且 AD=C,D 求证： A+C=180；ABDC如图, ABCD,AE、DE分别平分 BAD各 ADE,求证： AD=AB+C；DDCE例 5例 6AB练习：1. 已知,如图, C=2A,AC=2BC；求证： ABC是直角三角形；CAB2. 已知：如图, AB=2AC, 1=2,DA=DB,求证： DCACA1 2C3. 已知

11、CE、AD是 ABC的角平分线, B=60,求证： ACB=AE+CDDAEBDC4. 已知：如图在 ABC中, A=90, AB=AC,BD是 ABC的平分线,求证： BC=AB+ADADBC二、 由线段和差想到的帮助线口诀： 线段和差及倍半, 延长缩短可试验； 线段和差不等式, 移到同一三角去；遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段；对于证明有关线段和差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第

12、三边,故可想方法放在一个三角形中证明；一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中显现的线段在一个或几个三角形中, 再运用三角形三边的不等关系证明,如：例1、 已知如图 1-1：D、E 为 ABC 内两点 ,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE两边延长分别交 AB、AC于 M、N, 在 AMN中, AM+ANMD+DE+（NE1;）AMDEN在 BDM中, MB+MDB；（D 2）在 CEN中, CN+NEC；E（ 3）B由（ 1） +（ 2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE

13、AB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长 BD交 AC于 F,廷长 CE交 BF于 G,在 ABF和GFC和 GDE中有：BAB+AFBD+DG+（G三F 角形两边之和大于第三边） （ 1）GF+FCGE+（CE同上）（2） DG+GED（E同上）（3） 由（ 1） +（ 2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+；ECB二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内C图11AGFDE图12CAGEDFC图21角时如直接证不出来时, 可连接两点或延长某边, 构造三角形, 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上, 小角处于这

14、个三角形的内角位置上, 再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为 ABC 内的任一点,求证： BDC BAC；分析： 由于 BDC 与BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加帮助线构造新的三角形,使 BDC 处于在外角的位置, BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD交 AC于点 E,这时 BDC是 EDC的外角, BDC DEC,同理 DEC BAC, BDCBAC证法二：连接 AD,并廷长交 BC于 F,这时 BDF是 ABD的外角, BDFBAD,同理, CDFCAD, BDF+CDFBAD+CAD,即： BDCBAC；留意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常

15、将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明；三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：A例如：如图 3-1：已知 AD 为 ABC 的中线, 且 1=N 2,3= 4,求证： BE+CFEF ；分析：要证 BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知 1=2,EF1 2 3 4CBD图313=4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF 移到同个三角形中；证明： 在 DN上截取 DN=D,B 连接 NE, NF,就 DN=D,C在 DBE和

16、NDE中： DN=D（B 帮助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边） DBE NDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得： CF=NF在 EFN中 EN+FNE（F 三角形两边之和大于第三边）BE+CFE；F留意：当证题有角平分线时, 常可考虑在角的两边截取相等的线段, 构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素；三、截长补短法作帮助线；例如：已知如图 6-1 ：在 ABC中, ABAC, 1= 2,P为 AD上任一点求证： AB-ACPB-P；C分析： 要证： AB-ACPB-P,C 想到利用三角形三边关系,定理证之,由于 欲证的线段之差,故用两边之差小于第三

17、边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在 AB上截取 AN等于 AC,得 AB-AC=B,N 再连接 PN,就 PC=PN,又在 PNB中, PB-PNPB-P；C证明：（ 截长法）在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN, 在APN 和APC 中AN=AC （帮助线作法）1= 2（已知）AP=AP （公共边）APN APC （ SAS ）,PC=PN （全等三角形对应边相等）在BPN 中,有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC 三角形两边之差小于第三边 AB-ACPB-PC ；例 1如图, AC平分 BAD,CEAB,且 B+D=180,求证： AE=AD+B；

18、EADECB例 2 如图,在四边形 ABCD中, AC平分 BAD,CEAB于 E,AD+AB=2A,E求证： ADC+B=180oDCAEB例 3 已知：如图,等腰三角形ABC中, AB=AC, A=108, BD平分ABC；求证： BC=AB+D；CADBC19精品文档沟通例 4 如图,已知 RtABC中, ACB=90, AD是 CAB的平分线, DMAB1于 M,且 AM=M；B求证： CD=2ADB；M【夯实基础 】C DB例：ABC中, AD是BAC 的平分线,且BD=CD ,求证 AB=AC方法 1：作 D E AB于 E,作 DF AC于 F,证明二次全等A方法 2：帮助线同上

19、,利用面积方法 3：倍长中线ADBCD【方法精讲 】常用帮助线添加方法倍长中线AA ABC 中方式 1： 延长 AD 到 E,AD 是 BC 边中线使 DE=AD ,CBBCDD连接 BE方式 2：间接倍长EAA作 CFAD于 F,延长 MD到 N,FBDC E作 BE AD的延长线于 EM连接 BEB使 DN=MD,连接 CDDCN【经典例题 】例 1： ABC 中, AB=5 , AC=3 ,求中线 AD 的取值范畴提示：画出图形,倍长中线AD ,利用三角形两边之和大于第三边例 2：已知在 ABC 中, AB=AC , D 在 AB 上, E 在 AC 的延长线上, DE 交 BC 于 F

20、,且DF=EF ,求证： BD=CEA方法 1：过 D 作 DG AE 交 BC 于 G,证明 DGF CEF方法 2：过 E 作 EGAB 交 BC 的延长线于 G,证明 EFG DFBD方法 3：过 D 作 DG BC于 G,过 E 作 EH BC的延长线于 H证明 BDG ECHBFCE例 3：已知在 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,且 BE=AC ,延长 BE 交AC 于 F,求证： AF=EFA提示：倍长 AD 至 G,连接 BG ,证明 BDG CDA三角形 BEG 是等腰三角形FEBDC例 4：已知：如图,在ABC 中, AB交 AE于点 F,

21、DF=AC.求证： AE 平分BACAC , D、E 在 BC上,且 DE=EC,过 D作DF / BAA提示：方法 1：倍长 AE 至 G,连结 DG方法 2：倍长 FE 至 H,连结 CHFBDEC第 1 题图例 5：已知 CD=AB , BDA= BAD ,AE 是 ABD的中线,求证：C= BAEA提示：倍长 AE 至 F,连结 DF证明 ABE FDE（ SAS）进而证明 ADF ADC（SAS）BEDC【融会贯穿 】1、在四边形ABCD 中, AB DC, E 为 BC边的中点, BAE= EAF ,AF 与 DC 的延长线相交于点 F；摸索究线段 AB 与 AF 、CF 之间的数

22、量关系,并证明你的结论提示：延长 AE、 DF交于 GA证明 AB=GC、AF=GF所以 AB=AF+FCDBCEF2、如图, AD 为 ABC 的中线, DE平分BDA 交 AB 于 E,DF 平分ADC 交 AC 于 F. 求证： BECFEFA提示：方法 1：在 DA 上截取 DG=BD ,连结 EG、FG 证明 BDE GDE DCF DGF 所以 BE=EG 、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ED 至 H,连结 CH 、FH证明 FH=EF 、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边EFBCD第 14 题图3、已知：如图,ABC 中, C=90 , CMAB 于

23、M , AT 平分 BAC 交 CM 于 D,交 BC于 T,过 D 作 DE/AB交 BC 于 E,求证： CT=BE.AM提示：过 T 作 TN AB于 N证明 BTN ECDDBETC1. 如图, ABCD,AE、DE分别平分 BAD各 ADE,求证： AD=AB+C；DDCEAB2. 如图, ABC中, BAC=90, AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且 B,C在 AE的异侧,BD AE于 D,CEAE于 E；求证： BD=DE+CE四、 由中点想到的帮助线口诀：三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；在三角形中, 假如已知一点是三角形某一边上的中点,

24、那么第一应当联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质 （直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）,然后通过探究,找到解决问题的方法；（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1,AD是 ABC的中线,就 S ABD=SACD=S ABC（由于 ABD与 ACD是等底同高的）；例 1如图 2, ABC中, AD是中线,延长 AD到 E,使 DE=AD,DF是 DCE的中线；已知 ABC的面积为 2,求： CDF的面积；解：由于 AD是 ABC的中线,所以 S ACD=SABC=2=1,又因 CD是 AC E的中线,故 S CDE=SACD=1,因 DF是 CDE

25、的中线,所以 S CDF=S CDE=1=； CDF的面积为；（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3,在四边形 ABCD中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD的中点, BA、CD的延长线分别交 EF的延长线 G、H；求证： BGE= CHE；证明：连结 BD,并取 BD的中点为 M,连结 ME、MF,ME是 BCD的中位线,MECD, MEF=CHE,MF是 ABD的中位线,MFAB, MFE=BGE,AB=CD, ME=M,F MEF=MFE,从而 BGE=CHE；（三）、由中线应想到延长中线例 3图 4,已知 ABC中,AB=5,AC=3,连 BC上的中线 AD=2,求

26、BC的长；解：延长 AD到 E,使 DE=AD,就 AE=2AD=2在 ACD和 EBD中,AD=ED, ADC=EDB, CD=B,DACDEBD, AC=BE,从而 BE=AC=；32=4；22222在 ABE中,因 AE+BE=4 +3 =25=AB,故 E=90,BD=,故 BC=2BD=2；例 4如图 5,已知 ABC中, AD是BAC的平分线, AD又是 BC边上的中线；求证： ABC是等腰三角形；证明：延长 AD到 E,使 DE=AD；仿例 3 可证：BED CAD,故 EB=AC, E=2,又 1=2, 1=E,AB=EB,从而 AB=AC,即 ABC是等腰三角形；（四）、直角

27、三角形斜边中线的性质例 5如图 6,已知梯形 ABCD中,AB/DC,ACBC,ADBD,求证： AC=BD；证明：取 AB的中点 E,连结 DE、CE,就 DE、CE分别为 Rt ABD,Rt ABC斜边 AB上的中线,故 DE=CE= AB,因此 CDE= DCE；AB/DC, CDE= 1, DCE= 2, 1=2,在 ADE和 BCE中,DE=CE, 1= 2, AE=BE,ADEBCE, AD=BC,从而梯形 ABCD是等腰梯形,因此 AC=BD；（五）、角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例 6如图 7, ABC是等腰直角三角形, BAC=90 , BD平分 ABC交 AC

28、于点 D,CE垂直于 BD,交 BD的延长线于点 E；求证： BD=2C；E证明：延长 BA,CE交于点 F,在 BEF和 BEC中, 1=2,BE=BE, BEF=BEC=90 ,BEFBEC, EF=EC,从而 CF=2CE；又 1+F=3+F=90,故 1=3；在 ABD和 ACF中, 1=3,AB=AC, BAD=CAF= 90,ABDACF, BD=C,F BD=2C；E注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线；（六）中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线；题目中假如显现了三角形的中线, 常延长加倍此线段 ,再将端点连结, 便可得到全等三角形；EF；例一：如图 4-1

29、：AD为 ABC的中线,且 1=2,3=4,求证： BE+CFA证明：廷长 ED至 M,使 DM=D,E 连接 CM,MF；在 BDE和 CDM中, BD=C（D 中点定义）1=5（对顶角相等）ED=M（D 帮助线作法）BDE CDM（SAS）又1= 2, 3=4（已知）1+2+ 3+4=180（ 平角的定义 ） 3+2=90 即： EDF=90EF1 2 34CBDM图41FDM= EDF=90在 EDF和 MDF中ED=M（D 帮助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDF MDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在 CMF中, CF+CMM（F三角形两边之和大于第

30、三边）BE+CFEF上题也可加倍 FD,证法同上；留意： 当涉及到有以线段中点为端点的线段时, 可通过延长加倍此线段, 构造全等三角形,使题中分散的条件集中；例二：如图 5-1 ：AD为 ABC的中线,求证： AB+AC2A；D分析：要证 AB+AC2A,D由图想到： AB+BDAD,AC+CD,A所D 以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2,AD左边比要证结论多BD+C,D 故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造 2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE,CEAAD为 ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在 ACD

31、和 EBD中DBCBD=C（D 已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（帮助线作法）E图51 ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB+BEA（E 三角形两边之和大于第三边）AB+AC2A；D练习：1 如图, AB=6,AC=8,D为 BC 的中点,求 AD的取值范畴；A68BDC2如图, AB=CD,E 为 BC的中点, BAC=BCA,求证： AD=2AE；ABECD3如图, AB=AC,AD=AE,M为 BE中点, BAC=DAE=90；求证： AM DC；A DBMCDDEDD4,已知 ABC,AD是 BC边上的中线,分别以 AB边、AC边为直角边

32、各向外作等腰直角三角形,如图 5-2 ,求证 EF=2AD；EFAB5已知：如图 AD为 ABC的中线, AE=EF,求证： BF=ACDC图52AEF常见帮助线的作法有以下几种：BDC1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折” ,所考学问点经常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形

33、,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长, 是之与特定线段相等, 再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特别方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的学问解答（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“期望杯”试题）已知,如图ABC中, AB=5,AC=3,就中线 AD的取值范畴是 .A精品文档沟通20BDC2：如图, ABC中, E、F 分别在 AB、AC上, DEDF,D 是中点,试比较 BE+

34、CF与 EF的大小.AEFBDC3：如图, ABC中, BD=DC=A,CE 是 DC的中点,求证： AD平分 BAE.ABDEC中考应用（09 崇文二模）以 ABC 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 RtABD 和等22精品文档沟通腰 RtACE ,BADCAE90 , 连接 DE,M、N 分别是 BC、DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系（1） 如图 当 ABC 为直角三角形时, AM与 DE的位置关系是,线段 AM与 DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转090 后, 如图所示,（1）问中得到的两个结论是否发生转变？并说明理由（二）、

35、截长补短1. 如图,ABC 中, AB=2AC, AD平分 BAC ,且 AD=BD,求证： CDACACBD2：如图, ACBD,EA,EB分别平分 CAB,DBA,CD过点 E,求证;AB AC+ADBDEBC3：如图,已知在ABC 内,BAC060 ,C400 ,P,Q 分别在 BC,CAA上,并且 AP,BQ分别是 BAC ,ABC 的角平分线；求证： BQ+AQ=AB+BPBQPC4：如图,在四边形ABCD中, BC BA,AD CD, BD 平分 ABC ,求证：AC180 0ADBC5: 如图在 ABC中, ABAC, 1 2,P 为 AD上任意一点,求证 ;AB-ACPB-PC

36、A12PBCD中考应用（08 海淀一模）例题讲解：一、利用转化倍角,构造等腰三角形当一个三角形中显现一个角是另一个角的2 倍时,我们就可以通过转化倍角查找到等腰三角形 .如图中 ,如 ABC 2 C,假如作 BD 平分 ABC,就 DBC 是等腰三角形；如图中 ,如 ABC 2 C,假如延长线 CB 到 D,使 BDBA ,连结 AD ,就 ADC是等腰三角形； 如图中 ,如 B 2ACB,假如以 C 为角的顶点, CA 为角的一边,在形外作 ACD ACB ,交 BA 的延长线于点 D,就 DBC 是等腰三角形 .DAAAD精品文档沟通23B CDBC BC1、如图, ABC 中, AB A

37、C, BDAC 交 AC 于 D.求证： DBC 12BAC .ADBC2、如图, ABC 中, ACB 2 B, BC 2AC.求证： A 90.ABC二、利用角平分线 +平行线,构造等腰三角形当一个三角形中显现角平分线和平行线时,我们就可以查找到等腰三角形.如图中,如 AD 平分 BAC , AD EC ,就 ACE 是等腰三角形； 如图中, AD 平分 BAC, DE AC,就 ADE 是等腰三角形； 如图中, AD 平分 BAC, CE AB,就 ACE 是等腰三角形；如图中, AD 平分 BAC, EF AD,就 AGE 是等腰三角形 .E EAAAAEGBCBDBDCBC CDFDE3、如图,