【培训课件】地图的数学基础(共98张).pptx

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1、新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水

2、准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2. 起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。 它是一

3、个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 fEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorabWGS world geodetic system 84 ellipsoid:a = 6 378 137mb = 6 356 752.3mequatorial diameter = 12 756.3kmpolar diameter = 12 713.5kmequatorial c

4、ircumference = 40 075.1kmsurface area = 510 064 500km2 a - b 6378137 - 6356752.3f = = a 6378137 1 = 298.257 f对 a，b，f 的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三

5、级逼近。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。新编地图学教程 第2章 地

6、图的数学基础 地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。2 用经纬度表示地面点位的球面坐标。 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 天文经纬度：表示地面点在上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 大地经纬度：表示地面点在上的位置，用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。大地经度l l ：指

7、参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980

8、年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球：ICA-75椭球参数a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.257新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2.中国的大地控制网平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。 由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。中国高程起算面是 黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点

9、的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升 29毫米。 青岛观象山水准原点 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础绝对高程相对高程国家水准原点 国家测绘局新编地图学教程 第2章 地图的数学基础平面控制网国家测绘局新编地图学教程 第2章 地图的数学基础高程控制网国家测绘局新编地图学教程 第2章 地图的数学基础水准面示意图国家测绘局新编地图学教程 第2章 地图的数学基础GPS控制网国家测绘局新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satelli

10、te Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1. GPS系统由三个独立的部分组成空间部分空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55，两个轨道面之间在经度上相隔60，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 地面支撑系统地面

11、支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础用户设备部分用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. GPS系统定位原理数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未

12、知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。 通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的新编地图学教程 第2章 地图的数学基础3.常用GPS测量模式 常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 。快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站

13、，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。 这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。静态测量模式新编地图学教程 第2章 地图的数学基础准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等

14、。 要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。动态测量模式新编地图学教程 第2章 地图的数学基础实时动态测量：DGPS和RTK 在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在机进行处理，从而实时得到移动站的高精度位置。 DGPS通常叫做实时差分测量，精度为亚米级到米级，这种 方式是基准站将基准站上测量得到的RTCM数据通过数据链传输到移动站，移动站接收到RTCM数据后，自动进行解算，得到经差分改正以后的坐标。 RTK 则是以载波相位观测量为根据的实

15、时差分GPS测量，它是GPS测量技术发展中的一个新突破。它的工作思路与DGPS相似，只不过是基准站将观测数据发送到移动站（而不是发射RTCM数据），移动站接收机再采用更先进的在机处理方法进行处理，从而得到精度比DGPS高得多的实时测量结果。这种方法的精度一般为2cm左右。 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础3 地球椭球体表面是不可展曲面，要将曲面上的客观事物表示在有限的平面图纸上，必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。 地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。x = f1( , l

16、 ) y = f2( , l )新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1. 地图比例尺的含义地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离） 根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。1dDM新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. 地图比例尺的表示 数字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百万分之一 图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺新编地图学教

17、程 第2章 地图的数学基础1. 投影变形的概念 把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发 现变形表现在长度、面积和角度三个方面。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2.变形椭圆XmX为经线长度比；为纬线长度比YnY新编地图学教程 第2章 地图的数学基础微小圆变形椭圆 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即： 以O为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得得XmXYnY22221XYmn新编地图学教程 第2章 地图的数学基础特别方向：特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向 长轴方向（极大值）a短轴方向（极小值）b

18、经线方向 m ；纬线方向 n统称统称 主方向主方向据，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab新编地图学教程 第2章 地图的数学基础3.投影变形的性质和大小 和： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。 m表示长度比长度比，Vm表示长度变形长度变形 长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。d dssm1Vmm= 0 不变 0 变大 0 变大 0 变小新编地图学教程 第2章 地图的数学基础： 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以表示角度最大变形。 设A点的坐标为（x、y），A

19、点的坐标为(x 、y )，则tanyxtanyx xax yby新编地图学教程 第2章 地图的数学基础tantanbybaxatantantantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab将上式两边各减和加 tan 即：将两式相除，得：新编地图学教程 第2章 地图的数学基础sin()sin()ababsin()abab(1802 )(1802 )2()mmsin2ababtan(45)2ba22222sinsin22sinmnmnmnmnqq 显然当（ + ）= 90时，右端取最大值，则最大方向变形：以表示

20、角度最大变形：若已知 m, n, q ，则：新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1. 几何投影法 地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把椭球面直接透视到平面上，或透视到可展开的曲面上，如平面、圆柱面和圆锥面。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. 数学解析法 以正轴圆锥投影为例经线经线 投影为放射直线，经差l 与投影面上d成正比：d = cl （c为圆锥系数，0 c 1）。 纬线纬线 投影为同心圆弧，其半径 r 是纬度 的函数， r = f（）。圆锥投影的一般公式为：X = r s - r cos r = f() Y = r sin d d = cl新编地图学教程 第2章 地图的数学

21、基础ddA BmABRrdcos dA DmADRr d lPmnsin2mnmndddcos dcoscRRRrr dr l2tan (45/2)kkUretan(45/2)tan (45/2)Uysinesiny等角投影条件：=0，m=n，构成经移项、积分、整理得：新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1. 按地图投影的构成方法分类 （1）: 将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展

22、为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 （2） 根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。除中央经线为直

23、线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. 按地图投影的变形性质分类 : 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零 =0（或 a=b，m=n）。: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 : 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方

24、向上没有长度变形的任意投影（m=1）。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1. 传统地图的投影变换 格网转绘法 蓝图嵌贴法新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. 数字地图的投影变换 投影变换的一般公式 X = f1(x,y) Y = f2(x,y)x = f1(, l ) X = 1(, l )y = f2(, l ) Y = 2(, l ) = (x,y) l =l(x,y)X = 1(x,y), l(x,y) Y = 2(x,y), l(x,y) 定域内单值、连续A投影 B投影反解代入 B新编地图学教程 第2章 地图的数学基础如不知地图的投影系统

25、，可通过多项式实施变换：X = a00 + a10 x + a20 x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30 x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + Y = b00 + b10 x + b20 x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30 x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + 系数 aij， bij 可用多个已知坐标点求出。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 根据投影方程进行变换的实例 等角圆柱投影 等角圆锥投影 x = rk lnU , y = rkl y U = e n , l= rk x( n =

26、) rkr = K / U2 X = r s - r cosd = l Y = r sin dK 为积分常数， 为圆锥系数cos()esankkyXrrsin()eankkyYr新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 根据投影方程进行变换的实例 等距圆柱投影 等距圆锥投影 x = s , y = rkl yl= rk yX = r s - (C - s )cos( ) rk yY = (C - s ) sin( ) rkr = C - s X = r s - r cos dd = l Y = r sin dC 为积分常数，s 为纬度的经线弧长新编地图学教程 第2章 地图的数学基础4 1.制图区

27、域的范围、形状和地理位置 2.制图比例尺 3.地图的内容 4.出版方式新编地图学教程 第2章 地图的数学基础1.制图区域的范围、形状和地理位置制图区域的地理位置决定 投影种类制图区域的形状直接制约 投影选择制图区域的范围大小影响 投影选择新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2.制图比例尺 不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。 中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础3. 地图的内容主题和内容不同，对投影的要求也不同。要求方向正确，应选择等角投

28、影要求面积对比正确，应选择等积投影教学或一般参考图，要求各方面变形都不大，则应选择任意投影新编地图学教程 第2章 地图的数学基础4.出版方式单幅图系列图地图集新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 1. （） 以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。 由德国数学家、天文学家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地测量学家克吕格（J. Krger，18571923）共同创建。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 此投影无角度变形，中央经线无长度变形。为保证精度，采用分带投影方法： 经

29、差 6或 3分带，长度变形 0.14%新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 中国国家基本比例尺地形图采用高斯-克吕格6分带投影：1 1万（3分带）1 2.5万、1 5万、1 10万、1 25万、1 50万。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8 myA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。又称

30、 Universal Transverse Mercator UTM 投影。 此投影无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约180km处的两条割线上无变形。亦采用分带投影方法：经差6或3分带。长度变形 1任意投影适于南北方向延伸地区地图新编地图学教程 第2章 地图的数学基础普通多圆锥分带投影图 将整个地球按一定经差分为若干带，每带中央经线投影为直线，各带在赤道相接。用于制作地球仪。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础等差分纬线多圆锥投影 中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础正切差分纬线多圆

31、锥投影 中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础世界图新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 设想以圆柱面为投影面，使圆柱面与地球表面相切或相割，将地球表面上的经纬线投影到圆柱面上，再把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础2. 圆柱投影 正轴等角圆柱投影 由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus，15121594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影。特点特点: 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的实用价值。新

32、编地图学教程 第2章 地图的数学基础墨卡托投影等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。 等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。大圆航线：地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础墨卡托投影等角航线 在图上表现为直线。这一特性对航海具有很重要的意义。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也 称为大圆航线新编地图学教程 第2章 地图的数学基础新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 3. 伪圆柱投影 是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行

33、直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。 桑逊（Sanson）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影常用的投影方案：新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 桑逊（Sanson - Flam steed）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由法国桑逊于1650年设计。投影特点：P = 1 无面积变形n = 1 纬线长度比为1m0 = 1 中央经线长度比=1m 1 经线长度比 1新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 摩尔威特（Mo

34、llweide）投影 经线为正弦曲线的等积伪圆柱投影，纬线为间隔相等的平行直线，每条纬线上经线间隔相等。由德国摩尔威特于1805年设计。投影特点：P = 1 无面积变形S90 = Searth / 2赤道长度= 中央经线 2常用于编制世界地图及东、西半球地图S90 = Searth / 24044 11.8 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 古德（Goode）投影 美地理学家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。投影特点： 分瓣、组合投影， 变形减小且均匀 大陆完整，大洋割裂 大

35、洋完整，大陆割裂 常用于编制世界地图新编地图学教程 第2章 地图的数学基础摩尔威特 古德投影新编地图学教程 第2章 地图的数学基础第 2 章 结 束 新编地图学教程 第2章 地图的数学基础阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和；两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘积。KKLOabmn有:m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab 椭圆内任一条直径d的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成另一直径d ， 则d 称为d的共轭直径。返回新编地图学教程 第2章 地图的数学基础 斜分比例尺 也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。新编地图学教程 第2章 地图的数学基础演讲完毕，谢谢观看！