2022年八级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题.docx

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1、（一）、一元二次方程的概念金老师复习（ 2） 一元二次方程1. 懂得并把握一元二次方程的意义未知数个数为 1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式ax 2bxc0 （ a0）；2. 正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（ 1）明确只有当二次项系数a0 时,整式方程ax2bxc0 才是一元二次方程；（ 2）各项的确定 包括各项的系数及各项的未知数.3. 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法 1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2. 依据方程系数的特点,娴熟地

2、选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3. 值得留意的几个问题：21 开平方法：对于形如xn 或 axb2na0 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.形如 x2n 的方程的解法：当n0 时, xn ;当 n0 时, x1x20 ;当 n0 时,方程无实数根；（ 2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 xm2n 的方程,再运用开平方法求解；配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边；“系数化 1”：依据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边

3、分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为 xm2n 的形式；求解：如 n0 时,方程的解为 xmn ,如 n0 时,方程无实数解；（ 3）公式法：一元二次方程ax 2bxc0 a0 的根 xbb 22a4ac当 b2当 b22当 b4ac 4ac4ac0 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；0 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为0 时,方程无实数根 .bx1x2；2a公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a, b, c 的值；代入 b 24 ac 中运算其值,判定方程是否有实数根；如 b2（ 4）因式分解法：4ac0 代入求根公式求值,否就,原方程无实数根；因式

4、分解法的一般步骤：如方程的右边不是零,就先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解；（三）、根的判别式1明白一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情形,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范畴；（ 1）= b24ac（ 2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bxc0 （ a0）a0a0当方程有实数根；当0时0时方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理；例：求证：方程a 21) x22ax a240 无实数根；（ 4）分类争论思想的应用：假如方程

5、给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那肯定要对方程进行分类争论,假如二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根；（四）、一元二次方程的应用1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式；2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特点、定理或法就来查找等量关系,构建方程,对结果要结合几何学问检验；3. 增长率问题（下降率） ：在此类问题中,一般有变化前的基数（a ）,增长率（ x ）,变化的次数（ n ）,变化后的基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式a1xnb 表示；4. 其它实

6、际问题（都要留意检验解的实际意义,如不符合实际意义,就舍去）；（五）新题型与代几综合题（ 1）有 100 米长的篱笆材料, 想围成一矩形仓库, 要求面积不小于 600 平方米, 在场地的北面有一堵50 米的旧墙, 有人用这个篱笆围成一个长40 米、宽 10 米的仓库,但面积只有400 平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（ 2）读诗词解题（列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜？3 已知： a,b, c 分别是ABC的三边长, 当 m0 时,关于

7、x 的一元二次方程c x 2mbx 2m2max0有两个相等的实数根,求证：ABC 是直角三角形；（ 4）已知：a, b,c 分别是ABC 的三边长,求证：方程b 2 x 2b 2c2a 2 xc20 没有实数根；（ 5）当 m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程数？mx 24 x40 与 x 24mx4 m24m50 的根都是整（ 6）已知关于 x 的方程 x22 xm 21x 22x2m0 ,其中 m 为实数,（ 1）当 m 为何值时, 方程没有实数根？ （ 2）当 m 为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根；答案：（ 1） m2 （ 2） x1, 12 .（六）相关练

8、习（一） 一元二次方程的概念1. 一元二次方程的项与各项系数把以下方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项：（ 1）5 x223x（ 2） 5a1 24a3 22. 应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1) m 为何值时,关于 x 的方程 m2) xm2m3 x4m 是一元二次方程；x 27x8（ 2）如分式0 ,就 xx13. 由方程的根的定义求字母或代数式值(1) 关于 x 的一元二次方程 a1) x2xa 210 有一个根为 0,就 a2 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc0a0 有一个根为1,一个根为1,就abc,abc（二）一元二次方程的解法

9、1开平方法解以下方程：（ 1） 169 x3 2289213 m 202配方法解方程：（ 1） x22 x502 2 y 24 y33. 公式法解以下方程：（ 1） 3 x26x2（ 2） p 2323 p4. 因式分解法解以下方程：（ 1） y24 y450(2) x522 x51（3）7 x 221x05. 解法的敏捷运用（用适当方法解以下方程）：1 6 x x2 x2 x32812 x5 2144x3 2（三）一元二次方程的根的判别式221. 不解方程判别方程根的情形：（ 1） 4 x 2x37 x（ 2） 3x2) 4x(3) 4x545 x2. k 为何值时,关于 x 的二次方程kx

10、 26 x90（ 1）有两个不等的实数根（ 2）有两个相等的实数根（ 3）无实数根3. k 为何值时,方程 k1 x 22 k3 xk30 有实数根 .（四）一元二次方程的应用1. 已知直角三角形三边长为三个连续整数,求它的三边长和面积.2. 某印刷厂在四年中共印刷1997 万册书, 已知第一年印刷了342 万册, 其次年印刷了500 万册, 假如以后两年的增长率相同,那么这两年各印刷了多少万册？3. 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20 件,每件盈利40 元,为了扩大销售增加盈利,尽快削减库存, 商场打算实行适当降价措施,经调查发觉,假如每件衬衫每降价1 元,商场每天可多售出 2 件,如商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元？