2022年全国高考数学理科.docx

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1、精品学习资源1991 年全国高考数学理科试题考生留意：本试题共三道大题26 个小题，总分值 120 分一 挑选题共 15 小题，每题 3 分，总分值 45 分 每题都给出代号为 A ，B ，C，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的， 把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内 每一个小题选对得 3 分，不选或选错一律得 0 分欢迎下载精品学习资源1. 已知sin4 ，并且是其次象限的角，那么tan的值等于5欢迎下载精品学习资源43A B3434CD43欢迎下载精品学习资源【答案】 A【解析】由题设cos3，所以5tan4 3欢迎下载精品学习资源2. 焦点在 1,0 ，顶点在 1,0 的抛物线

2、方程是欢迎下载精品学习资源A y 28 x1B y 28 x1C y28x1D y28 x1欢迎下载精品学习资源【答案】 Dp【解析】抛物线开口向左，且11 ，所以 p4 2欢迎下载精品学习资源3. 函数 ycos4 xsin 4x 的最小正周期是欢迎下载精品学习资源A B C 2D 42【答案】 B欢迎下载精品学习资源【解析】 ycos4 xsin 4 xcos 2 xsin 2xcos2 xsin 2xcos2 xsin 2 xcos2 x ，欢迎下载精品学习资源所以最小正周期是4. 假如把两条异面直线看成“一对 ”，那么六棱锥的棱所在的12 条直线中，异面直线共有A 12 对B 24 对

3、C 36 对D 48 对【答案】 B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4 条边均异面，所以共有24 对欢迎下载精品学习资源5. 函数 ysin2x5 的图象的一条对称轴的方程是25欢迎下载精品学习资源A xB xC xD x2484【答案】 A5欢迎下载精品学习资源【解析】 对称轴的方程满意2xk22 kZ ，就 xk2kZ ，明显 k1欢迎下载精品学习资源时 x26. 假如三棱锥 SABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影 O 在 ABC内，那么 O 是 ABC 的A 垂心B重心C外心D内心【答案】 D【解析】由题设可知点O 到 ABC 三边的距离

4、相等，所以O是 ABC 的内接圆的圆心欢迎下载精品学习资源7. 已知 an是等比数列，且 an0, a2a 42a 3a5a 4a625 ，那么a 3a5 的值等于欢迎下载精品学习资源A 5B 10C 15D 20【答案】 A欢迎下载精品学习资源【解析】设公比为 q ，就由题设可得2a42a 2a 2q 225 ，即a 2 1q 225 ，就欢迎下载精品学习资源4a 1 qq5 ，即2444qqa3a55 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8. 假如圆锥曲线的极坐标方程为165 3cos，那么它的焦点的极坐标为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 0,0,6,B 3,0, 3,0

5、C 0,0, 3,0D 0,0, 6,0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】 D【解析】 曲线是椭圆， 当0 时得 ac8,时得 ac2 ， 2c6 ，故焦点的极欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源坐标为0,0, 6,0 欢迎下载精品学习资源9. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1 台， 就不同的取法共有A 140 种B 84 种C 70 种D 35 种欢迎下载精品学习资源【答案】 C【解析】直接法：C1C 2C 2C1454570 欢迎下载精品学习资源333间接法： C7C4C570 欢迎下载精品学习资源10. 假如 AC0 且

6、 BC0 ，那么直线AxByC0 不通过欢迎下载精品学习资源A 第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限【答案】 C欢迎下载精品学习资源【解析】 yA xC，由于 AC0 且 BC0 ，所以A0,C0 ，故 D 正确欢迎下载精品学习资源BBBB11. 设甲、乙、丙是三个命题假如甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件那么A 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件【答案】 A【解析】由题意，乙甲，丙乙，但乙丙，从而可得甲丙，丙甲欢迎下载精品学习资源12. 12lim n1n 的值等于欢迎

7、下载精品学习资源1111111345n2A 0B 1C 2D 3【答案】 C欢迎下载精品学习资源【解析】lim n1111112 3411lim nn1欢迎下载精品学习资源nlim2n3452 n2n3 45n2欢迎下载精品学习资源nn2欢迎下载精品学习资源13. 假如奇函数f x 在区间 3,7 上是增函数且最小值为5，那么f x 在区间 7,3 上欢迎下载精品学习资源是A 增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5欢迎下载精品学习资源【答案】 B【解析】假设 x7,3 ，就x3,7 ， f xf x是增函数的最大值为f 3欢迎下载精品学习资源f 35 欢

8、迎下载精品学习资源214. 圆 x2 xy24 y30 上到直线 xy10 的距离为2 的点共有欢迎下载精品学习资源A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个【答案】 C欢迎下载精品学习资源【解析】 圆的标准方程为 x12 y2222 2 ，圆心 1,2 到直线 xy10 的欢迎下载精品学习资源距离为2 ，故与直线 xy10 平行的直径上和与直线平行的切线上满意条件的点分别有 2 个和 1 个欢迎下载精品学习资源15. 设全集为 R ，f xsinx, g xcos x ， M x f x0, N x gx0 ，那欢迎下载精品学习资源么集合 x f x g x0 等于A MNB MNC MND

9、MN【答案】 D欢迎下载精品学习资源【解析】 由题设 MMN x xk, kZ, N xxk,kZ ，就 x f x gx0 ，2欢迎下载精品学习资源二填空题：本大题共5 小题；每题3 分，共 15 分把答案填在题中横线上欢迎下载精品学习资源16. 1611arctanarctan 32的值是欢迎下载精品学习资源【答案】4【解析】 由于tanarctan11arctan321111tanarctan tanarctan 3232111 11tanarctan tanarctan1323 21 ，所欢迎下载精品学习资源以11arctanarctan324欢迎下载精品学习资源17. 不等式6 x2

10、x 21 的解集是欢迎下载精品学习资源【答案】 x2x1欢迎下载精品学习资源【解析】6 x2 x 216 x2x 260 ，得 x2x20 ，解得解集是 x2x1 欢迎下载精品学习资源18. 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为 4，且侧棱与底面所成的角是45 ，那么这个正三棱台的体积等于【答案】 143【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点O ，可得一个正三棱锥，依据比例关系可得欢迎下载精品学习资源棱台的高为 23，故正三棱台的体积为V1 3343432314欢迎下载精品学习资源3333欢迎下载精品学习资源19. 在 ax71 的绽开式中，3x 的系数是2x 的系数与x 的系数的等差中

11、项 假设实数 a1 ，欢迎下载精品学习资源4那么 a【答案】 110234777775欢迎下载精品学习资源【解析】由题设可得x , x , x 的系数分别为C 5a2 ,C 4a 3 ,C 3a 4 ，就 2C 4a3C 5a 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C73 a4 ，化简得5a 210a30 ，由于 a1 ，所以 a110 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20. 在球面上有四个点P, A, B, C ，假如PA, PB, PC 两两相互垂直， 且 PAPBPCa ，欢迎下载精品学习资源那么这个球面的面积是欢迎下载精品学习资源【答案】3 a 2欢迎下载精品学习资源欢迎

12、下载精品学习资源【解析】由于球的直径等于以PA, PB, PC 为棱的长方体的对角线的长，从而2 R3a ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故球面的面积为S球面43a 223 a 2 欢迎下载精品学习资源三解答题：本大题共6 小题；共 60 分21. 本小题总分值 8 分欢迎下载精品学习资源求函数 ysin 2 x2sinx cos x3 cos2x 的最小值， 并写出访函数 y 取最小值的 x 的欢迎下载精品学习资源集合【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质总分值8分欢迎下载精品学习资源ysin2 x2sinxcos x3cos 2 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学

13、习资源sin 2 xcos2x2sinx cos x2cos 2x 1分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1sin 2 x1cos 2x 3分欢迎下载精品学习资源2sin 2 xcos2x22 sin2 x4 5分当 sin2 x41时 y 取得最小值22 6分使 y 取最小值的 x 的集合为N x | xk38, kZ 8分22本小题总分值 8 分已知复数z1i ，求复数z2z3 z16 的模和辐角的主值【解】本小题考查复数基本概念和运算才能总分值8分z2z3z161i 2131i 6i132ii 2分1i 4分1i 的模 r12 122 由于 1i 对应的点在第四象限且辐角的正切ta

14、n1，所以辐角的主值74 8分23本小题总分值 10 分已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， E, F 分别是 AB, AD 的中点， GC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 GC2 求点 B 到平面 EFG 的距离【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及规律推理和空间想象才能总分值10分欢迎下载精品学习资源如图， 连结EG , FG , EF , BD ,AC ， EF , BD 分别交 AC 于 H , O 由于 ABCD 是正欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方形，E, F 分别为 AB 和 AD 的中点，故EF / BD ， H 为 AO 的中点欢迎

15、下载精品学习资源BD 不在平面EFG 上否就，平面EFG 和平面 ABCD 重合，从而点G 在平面ABCD 上，与题设冲突欢迎下载精品学习资源由直线和平面平行的判定定理知BD / 平面 EFG ，所以 BD 和平面 EFG 的距离就是欢迎下载精品学习资源点 B 到平面 EFG 的距离 4分 BDAC ，EFHC GC平面 ABCD ， EFGC ， EF平面 HCG 平面 EFG平面 HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线 6分作 OKHG 交 HG 于点 K ，由两平面垂直的性质定理知OK平面 EFG ，所以线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离 8分 正方形 ABCD 的边长为

16、 4， GC2 ，欢迎下载精品学习资源AC42, HO2, HC32 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 在 Rt HCG 中， HG23 22222 欢迎下载精品学习资源由于 Rt HKO 和 Rt HCG 有一个锐角是公共的，故Rt HKORt HCG 欢迎下载精品学习资源 OKHO GC222 11欢迎下载精品学习资源HG2211欢迎下载精品学习资源即点 B 到平面 EFG 的距离为2 1111 10分欢迎下载精品学习资源注：未证明 “BD 不在平面 EFG 上”不扣分欢迎下载精品学习资源【编者注】此题用“等积代换” ，即 VB EFGVG EFB 亦可欢迎下载精品学习资源24本小

17、题总分值 10 分依据函数单调性的定义，证明函数f xx31 在 , 上是减函数欢迎下载精品学习资源【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及规律推理才能总分值10分欢迎下载精品学习资源证法一 ：在 , 上任取x1, x2 且 x1x2 ， 1分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 f x f x x3x3 xx x2x xx2 3分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21121211 22 x1x2 ， x1x20 4分欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源当 x1x20 时，有 x1x1x2x2 x1x2 x1x20 ； 6分欢迎下载精品学习资源22当 x1x2

18、0 时，有 x1x1x2x20 ；22欢迎下载精品学习资源 f x2 f x1 x1x2 x1x1x2x2 0 8分欢迎下载精品学习资源即 f x2 f x1 欢迎下载精品学习资源所以，函数f xx31 在 , 上是减函数 10分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证法二 ：在 , 上任取x1, x2 且 x1x2 ， 1分欢迎下载精品学习资源3322欢迎下载精品学习资源就 f x2 f x1 x1x2 x1x2 x1x1x2x2 3分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 x1x2 ， x1x20 4分欢迎下载精品学习资源22 x , x 不同时为零， xx0 1212又 x21x22

19、12x21x 22x x1 2x x ，1 2x21x x1 2x220 ，f x2f x1 x1x2 x12x1x2x2 20 8分即 f x2 f x1 所以，函数 f xx31 在 , 上是减函数 10分25本小题总分值 12 分已知 n 为自然数，实数 a1 ，解关于 x 的不等式 log a x4log a2 x12log a3 xnn2n 1 logx1 2log x2a na3a【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本学问，以及分析问题的才能总分值12分利用对数换底公式，原不等式左端化为欢迎下载精品学习资源loga x4log a2 x12log a3xn2n1 logx欢迎下

20、载精品学习资源欢迎下载精品学习资源124 2 n1log1 2nxanlogx欢迎下载精品学习资源aa3欢迎下载精品学习资源故原不等式可化为12nlogx1 2 nlog x2a 欢迎下载精品学习资源aa33欢迎下载精品学习资源当 n 为奇数时，12n0 ，不等式等价于logxlog x2a 欢迎下载精品学习资源由于 aaa31 ，式等价于欢迎下载精品学习资源x0x0xa ,x2xa x20ax2xaxa01124ax1124a 6分.由于 114 a0 ， 114a4aa ，222欢迎下载精品学习资源所以，不等式的解集为 x |ax114a 2 8分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当

21、 n 为偶数时，12n30 ，不等式等价于log a x2log a xa 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 a1 ，式等价于x0x2a0xx2ax0xax2xa0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xa ,或x114 a ;2xa ,x114a .2 10分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源114 a0 1，14a4a222由于a， 12分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，不等式的解集为 x | x114a 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源综合得：当 n 为奇数时，原不等式的解集是 x |ax114a ；2欢迎下载精品学习资源当 n 为偶数时，原不

22、等式的解集是 x | x114a 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源26本小题总分值 12 分双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上， 过双曲线右焦点且斜率为3 的直线交双曲5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线于 P,Q 两点假设OPOQ, PQ4 ，求双曲线的方程欢迎下载精品学习资源【解】 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本学问，以及综合分析才能总分值12分x2y2欢迎下载精品学习资源解法一 ：设双曲线的方程为221ab2x2ya 2b 21欢迎下载精品学习资源依题意知，点P,Q 的坐标满意方程组y3xc其中ca 25b2 欢迎下载精品学

23、习资源将式代入式，整理得5b 23a 2 x26a 2cx3a2c25b 2c20 3分欢迎下载精品学习资源设方程的两个根为x1, x2 ，假设5b 23a 2 ，就 b3 ，a5欢迎下载精品学习资源即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，欢迎下载精品学习资源故与双曲线只能有一个交点，与题设冲突，所以5b 23a 20 欢迎下载精品学习资源6a2cx1x222欢迎下载精品学习资源依据根与系数的关系，有x1x25b3a2c25b23a5a2b23a2 6分欢迎下载精品学习资源333欢迎下载精品学习资源由于 P,Q 在直线 y xc 上，可记为 Px1, x1c, Qx2, x2c 欢迎下载精品学

24、习资源555123 xc3 xc121 2由 OPOQ 得551， x1x2欢迎下载精品学习资源整理得3c xx8 x x3c20 欢迎下载精品学习资源将，式及 c2a 2b 2 代入式，并整理得3a 48a 2b 23b 40 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2a 23b 23a 2b2 0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 a 23b 20 ，解得 b 23a ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ca2b22a 8分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 PQ4 ，得xx 23 xc3 xc 242 欢迎下载精品学习资源212155欢迎下载精品学习资源

25、121 2整理得 xx 24 x x100 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将，式及 b23a2 ， c2a 代入式，解得a 21 10分欢迎下载精品学习资源将 a 21 代入 b23a2 得 b23 欢迎下载精品学习资源故所求双曲线方程为y2x21 12分3欢迎下载精品学习资源解法二 ：式以上同解法一 4分欢迎下载精品学习资源3a 2c40ab23a 2c40ab2欢迎下载精品学习资源解方程得x122， x222 6分欢迎下载精品学习资源由于 P,Q 在直线 y5b3a3 xc 上，可记为5bPx ,3a3 xc, Qx ,3 xc 欢迎下载精品学习资源5由 OPOQ ，得 x x3

26、 xc1122553 xc0 欢迎下载精品学习资源1 212552224224欢迎下载精品学习资源将式及cab 代入式并整理得 3a8a b3b0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 a 23b2 3a 2b2 0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因 a 23b20 ，解得 b 23a 2 8分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 PQ4 ，得xx 23 xc3 xc 242 欢迎下载精品学习资源即 x22x121215510 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将式代入式并整理得5b 23a 2 216a 2b 40 10分欢迎下载精品学习资源将 b 23a 2

27、代入上式，得a 21 ，欢迎下载精品学习资源将 a 21 代入 b23a2 得 b23 欢迎下载精品学习资源故所求双曲线方程为y22x1 12分3欢迎下载精品学习资源1991 年一般高等学校招生全国统一考试数学试题理工农医类参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要学问和才能，并给出了一种或几种较为常见的解法，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应 评分细就二、每题都要评阅究竟，不要由于考生的解答中显现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步显现错误，影响了后继部分时， 假如该步以后的解答未转变这一题的内容和难度时， 可视影响的程度打算后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半； 假如这一步以后的解答有较严峻的错误，就不给分三、为了阅卷便利， 本试题解答中的推导步骤写得较为具体，答应考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 五、只给整数分数欢迎下载