基于改进dft相位差的正弦波频率估计-王晓峰.pdf

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1、doi:10.3969/ j. issn.1001-893x.2016.10.012引用格式:王晓峰,邢敏捷,刘歌,等.基于改进DFT相位差的正弦波频率估计J.电讯技术,2016,56(10):1129-1133. WANG Xiaofeng,XINGMinjie,LIU Ge,et al. Sinusoidal signal frequency estimation based on improved DFT phase differenceJ. Telecommunication Engineering,2016,56(10):1129-1133. 基于改进DFT相位差的正弦波频率估计*王

2、晓峰* * 1,邢敏捷2,刘 歌1,赵汝鹏1(1.空军航空大学信息对抗系,长春130022;2.解放军93175部队,长春130051)摘 要:针对基于离散傅里叶变换(DFT)相位差的正弦波频率估计方法对频偏敏感的问题,提出了一种改进DFT相位差频率估计方法。首先推导了DFT相位差法频率估计的均方误差,然后提出了基于Rife插值的改进DFT相位差频率估计方法,较好地解决了正弦波频率估计对频偏敏感的问题。仿真实验结果表明,改进方法在各种频偏下均能取得较高的估计精度,估计性能接近克拉美罗限(CRLB)。关键词:正弦波频率估计;频偏敏感;DFT相位差;Rife插值中图分类号:TN911.6 文献标志

3、码:A 文章编号:1001-893X(2016)10-1129-05Sinusoidal Signal Frequency Estimation Based onImproved DFT Phase DifferenceWANG Xiaofeng1,XING Minjie2,LIU Ge1,ZHAO Rupeng1(1. Information Countermeasure Department,Aviation University of Air Force,Changchun 130022,China;2. Unit 93175 of PLA,Changchun 130051,China)

4、Abstract:The frequency offset sensitivity problem of discrete Fourier transform(DFT) phase differencemethod in sinusoid wave frequency estimation is studied. An improved DFT phase difference frequency esti-mation method is presented. Firstly,the mean-squared error(MSE) of DFT phase difference method

5、 is de-duced. And then,an improved DFT phase difference frequency estimation method based on Rife interpola-tion is proposed. The improved method has well solved the problem of sensitivity to frequency offset. Thecomputer simulation results indicate that the improved method has higher estimation acc

6、uracy in any fre-quency offset,and its estimation performance is close to Cramer-Rao lower bound(CRLB).Key words:sinusoidal signal frequency estimation;frequency offset sensitivity;DFT phase difference;Rifeinterpolation1 引 言正弦波信号频率估计在雷达、通信、声纳以及电子对抗等诸多涉及信号处理的领域有着广泛的应用,且经常作为其他复杂信号处理的基础工具,具有十分重要的研究价值1-

7、5。文献6给出了加性高斯白噪声背景下正弦波频率的最大似然估计,估计性能接近克拉美罗限(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB),是最优估计,但该方法需要进行一维搜索,计算量太大,无法工程实现7。基于离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)计算速度快,适合于实时处理,特别是随着硬件技术的迅速发展,基于DFT的频率估计方法获得了广泛应用,但DFT算法栅栏效应导致的频偏严重影响了频率估计精度。文9211第56卷第10期2016年10月电讯技术Telecommunication

8、 EngineeringVol.56,No.10October,2016*收稿日期:2016-03-25;修回日期:2016-05-25 Received date:2016-03-25;Revised date:2016-05-25通信作者:wxf870516126. com Corresponding author:wxf870516126. com万方数据献8提出利用信号FFT的最大两根谱线进行插值估计正弦波频率,即Rife算法。但Rife算法没有考虑到噪声的影响,在信噪比较低且信号实际频率接近FFT量化频率点时,容易出现插值方向的错判,影响频率估计精度。为此,相继出现了基于Rife算法

9、的各种改进正弦波频率估计方法9-12,但这些方法均没有有效解决频偏对Rife算法频率估计性能的影响。文献13利用DFT相位直接估计信号频率,但存在相位模糊问题。为解决DFT相位估计信号频率时的相位模糊问题,文献14提出了基于DFT相位差的频率估计算法,该方法通过计算两段DFT谱线峰值处的相位差完成频率估计,但当信号频率位于两根DFT量化谱线之间时,噪声将严重影响DFT的相位提取,进而导致频率估计错误。针对上述文献研究的不足,本文提出一种基于Rife插值的改进DFT相位差频率估计方法,介绍了DFT相位差法频率估计原理,推导了DFT相位差法频率估计的均方误差,最后结合Rife插值思想给出了一种改进

10、的DFT相位差频率估计方法。理论分析表明改进方法能够较好地解决频偏对正弦波频率估计的影响。仿真实验结果验证了改进估计方法的有效性。2 DFT相位差频率估计2.1 算法原理频率为f0,初始相位为准0,幅值为a的正弦波信号可以表示为s(n)= a expj(2仔f0Tn/ N+准0),n=0,1, ,N-1。(1)式中:T为采样周期;N为采样点数。将序列s(n)平均分为两个长度相同的序列s1(n)和s2(n),两者为频率和初相均相同的信号,区别仅在于s2(n)相比s1(n)延迟了N/2个采样点,相差固定相位差驻渍=仔f0T。分别计算序列s1(n)和s2(n)的N/2点DFT,频谱S1(k)和S2(

11、k)的幅度项相同。设S1(k)最大谱线为k0,由DFT最大谱线得出的频率粗估计值为fk0 =k0 驻f(驻f=2/ T为N/2点DFT频率分辨率)。令渍1和渍2分别表示S1(k)和S2(k)的DFT最大谱线的相位,则相位差驻渍=渍2 -渍1 =仔f0T-2k0仔。当f0在(k0依0.5)驻f范围内变化时,驻渍在-仔 仔之间变化,因此可以利用驻渍估计DFT最大谱线与频率f0的偏差。因此,基于DFT相位差的正弦波信号频率估计可以表示为f0 =2k0T +驻渍仔T 。 (2)2.2 性能分析DFT最大谱线处幅值的输出信噪比可近似为7SNRo =N SNRi sinc2(啄)2 。 (3)式中:SNR

12、i = a2 /2滓2z为输入信噪比(滓z为噪声方差);啄=k0-f0T/2表示最大谱线频率与真实频率的频偏,且啄沂 (-0. 5,0. 5)。由于实际中N垌 1,因此DFT最大谱线位置的错误概率可以忽略,即DFT相位差频率估计的估计误差主要取决于式中第二项的相位差提取误差。被噪声污染信号r(n)的DFT最大谱线处的相位准k0可以表示为14准k0 =渍k0-arctanbsin(渍z)Ak01+bcos(渍z)Ak0。 (4)式中:渍k0为信号s(n)的DFT最大谱线处相位;Ak0为DFT最大谱线幅值;渍z为噪声DFT相位。式(4)第二项即为噪声产生的相位误差。由于噪声频谱Z (k)的幅度b服

13、从均值为N仔滓2z /2、方差为3N仔滓2z /4的Rayleigh分布,因此对于较大的信号长度N,b/ Ak0接近或大于1的概率很小,因此式(4)可作如下近似而不影响后续的误差分析:准k0抑 渍k0-bsin渍zAk0。 (5)信号DFT最大谱线处相位提取的均方误差为E(准k0-渍k0)2=D bsin渍zAk0 +E2 bsin渍zAk0 =1A2k0Dbsin渍z=2N SNRi sinc(啄)。(6)式中:bsin渍z为噪声信号频谱的虚部,其方差为0.5N 滓2z。综上所述,DFT相位差频率估计均方误差可近似为E(f0-f0)2 = 驻f2 仔2D(渍2-渍1)。 (7)根据噪声DFT

14、的不相关特性6,上式可写为E(f0-f0)2 = 驻f2 仔2 2E(准k0-渍k0)2 =0311www. teleonline. cn电讯技术 2016年万方数据2驻f2N仔 SNRi sinc(啄)。 (8)结合sinc函数特性可知,当信号频率位于DFT某个离散频率附近时,频偏啄的绝对值较小,DFT相位差频率估计具有较高的估计精度,但是当信号频率位于两个离散频率的中心区域时,频偏啄的绝对值较大,DFT相位差法频率估计误差较大,而实际应用中DFT最大谱线对应频率与实际频率的频偏是不可控因素。3 改进频率估计方法文献8提出利用信号频谱的最大两根谱线进行插值对正弦波频率进行估计:f0 = k0

15、+rAk0+rAk0 + Ak0+r 驻f。 (9)当Ak0+1Ak0-1时,r= -1;当Ak0+1逸 Ak0-1时,r=1。仿真结果表明,在含有噪声的条件下,当信号频率位于两个离散频率的中心区域时Rife算法性能接近克拉美罗限,但是当信号频率位于某个量化频率附近时Rife算法估计误差增大。由此可见,Rife算法的频率估计性能与DFT相位差法的频率估计性能互补,因此本文提出一种基于DFT相位差和Rife插值的综合频率估计方法。该综合方法首先对序列s1(n)和s2(n)的DFT进行Rife插值,将信号频移至某个量化频点附近,然后采用DFT相位差法进行频率高精度估计。具体算法如下:(1)将序列分

16、为两个长度相同的序列s1(n)和s2(n),分别计算其N/2点DFT并搜索出最大频谱对应的量化频点k0。(2)利用Rife插值计算信号频移的量化频率单位啄0:啄0 = Ak0+rAk0 + Ak0+r 驻f。 (10)(3)将序列s1(n)和s2(n)频移啄0个量化单位后,利用频谱细化技术分别计算S1(k0+啄0)= 移N/2-1n=0s1(n)exp(-j4仔 k0+啄0N n), (11)S2(k0+啄0)= 移N/2-1n=0s2(n)exp(-j4仔 k0+啄0N n)。 (12)(4)分别提取S1(k0 +啄0)和S2(k0 +啄0)的相位,计算相位差驻渍=angleS2(k0+啄0

17、)-S1(k0+啄0)。 (13)(5)计算信号频率的估计值f0 = k0+驻渍2仔-啄0 驻f。 (14)进行Rife插值时,若信号频率位于两个离散频率的中心区域,Ak0和Ak0+r的值较为接近,Rife插值能够很好地将信号频率搬移至k0附近,提高DFT相位差法的估计精度;若信号频率与k0较为接近,Ak0将远远大于Ak0+r,此时计算所得啄0将非常小,即频率搬移后的信号频率仍然位于k0附近。改进DFT相位差频率估计方法对频率与DFT最大谱线位置的相对关系不敏感,较好地解决了频偏对频率估计的影响。4 性能分析及仿真验证4.1 复杂度分析基于改进DFT相位差的频率估计方法除需要作两次N/2点的F

18、FT外,还需计算两次单点DFT和利用反正切函数计算一次相位。两次N/2点的FFT共需要N/2 lbN次复数乘法和N lbN次复数加法,两次单点DFT共需要N次复数乘法和N-1次复数加法。在采样点数N较大的情况下,反正切的计算量可以忽略。各基于DFT的正弦波频率估计算法的计算复杂度如表1所示。由表1可知,本文估计算法的计算复杂度略大于DFT相位差法和Rife算法,远小于其他Rife修正算法,能够满足实际应用要求。表1 各基于DFT的正弦波频率估计算法计算复杂度Tab.1 The computation complexity of the DFT-basedsinusoidal frequency

19、 estimation methods算法复数乘法次数复数加法次数DFT相位差0.5N lbN N lbNRife算法0.5N lbN N lbNM-Rife算法0.5N lbN+2N N lbN+1.34N基于自相关的Rife算法0.5N lbN+2.5N N lbN+1.34NI-Rife算法0.5N lbN+4N N lbN+1.34NIIN算法0.5N lbN+4N N lbN+4(N-1)本文算法0.5N lbN+N N lbN+(N-1)4.2 仿真分析为验证基于改进DFT相位差的频率估计性能,将其与DFT相位差法、Rife算法以及频率估计的CRLB进行对比仿真。仿真中信号采样点数

20、N =1 024,采样频率为1 024 kHz, DFT谱线间隔为1 kHz,信噪比为3 dB。正弦信号频率由(19.5,20.5)kHz均匀地选取19个频率值,即频偏啄沂(-0.5,0.5)。每个频率点作500次蒙特卡洛仿真实验,并计算均方误差,仿真实验结果如图1所示。1311第56卷王晓峰,邢敏捷,刘歌,等:基于改进DFT相位差的正弦波频率估计第10期万方数据图1 不同频偏下频率估计性能对比Fig.1 The estimation performance comparisonsunder different frequency offset仿真实验结果表明,当频偏啄较大时(对应图1的两端区

21、域),DFT相位差法频率估计的均方误差较大,而Rife算法的估计性能较好;当频偏啄较小时(对应图1的中间区域),Rife算法频率估计的均方误差较大,而DFT相位差法的估计性能较好,验证了前文理论分析的正确性。由图1可知,本文提出的改进DFT相位差频率估计方法较好地综合了DFT相位差法和Rife算法的优势,对频偏变化不敏感,频率估计结果具有良好的一致性。为进一步验证基于改进DFT相位差的正弦波频率估计方法的性能,在不同信噪比下对其进行仿真验证,并与DFT相位差法、Rife算法以及CRLB进行比较。仿真实验中信号采样点数N=1 024,采样频率为1 024 kHz,DFT谱线间隔为1 kHz,信噪

22、比步进1 dB,每个信噪比下进行500次蒙特卡洛仿真实验。表2 4分别是信号频率为19.9 kHz(啄=0. 1)、20.3 kHz(啄=0.3)和20.45 kHz(啄=0. 45)时的频率估计均方误差。表2 啄=0.1时的频率估计性能Tab.2 The frequency estimation performance when 啄=0.1算法频率估计均方误差/ Hz-5 dB -4 dB -3 dB -2 dB -1 dB 0 dB 1 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dBDFT相位差32.47 28.81 21.58 15.90 13.70 10.12 7.34 5.24 3.9

23、7 3.13 2.36Rife算法44.23 38.19 33.31 28.92 25.27 21.47 17.81 13.58 11.90 9.70 7.34本文算法33.29 26.13 21.24 14.63 11.36 10.31 6.90 4.16 3.41 2.11 1.93CRLB 18.52 14.71 11.69 9.28 7.37 5.85 4.65 3.69 2.93 2.33 1.85表3 啄=0.3时的频率估计性能Tab.3 The frequency estimation performance when 啄=0.3算法频率估计均方误差/ Hz-5 dB -4 dB

24、 -3 dB -2 dB -1 dB 0 dB 1 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dBDFT相位差42.75 36.09 31.85 28.27 23.69 19.54 15.75 12.95 10.49 8.96 5.35Rife算法39.96 36.43 30.17 29.04 22.78 20.10 16.29 11.33 8.99 7.37 4.55本文算法32.14 26.76 22.15 14.06 11.97 9.72 7.95 6.54 4.08 3.37 2.77CRLB 18.52 14.71 11.69 9.28 7.37 5.85 4.65 3.69 2.93

25、 2.33 1.85表4 啄=0.45时的频率估计性能Tab.4 The frequency estimation performance when 啄=0.45算法频率估计均方误差/ Hz-5 dB -4 dB -3 dB -2 dB -1 dB 0 dB 1 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dBDFT相位差47.22 43.94 36.63 33.21 27.43 22.97 16.32 13.11 12.78 10.13 9.05Rife算法31.62 28.44 23.53 20.81 17.90 14.66 12.72 10.35 6.23 4.18 2.93本文算法30.5

26、5 26.31 22.49 19.18 16.62 12.29 11.42 8.59 4.80 3.88 2.52CRLB 18.52 14.71 11.69 9.28 7.37 5.85 4.65 3.69 2.93 2.33 1.85实验结果表明,本文算法在各信噪比下的频率估计性能均优于DFT相位差法和Rife算法,对各种频偏具有较好的适应性,较好地解决了频偏对正弦波频率估计的影响,估计性能接近CRLB。5 结 论本文研究了正弦波信号的频率估计问题,首先推导了DFT相位差频率估计的均方误差,然后针对DFT相位差频率估计不适用于频偏较大的问题,提2311www. teleonline. cn

27、电讯技术 2016年万方数据出了基于改进DFT相位差的正弦波频率估计方法。改进方法较好地融合了DFT相位差分法和Rife算法的优点,能够适应各种频偏,频率估计性能接近CRLB,且算法计算简单,具有较好的工程应用价值。参考文献:1 YAMADA T. High-accuracy estimations of frequency,amplitude,and phase with a modified DFT for asyn-chronous samplingJ. IEEE Transactions on Instrumen-tation and Measurement,2013,62(6):14

28、28-1435.2 FU H,KAM P Y. Phase-based,time-domain estimationof the frequency and phase of a single sinusoid inAWGN the role and applications of the additive observa-tion phase noise modelJ. IEEE Transactions on Infor-mation Theory,2013,59(5):3175-3188.3 RAMASAMY D,VENKATESWARAN S,MADHOW U.Com-pressive

29、 parameter estimation in AWGNJ. IEEE Transac-tions on Signal Processing,2014,62(8):2012-2027.4 高瑞令,吴晓富,颜俊,等.改进的DFT正弦信号频率估计J.信号处理,2014,30(9):1072-1077.GAO Runling,WU Xiaofu,YAN Jun,et al. Frequency esti-mator based on autocorrelation with low SNRJ. Journal ofSignal Processing,2014,30(9):1072-1077.(in

30、 Chinese)5 侯盼卫,杨录.基于自相关检测法和能量重心法的正弦信号频率估计算法J.科学技术与工程,2014(3):97-102.HOU Panwei,YANG Lu. Frequency estimation algorithmof sinusoid signal based on autocorrelation detection andenergy centrobaric correction methodJ. Science Tech-nology and Engineering,2014(3):97-102. (in Chinese)6 RIFE D C,BOORSTYN R

31、R. Single tone parameter esti-mation from discrete time observationJ. IEEE Transac-tions on Information Theory,1974,20(5):591-598.7 ABATZOGLOU T J. A fast maximum likelihood algorithmfor the frequency estimation of a sinusoid based on New-ton s method J. IEEE Transactions on Acoustics,Speech,and Sig

32、nal Processing,1985,33(1):77-89.8 RIFE D C,VINCENT G A. Use of the discrete Fouriertransform in the measurement of frequencies and levels oftonesJ. Bell System Technical Journal,1970,49(2):97-228.9 黄超,索继东,于亮.基于自相关函数相位的正弦信号频率估计新算法J.电讯技术,2014,54(1):63-67.HUANG Chao,SUO Jidong,YU Liang. A novel algorit

33、hmfor estimation of sinusoid frequency based on argument ofsample autocorrelation function J. TelecommunicationEngineering,2014,54(1):63-67. (in Chinese)10 周龙健,罗景青,房明星.基于IIN算法和Rife算法的正弦波频率估计算法J.数据采集与处理,2013,28(6):839-842.ZHOU Longjian, LUO Jingqing, FANG Mingxing. Fre-quency estimation of sinusoid w

34、ave based on IIN algo-rithm and Rife algorithmJ. Journal of Data Acquisitionand Processing,2013,28(6):839-842. (in Chinese)11 孙宏军,徐冠群.基于相角判据的Rife算法的涡街信号处理方法J.仪器仪表学报,2013,34(12):2860-2866.SUN Honjun,XU Guanqun. Modified Rife frequency es-timation algorithm based on phase criterion for vortexsignal pr

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37、stimation of single tone based on phase of DFTJ. Acta Electronica Sinica,2001,29(9):1164-1167.(in Chinese)作者简介:王晓峰(1987 ),男,河北承德人,2015年获博士学位,现为讲师,主要研究方向为信号与信息处理;WANG Xiaofeng was born in Chengde,He-bei Province,in 1987. He received the Ph. D. de-gree in 2015. He is now a lecturer. His researchconcer

38、ns signal and information processing.Email:wxf870516126. com邢敏捷(1977 ),女,吉林长春人,2009年获硕士学位,现为工程师,主要研究方向为通信与信息系统;XING Minjie was born in Changchun, Jilin Province, in1977. She received the M. S. degree in 2009. She is now an en-gineer. Her research concerns communication and informationsystem.刘 歌(1991

39、 ),女,山东威海人,2014年获学士学位,现为硕士研究生,主要研究方向为雷信号处理;LIU Ge was born in Weihai,Shandong Province,in 1991.She received the B. S. degree in 2014. She is now a graduatestudent. Her research concerns radar signal processing.赵汝鹏(1993 ),男,广东湛江人,2015年获学士学位,现为硕士研究生,主要研究方向为雷达信号处理。ZHAO Rupeng was born in Zhanjiang,Guangdong Province,in1993. He received the B. S. degree in 2015. He is now a graduatestudent.His research concerns radar signal processing.3311第56卷王晓峰,邢敏捷,刘歌,等:基于改进DFT相位差的正弦波频率估计第10期万方数据