2022年上海市高中数学知识点总结2.docx

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1、高中数学学问点总结1.对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”；如：集合 Ax|ylg x , By|ylg x , Cx, y|ylg x , A 、B、 C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合 Ax|x22x30 , Bx|ax1如BA,就实数 a的值构成的集合为（答：1, 0, 1 ）33.留意以下性质：（1）集合a , a , a12n的全部子集的个数是2n ；（ 2 ）如 ABABA , ABB；（ 3）德摩根定律：C

2、UABCU ACU B , CUABCU ACU B4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x的不等式 axx 25a0的解集为 M ,如 3M 且5M ,求实数 a的取值范畴；（ 3M , a 3325a0a 5M ,a 5525a1, 539, 25 ）05. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或”,“且” 和“非” .如pq为真,当且仅当 p、q均为真如pq为真,当且仅当 p、q至少有一个为真如 p为真,当且仅当 p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7. 对映射的

3、概念明白吗？映射f ：A B,是否留意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 yx 4x2的定义域是lg x3（答： 0, 22, 33, 4 ）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f x的定义域是a,b, ba0,就函数Fxf xf x的定义域是；（答： a, a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如： fx1exx,求 f x.令tx1,就 t0

4、xt 21f tf x2et1ex 2 1t 21x21 x012. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x1 xx0的反函数（答： f1xx 2x0x1x1）xx013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设 yfx 的定义域为A ,值域为C, aA , bC,就fa = bf 1 baf 1 f af 1 ba,f f1bf ab14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u,ux,就yfx（外层） （内层）

5、当内、外层函数单调性相同时fx为增函数,否就 fx 为减函数；）如：求ylog 12x22x的单调区间（设 ux 22x,由 u0 就0x2且 log 1 u22, ux11,如图：uO12x当x0, 1 时, u当x1, 2 时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2,y,y）15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间a, b内,如总有f x0 就f x为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0呢？如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f x3x 2a3 xaxa033就

6、xa 或xa 33由已知f x 在1, 上为增函数,就a1,即a3 3a 的最大值为 3）16. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ fx定义域关于原点对称）如f x f x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称留意如下结论：（ 1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ 2 ）如 fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；如：如f x a 2 xxa2 为奇函数,就实数 a21（ f x 为奇函数,xR,又 0R, f 00a 2 0a2即00, a

7、1）21又如：f x 为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0, 1时, f x2 x,4 x1求f x 在 1,1 上的解析式；（令 x1, 0 ,就x0 ,1, f x 2 x4 x1又f x 为奇函数,xxf x22又f 00 , f x4 x2 x4 x12 x114 xx 1, 0x0）4 x1x0, 117. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（ T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x为周期函数, T 是一个周期；）如：如f xafx,就（答： f x 是周期函数, T2a为f x的一个周期）又如：如 f x图象有两条对称轴 xa, xb即f ax f ax , f

8、bx f bx就f x 是周期函数, 2 ab 为一个周期如：18.你把握常用的图象变换了吗？f x 与f x 的图象关于 y轴 对称f x 与f x 的图象关于 x轴 对称f x与f x 的图象关于 原点 对称f x与f 1 x 的图象关于 直线yx 对称f x 与f 2ax的图象关于 直线 xa 对称f x与f 2ax 的图象关于 点a, 0 对称将yf x 图象左移aa 0 个单位右移aa 0 个单位yyf xaf xa上移b b 0 个单位下移b b 0 个单位yyf xabf xab留意如下“翻折”变换：f xf xf xf |x|如： f xlog 2 x1作出 ylog 2 x1

9、 及ylog 2 x1 的图象yy=log 2xO1x19.你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0y=bO a,bOxx=a（ 1）一次函数： ykxbk0（ 2 ）反比例函数： ykk0 x推广为 ybkkxa0 是中心O a, b的双曲线；（3） ）二次函数yax2bxc a02a xb 2a4acb2 4a图象为抛物线b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a开口方向： a0,向上,函数y min4acb 24aa0,向下,y max4acb 24a应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0 时,两根x1、x 2 为二次函数yax 2bx

10、c的图象与 x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc0 0解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；如：二次方程ax2bxc0的两根都大于0kbk2af k0ya0Okx 1x 2x一根大于k,一根小于kf k 0（4） ）指数函数：yaxa0,a1（5） ）对数函数 yloga x a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！）yy=ax a10a11O1x0a1（ 6）“对勾函数”yxkk0 x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？ykOkx20.你在基本运算上常显现错误吗？指数运算： a 01 a0 ,

11、 apa p1a0ma nn ama0, amn1n am a0对数运算： log a M Nlog a Mlog a NM0, N0logaMNlogaMlognaN, logaM1 log naM对数恒等式：alog a xx对数换底公式： logablog c bloglogambncanlogmab21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1） xR, f x 满意 f xyf xf y ,证明 f x 为奇函数；（先令 xy0f 00再令 yx,）（ 2 ） xR, f x 满意f xy f xf y ,证明 f x 是偶函数；（先令 xytf ttf t t f t

12、f t f tf tf t f t ）（ 3）证明单调性：f x 2 fx 2x 1x 222. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：（ 1） y（ 2）y2 x3134 x2x4x3（ 3） x3, y2x 2x3（ 4）yx49x 2设x3cos ,0,（ 5） y4 x9 , x0, 1 x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（ l R, S扇1 l R21 R 2 ）2R1 弧度OR24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

13、sinMP, cosOM , tanATyBSTPOMAx如：如80,就 sin, cos , tan的大小次序是又如：求函数 y12 cos2x 的定义域和值域；（ 12 cos2x ）12 sin x0 sin x2 ,如图：2 2 k54x2k4kZ , 0y1225. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sin x1, cosxy1ytgxxO22对称点为k, 02, kZysin x的增区间为 2k, 2kkZ 22减区间为 2k3, 2kkZ 22图象的对称点为k , 0,对称轴为 xkkZ 2ycosx的增区间为 2k , 2kkZ减

14、区间为 2k, 2k2kZ图象的对称点为 k, 0 ,对称轴为2xkkZytan x的增区间为k, kkZ2226.正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；或yAcosx（1） ）振幅|A |,周期 T2|如f x 0A ,就xx 0为对称轴；如f x 00,就x 0 , 0为对称点,反之也对；（ 2 ）五点作图：令x依次为0, , 3, 222,求出x与y,依点（ x, y）作图象；（ 3）依据图象求解析式；（求A 、 、 值）如图列出x 1 0x 2 2解条件组求、 值正切型函数yA tanx, T|27. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的

15、范畴；如： cos x（x63,2 ,x27x, 3,求x值；25, x5, x13）2663641228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数 ysin xsin|x|的值域是（x0时, y2sin x2, 2 ,x0时, y0, y2, 2 ）29. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换） 平移公式：（1）点P（x,y）ah,kxxhP （ x ,y）,就平移至yyk（2） ）曲线f x,y0沿向量 ah,k平移后的方程为f xh, yk0如：函数 y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到4ysin x 的图象？（y2 sin

16、2x41横坐标伸长到原先的 2 倍y2sin2 1 x124左平移4 个单位上平移 1个单位2 sin x14y2 sin x1y2 sinx倍纵坐标缩短到原先的12ysin x）30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1sin 2cos2sec2tan2tan cotcos sectan 4sin2cos0称为1的代换；“ k2”化为的三角函数“奇变,偶不变,符号看象限”,“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数；97如： costansin 2146又如：函数 ysintancoscot,就y的值为A. 正值或负值B.负值C.非负值D. 正值sin22sin（ycoscos coss

17、insin coscos sin10,0）131. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？ 懂得公式之间的联系：sinsincoscossin令sin 22 sincoscoscoscossinsin令cos2cos2sin 2tantantan221tantan 22 tan tan2 coscos2112 sin1 cos2 21tan2sin21cos2 2asinb cosa 2b 2sin, tanb asincos2 sin4sin3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法

18、：（1） ）角的变换：如,（2） ）名的变换：化弦或化切222（3） ）次数的变换：升、降幂公式（4） ）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sincos1, tan2,求 tan2的值；1（由已知得：cos 2sincos 2 sin 2cos 2 sin31,tan12又 tan2321 tan2tantantan321 ）1tan tan12 183232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a 2b 2c22 bc cos AcosAb 2c2a2 2bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：a sin

19、 Ab sin Bc2 Rsin Ca 2 R sin Ab 2 R sin Bc 2R sin CS1 a bsin C 2ABC, ABC sin ABsin C, sin ABcos C22如 ABC中, 2 sin 2 AB2cos2 C1（ 1）求角 C；（ 2 ）如 a2b 2c,求22cos2Acos 2B的值；（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C11又ABC, 2 cos2 Ccos C10 cosC1 或 cos C 21（舍）又0C, C3（ 2 ）由正弦定理及 a 2b 21 c2 得：22 sin2 A2 sin 2 Bsin 2 Csin 23341c

20、os2A1cos 2 B3 4 cos 2Acos2 B3 ）433. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x, x 221, 1反余弦：arccosx0, , x1, 1反正切：arctan x, xR 2234. 不等式的性质有哪些？c0（ 1） ab,c0acbcacbc（ 2 ） ab, cdacbd（ 3） ab0, cd0acbd（ 4 ） ab011ab, ab011ab（ 5） ab0anbn , n an b（ 6） |x|a a0axa, |x|axa或 xa如：如1 10,就以下结论不正确选项（）abA . a 2b 2B. abb 2C. | a|

21、 |b| |ab|答案： CD. ab2 ba35. 利用均值不等式：a2b 22ab a, bR；ab2 ab；abab 22求最值时,你是否注意到“a, bR”且“等号成立”时的条件,积ab 或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等） 留意如下结论：a2b2ab2ababa, bR22ab当且仅当 ab时等号成立；a2b 2c 2abbcca a, bR当且仅当 abc时取等号；a b0, m0, n0,就b bmana 1aambnb如：如 x0 , 23x4 的最大值为x（设 y23x42212243x当且仅当 3x4 ,又 x x0, x23 时, y 3max243）又如： x

22、2y1,就 2 x4 y 的最小值为（ 2x22y22x 2y221 ,最小值为22）36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并留意简洁放缩法的应用；如：证明 112211232n 2（ 111111112 232n 21223n1 n1112112311n1n212 ）n37. 37.解分式不等式f xgx a a0的一般步骤是什么？（移项通分, 分子分母因式分解, x 的系数变为 1,穿轴法解得结果； ）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿,偶切”,从最大根的右上方开头如： x231 x1x2039. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：

23、对数或指数的底分a1或0a1争论40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）例如：解不等式 |x3|x11（解集为x|x1）241. 会用不等式 | a| |b| |ab| |a| |b|证明较简洁的不等问题如：设f xx 2x13,实数a满意|xa|1求证： f x f a2| a| 1证明： | f xf a| x 2x13a 2a13|xa xa1| |xa|1|xa|xa1| |xa1|x| |a| 1又|x| | a| |xa|1,|x| |a| 1 f xf a2|a|22 |a| 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题

24、,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“”问题）如： af x 恒成立af x的最小值af x恒成立af x 的最大值a f x能成立af x 的最小值例如：对于一切实数x,如 x3x2a恒成立,就a的取值范畴是（设 ux3x2 ,它表示数轴上到两定点2 和 3距离之和u min325, 5a,即a5或者： x3x2x3x25, a5）43. 等差数列的定义与性质定义： an 1and d为常数 , ana1n1 d等差中项：x, A , y成等差数列2Axyn前n项和Sa1an nn n1 na1d22性质：an是等差数列（1）如mnpq,就amanapaq ；（ 2 ）数列a2 n

25、 1,a2 n ,kanb 仍为等差数列；Sn , S2 nSn , S3nS2n 仍为等差数列；（ 3）如三个数成等差数列,可设为ad, a, ad；（ 4 ）如 a , b是等差数列S , T为前 n项和,就 amS2 m 1 ；nnnnb mT2m 1（ 5）an 为等差数列San2bn（ a, b为常数,是关于n的常数项为n0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：an0当a10, d0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值；an 10an0当a10, d0,由可得Sn 达到最小值时的n值；an 10如：等差数列an , Sn18

26、,anan 1an 23, S31,就n（由 ana n 1an 233an 13, an 113又Sa1a3 2 33a21, a21311 na1Sna n na 2a n 1 n318222n27）44. 等比数列的定义与性质定义： a n 1anq（ q为常数, q0）, an 1na q1等比中项： x、G、y成等比数列G 2xy,或Gxyna1 q1前n项和： Sna111qnqq1（要留意 . ）性质： an是等比数列（ 1）如mnpq,就 am anap aq（ 2 ） Sn , S2nSn , S3 nS2 n 仍为等比数列45. 由Sn求an 时应留意什么？（ n1时, a

27、1S1, n2时, anSnSn 1）46.你熟识求数列通项公式的常用方法吗？例如：（ 1）求差（商）法如：an 满意a1 21122a 212nan2 n51解： n1时, 1 a21215, a114n2 时, 1 a21221a212 n 1an 12 n15212得： n an122a n2n 1an14 n2n 11 n2练习数列 an 满意 SnSn 15 a, a4,求 an 11n3（留意到 an 1Sn1S 代入得：nSnSn14又S14 , Sn 是等比数列, Sn4nn2 时, anSnSn 13 4 n 1（ 2）叠乘法例如：数列 an中, a13, an1nann1,

28、求 an解： a2a1 a3a2anan1 2 n1231 , anna11n又a13, an3n（ 3）等差型递推公式由anan1f n , a1a0,求an ,用迭加法两边相加,得：ana1f 2 f 3f nana 0f 2f 3f n练习数列 an , a11, an3n 1an 1n2 ,求an（ an1 3n21 ）（ 4）等比型递推公式ancan1d c、d为常数, c0,c1, d0n2时, a2a1f 2a3a2f 3anan1f n可转化为等比数列,设anxc an1xancan 1c1 x令 c1 xd, xdc1addnc1是首项为 a1c1, c为公比的等比数列add

29、nc1a1c1 c n 1adna1c1c n 1dc1练习数列 an 满意 a19 , 3an1an4 ,求ann 1（an8431）（ 5）倒数法例如： a11, an 12anan2,求 an由已知得：1an 1an22 an121an 1an 11an121为等差数列,an1a11,公差为 121an1n1 1212n1a2nn147. 你熟识求数列前 n 项和的常用方法吗？例如： （ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；n如： an是公差为 d的等差数列,求1k1 ak ak1解： 由1ak ak11ak akd11dak1akd01n1nk1 ak ak1k11 d1ak1ak11d1a11a11a211a21a31an1an11dan1练习求和： 11121