2022年全国高中数学联赛模拟试题第一试试题.docx

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1、精品学习资源一、挑选题全国高中数学联赛模拟试题第一试试题欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源nk1、对任意一组非负实数a1,a 2, ,a n，规定 a1=an+1，假设有a 2k 1ak ak 12ak 1nai 恒成立，那i 1欢迎下载精品学习资源么实数的最大值为.欢迎下载精品学习资源A 0B.2C 1D 22欢迎下载精品学习资源2、A， B， C 为 ABC的三个内角，记 y=sin3A+sin3B+sin3C，那么 y 的取值范畴是；欢迎下载精品学习资源A 0 ， 2B2, 3 32C -2 ，2D0, 332欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3、假设 p,q N+且 p+q

2、2007, 0p0, y0，且202 ， 数 列 a n 定 义 如 下 ： a0=1,a1=a,an+1=2aa2n2 ann 1， 证 明 ： 对 任 何 k N， 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11a0a111 2aak2a 24 ；欢迎下载精品学习资源15、设抛物线 S 的顶点在原点，焦点在x 轴上，过焦点F 作一条弦 AB，设 AO，BO延长线分别交准线于C， D，假设四边形 ABCD的面积的最小值为8，试求此抛物线的方程；以下是答案欢迎下载精品学习资源一、挑选题1、 C因 为aaa22kk ak 1k 122aakk 122ak2ak 1 22akak 12， 所 以欢

3、迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2nakak ak 1k 1ak 1akak 1nk 12nak .k 1欢迎下载精品学习资源又当 a1=a2= =an 时，“ =成立，所以最大为1；2、B当 A=B， C 0 时， y -2 ，设 A B C，那么C，所以sin3C 0, 所以 y-2 ；又当23欢迎下载精品学习资源A=B=, C 97时 ， y 93 3， 且 y=sin3A+sin3B+sin3C23 A2 cos23 BCcos23 Asin2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源213 13sin 3A221sin 3 A 233 .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源

4、3、C记 2007=n，往证11 . 当 n=2 时，明显成立；设当n=k 时成立，当 n=k+1 时，取全部满意pq2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源p+q=k, p,q=1的1 的和记为 S，全部形如pq1 pb0,Pr 1cos ,r 1sin ,Q22br2 cos,r22sin2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11rr即 Q-r 2sin ,r 2cos ，由于P， Q 在椭圆上，所以2221211a 2b 2；设 O 到 PQ 距离为 d. 那么欢迎下载精品学习资源dr1 r2abcc22ab ，解得51e1.欢迎下载精品学习资源rrab222212欢迎下载精品学习

5、资源5、D 当 x 10 时，log2-2mx -2 即 lgx lgm 或 lgx lgm m0 且 m 1 ，解得 1m10 或10m1.10欢迎下载精品学习资源6、D 问题等价于求方程x1+x2+x3+x4+x5=20 满意 i j,x i xj 的正整数解组数， 先考虑方程 y 1+y2+y3+y4+y5=5满意 0 y 1y 2 y 3 y 4 y 5 的非负整数解， 设满意 y1+y 2+ +yk=n 满意 0 y1y2 yk 的非负整数解组数欢迎下载精品学习资源为 fk,n.那么 f5,5=1+f4,5 =1+1+f3,5=2+f2,2+f2,5=7.所以所求方程正整数解有75！

6、组；应选 D；二、填空题欢迎下载精品学习资源7、 2.由|2z 3-z 1+z2| |z 1-z 2| 得欢迎下载精品学习资源2|z 3|-|z1+z2| |z 1-z 2| 和|z 1+z2|-2|z3| |z 1-z 2| ，欢迎下载精品学习资源所以 12|z 1+z2|-|z1-z 2| |z 3| 1 |z 1+z2|+|z 1-z 2|.2222欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又|z 1+z2|-|z1-z 2|=| z1z2 | z1z| 22| z1z|2| z1z|2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源24| z1 | z2|2 22.欢迎下载精品学习资源当且仅当

7、 z1,z 2 辐角相差时， |z 3| 取最大值2.2欢迎下载精品学习资源又|z 3| 0，当且仅当 z2,z 1 辐角相差时， z 3 可以为 0，所以 |z 3| min =0.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8、 1 tan 343 tan,；由 a.b=3 ,-1.221 ,3=022欢迎下载精品学习资源222332得 ab，又 cd，那么 a+tan-3b .-ka+tanb=0,欢迎下载精品学习资源即 ka=tan-3tanb，所以 k|a|2=tan-3tan|b|,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由题设 |a|=2,|b|=1；从而 k1 1 tan 34

8、43 tan,；22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9、 3 .4设抛物线方程为 y22 px p0 ，点 Cx 1,y 1 把 AM参数方程x x1yy y1t cos t sin,2代入 y =2px 得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22t sin +2ysin -pcos t+y 2 -2px=0，所以 t t12 px1，又 | BC |2 px11y2，欢迎下载精品学习资源21111 2sin 22 p欢迎下载精品学习资源所以 ACCM2 p，同理 AEEM2 p，所以 DE3 .欢迎下载精品学习资源BCsin 2DEsin 2BC4欢迎下载精品学习资源10、0假设

9、存在这样的函数fx ，那么由条件知它为单射，且ff0=0=ff1+1，所以 f0=f1+1.又 ff1=1=ff0+1，所以 f1=f0+1，与冲突；11、由 an+1 =n-1a n+an-1得 an+1 -nan=-a n-n-1a n-1 ，所以 a n+1-nan 是首项为 a2-a1 =1，公比为 -1 的等比数列，欢迎下载精品学习资源所以 an+1-nan=-1n-1，所以an 1n.an n1.1 n 11n.欢迎下载精品学习资源在中用 2， 3， n-1 代替 n 并相加得an n1.a2111.2.1 21 + +-1 n-2.1111211n 1211.2.3.n1.3.n

10、1.1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ann1.；欢迎下载精品学习资源012、90 延长 AD， BC交于 E，连结 PE，那么 DE=DA， PA=PE= 2,AE=2，所以 PEPA，又 PDAB ， ABAD ，所以 AB平面 PAE， 所以 PEAB ，所以 PE平面 PAB ；所以 A PB C 为直二面角；三、解答题13、证明1假设 0x 1，那么 0xy ycosy ， 又 cosx 1，所以 1+cosxycosx+cosy ；2假设 0cosxcosy ； xy2xy欢迎下载精品学习资源3假设 x1,y1 ，那么 xy, 记t42，那么欢迎下载精品学习资源欢迎

11、下载精品学习资源20t , 所以 xy t 22，所以 cosxy cost,22欢迎下载精品学习资源又 cosx+cosy=2cosxy cos xy 2222 cost ,2欢迎下载精品学习资源所以只需证 1+cost 2cost ，即证 ft=1+cost-2cost 0.欢迎下载精品学习资源这 里 t1,， 那 么2f t sin t 2 2t2 sin t2t sin ttsin t 2, 因 为 0ttsintsin t t, 所以f t 0.欢迎下载精品学习资源所以 ft在 1,上单调递减，又f2212 cos, 2欢迎下载精品学习资源而由于2322，所以9cos21cos,32

12、欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f20 ，所以 ft0；所以原不等式成立；欢迎下载精品学习资源2a1a2a12欢迎下载精品学习资源14、证明记 fx=x-2 ，那么 fx在0,+ 上是增函数，又2 ，所以a0a1f=a -aa ，所a0欢迎下载精品学习资源a2a1an 1an欢迎下载精品学习资源以，依此类推有2 ，再用数学归纳法证明原命题；欢迎下载精品学习资源a1a0anan 1欢迎下载精品学习资源1当 k=0,1 时，不等式明显成立；2设当 k=m时，原不等式成立；欢迎下载精品学习资源当 k=m+1时，由于 ananan 1an 1an 2a2a1a1a0f n1 af n2

13、af 1 a f0 a,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0其中 faa ，所以 11f 0 a1f 0 a f1 af 0 a1 f 1 af n1 a0 ，设 Ay211 , y，欢迎下载精品学习资源y22B2 , y， C2 pp , y， D 23yp , y， F 24y2 pp ,0；2p 2欢迎下载精品学习资源由于 A， O， C 三点共线，所以31yp2122pp 2，所以y3.y12欢迎下载精品学习资源同理，由 B， O， D 共线有 y4，又由于 A， F， B 共线，所以 y 1y 2=-p ,y2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 y1p2，所以点 C 坐标为y2p, y22， D 坐标为p；, y12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 AD/BC/x轴，所以 ABCD为直角梯形；由抛物线定义， |BF|=|BC|，|AF|=|AD|，设 BFx=，那么 ABCD面积 S22 p= 1 |AB| 2sin =2 ，欢迎下载精品学习资源ABCD22 psin 3欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源当且仅当时， SABCD取最小值 2p ，由 2p =8，所以 p=2；故所求抛物线方程为y2= 4x.欢迎下载