2022年三角函数及解三角形知识点总结.docx

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1、1. 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角,P x, y 是的终边上的任意一点（异于 原点 ）, 它 与 原 点 的 距 离是rx2yxy 20 , 那 么 sin,cos,rrtany , x0 x三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关；2. 三角函数在各象限的符号： （一全二正弦,三切四余弦）sincostan3. 同角三角函数的基本关系式：（ 1）平方关系：（ 2）商数关系：sin 2tancos2sin cos1,1tan2（用于切化弦）1cos2平方关系一般为隐含条件,直接运用；留意“1”的代换4. 三角函数的诱导公式k诱导公式（把角写成2形式,利用口诀：奇变偶不变

2、,符号看象限）sin 2kxsin xsinxsin xsinxsin x） cos2ktan2kxcosxxtan x） cosxtanxcos x）tan xcos tanxcos xxtan x）sincosxxsin xcosx）sin2cos）sincostanxtanxcos2sincos2sin25. 特殊角的三角函数值度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270360o弧度02353264323462sin01222321322212010cos13222120122232101tan0313无3130无0336. 三角函数的图像及性质性函 数质ysin

3、 xycosxytan x图像定义RR域x xk,kZ2值1,11,1R域当 x2kkZ 时,2当 x2kkZ时,最ymax1 ；值当 x2kkZ 时,2ymax1 ；当 x2k既无最大值也无最小值ymin1 kZ时, ymin1 周期22性奇偶奇函数偶函数奇函数性在2 k,2k22在2k,2 kkZ单kZ上是增函数； 调3在 2k上是增函数；,2 kkZ在 k, k22性在2 k,2kkZ上是增函数22kZ上是减函数上是减函数对对称中心k,0kZ对称中心对称中心k,0kZk,0kZ2称2性对称轴 xk2kZ对称轴 xkkZ无对称轴7. 函数yAsinx 图象的画法 ：“五点法”设Xx,令 X

4、 0, 3,222求出相应的 x 值,运算得出五点的坐标,描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法；8. 图像的平移变换： 函数yAsinxk 的图象与 ysinx 图象间的关系 ：要特殊留意 ,如由 ysinx 得到 ysinx的图象,就向左或向右平移应平移| 个单位ysin x变换到 y4sin3 x 为例3向左平移3个单位（左加右减）ysinx3横坐标变为原先的13倍（纵坐标不变）ysin 3x3纵坐标变为原先的4 倍（横坐标不变）y4sin3x3例：以ysin xysin x 横坐标变为原先的1倍（纵坐标不变）y3sin 3x向左平移个单位 （左加右减）9ysin 3x9si

5、n3 x3纵坐标变为原先的4 倍（横坐标不变）y4sin3x3留意：在变换中转变的始终是 x；9、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1 ） sin2 ） sinsinsincoscossinsincoscos3 ） cos4 ） coscoscoscoscossinsinsinsin5 ）tantantantantantan1tantan1tantan6 ）tantantantantantan1tantan1tantan7asinbcos=a2b2 sin 其中 , 帮助角所在象限由点 a, b 所在的象限打算 ,sinba 2b2,cosaa2b 2, tanb,该法也叫合

6、一变形 .a81 1tan tantan41tan1tantan410、二倍角公式（1）（2）（3）11. 降幂公式：（ 1）（2）12. 升幂公式（1） 1cos2 cos22（ 2） 1cos2 sin 22（3） 1sinsin2cos22（ 4） 1sin 2cos2（5） sin2 sincos2213. 三角变换：函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数；采纳公式：其中,y比如：sin x3 cos x123 2 1213 2sin x3123 2cos x212sin x3 cos x22sinxcos3cos x sin 32 sin x 3留意 : “凑角”运用：

7、,1214、三角形中常用的关系：,常见数据：,tan1523 ,tan 7523 ,15、正弦定理： 在C 中, a 、b 、c 分别为角、C 的对边, R 为C的外接圆的半径,就有abc sinsinsin C2 R （ R是三角形外接圆半径） 注：正弦定理的变形公式： a2Rsin, b2Rsin, c2RsinC ； sina , sin 2Rb , sin Cc；2 R2R a : b : csin:sin:sin C2216、余弦定理：在C 中,有a 2b 2c22bc cos, ba 2c22ac cos, ca2b22 ab cosC注 ： 余 弦 定 理 的 推 论 ：cosb

8、 2c2a 22bc, cos222acb,2accos Ca2b2c22ab17、三角形面积公式： SC1 bcsin1 ab sin C1 acsin222S ABC1两边之积2两边夹角的正弦值1S ABC底 高2注：（ 1）假如一个三角形两边的平方和等于第三边,那么第三边所对的角为直角；假如小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角；假如大于第三边的平方,那么第三边所对角为锐角；（课本第 6 页右下角）例如 a 、b 、c 是C 的角、 、C 的对边,就：如 a 2b2c2 ,就 C90o ；如 a 2b 2c2 ,就90C180,C为钝角2如 a 2b 2c ,就 0C90 ；C为锐角（ 2）在三角形中一些重要的学问点；1. ABC, A, B, C0, 2. 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边；3. 大角对大边,小角对小边,等角对等边；4. 在三角形中,假如某一边不是最大的边,那么这条边所对的角肯定是锐角；5. 在三角形中,假如某一边是最大的边,那么它所对的角可能是锐角,直角, 钝角；