2022年上海教材高中数学知识点总结2.docx

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1、目录一、集合与常用规律二、不等式三、函数概念与性质补集： CU A x xU且xA3. 集合关系空集A四、基本初等函数 五、函数图像与方程六、三角函数子集 AABB : 任意 xAAABxBABBAB七、数 列八、平面对量九、复数与推理证明十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理注：数形结合 -文氏图、数轴4. 四种命题原命题：如 p 就 q否命题：如p 就q逆命题：如逆否命题：如q 就 pq 就p原命题逆否命题否命题逆命题5. 充分必要条件p 是 q 的充分条件： Pqp 是 q 的必要条件： Pq十五、概率与统计一、集合与常用规律p 是 q 的充

2、要条件： p. q 6复合命题的真值q 真（假） . “q ”假（真）p、q 同真. “ p q”真1. 集合概念元素：互异性、无序性2. 集合运算全集 U：如 U=Rp、q 都假. “ p q”假7. 全称命题、存在性命题的否定交集： A并集： AB x xB x xA且xBA或xBM, px ）否定为 :M,M, px ）否定为 :M,p X p X 1一元二次不等式解法二、不等式三、函数概念与性质如 a0 , ax2bxc0 有两实根, ,就1. 奇偶性ax2ax2bxcbxc0 解集 ,0 解集 ,fx偶函数fx奇函数f xf xf xf xfx图象关于 y 轴对称fx图象关于原点对称

3、注：如 a0 ,转化为 a0 情形注： fx有奇偶性定义域关于原点对称2. 其它不等式解法转化xaaxax2a2fx奇函数 , 在 x=0 有定义f0=0“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2单调性fx增函数： x 1 x 2fx 1 fx 2xaxa 或 xax2a 2或 x 1 x2fx 1 fx 2f x0f xg x0f x1 或f x2 0g xa f x ag x f xg x（ a1）fx减函数：？x1x2logaf xlog a g xf xf x0（ 0g xa1）注：判定单调性必需考虑定义域 fx单调性判定3. 基本不等式定义法、图象法、性质法“增+增=增” a 2b 22 a

4、b奇函数在对称区间上单调性相同如 a,bR ,就 abab2ab 2偶函数在对称区间上单调性相反3. 周期性注：用均值不等式ab2ab、 ab 2T 是 f x 周期f x Tf x 恒成立（常数 T0 ）求最值条件是“一正二定三相等”4. 二次函数解析式： fx=ax2+bx+c, fx=ax-h2+kfx=ax-x1x-x2对称轴： xb 2a2顶点： b, 4 acb 2 a4 al o ga bl o gan b1nl o gb abb注：性质log a 10log a a1a log a NN单调性： a0, ,递减, ,2 a2 a 递增常用对数lg Nlog10 N ,lg 2l

5、g 512b4 acb自然对数ln Nlog e N, ln e1a当 x, fxmin2a4 a23. 指数与对数函数y=ax 与 y=logx奇偶性： fx=ax+bx+c 是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、争论法-留意对称轴与区间的位置关系 注：一次函数 fx=ax+b奇函数b=0定义域、值域、过定点、单调性？x注： y=a 与 y=log ax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）四、基本初等函数4. 幂函数yx2, yx3, y1x 2 , yx 11. 指数式a 01 a0a nn1a ma nm anyx 在第一象限图象如下：2. 对数式log a Nlog a MNb

6、log a Ma bN log a（ a0,a 1）N1010Mlog anNlog a Mlog a Nloga M loga bnlog a log m b logm aMlg b lg a五、函数图像与方程1描点法函数化简定义域争论性质（奇偶、单调） 取特别点如零点、最值点等yy=fxaobcx3零点定理yy=f|x|aobcx2图象变换如 f a fb0 ,就 yf x 在 a, b 内有零点平移：“左加右减,上正下负”（条件：f x在 a,b 上图象连续不间断）yf xyf xh注：f x 零点：f x0 的实根伸缩： yf x每一点的横坐标变为原来的 倍yf 1 x在 a, b 上

7、连续的单调函数f x ,f af b0就 f x 在 a,b 上有且仅有一个零点对称：“对称谁,谁不变,对称原点都要变”二分法判定函数零点 -f a fb0 ？yf xx轴yf x六、三角函数yf xy轴yf xyf x原点 yf x1. 概念其次象限角2k,2k2 kZ 注： y直线xaf xyf 2ax2. 弧长lr扇形面积 S1 lr2翻折： yf xy| f(x) |保留 x 轴上方部分,3. 定义sinycosxtany并将下方部分沿 x轴翻折到上方rrxyy=fxyy=|fx|其中 P x, y 是终边上一点,POraobcxaobcx4. 符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5

8、. 诱导公式 ：“奇变偶不变,符号看象限”yf xyf | x | 保留 y 轴右边部分,如 Sin26. 特别角的三角函数值sin, cos/ 2sin并将右边部分沿 y 轴翻折到左边0364322asinbcosa2b2sintana b1sin0223101228 三角函数的图象性质y=sinxy=cosxy=tanxcos1322110022tg07. 基本公式313/0/图3象同角sin2cos21sintancos和差sinsincoscossin单调性：,增2 20,减,增2 2coscoscossinsintan倍角sin 2tan1tan2 sincostan tansinx

9、cosxtanx值域-1 , 1-1 , 1无cos2cos2sin22cos21 1 2sin2奇偶奇函数偶函数奇函数tan 22 tan1tan 221cos 221cos 2周期22对称轴xk/ 2xk无降幂 cos =2sin =2中心k, 0/ 2k,0k/ 2,0叠加sin3 sincoscos2 sin42 sin6注： kZ9解三角形2、等比数列基本关系 ：sinA+B=sinCcosA+B=-cosC定义 ：an 11anq q0tanA+B=-tanCsin AB 2cos C2通项 ： ana qn 1正弦定理 ：a=sin Ab sin Bc=sin C求和 ： Snn

10、a1a1 11q1qn q1qa2 R sin Aa : b : cs i nA : s i nB : s i nC中项 ： b2ac （ a, b, c 成等比）余弦定理 ： a2=b2+c2 2bccosA（求边）性质 ：如 mnpq就 amana paqb2cosA=c 22bca 2（求角）3、数列通项与前 n 项和的关系1as1a1 n1面积公式 ：SabsinC2nsnsn1 n2注：ABC 中, A+B+C=？ABsin Asin B4、数列求和常用方法1、等差数列定义 ： an 1anda2b2+c2 .A 2七、数 列公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面对量1向量

11、加减三角形法就,平行四边形法就通项 ： ana1 n1) dABBCAC 首尾相接, OBOC = CB 共始点求和 ： Snna1an na11 n n1d中点公式： ABAC2 ADD 是 BC 中点22ac2 向量 数量积ab = abcos= x1x2y1 y 22中项 ： b（ a, b, c 成等差）00性质 ：如 mnpq ,就 amanapaq注：a , b夹角 ：0 180 a, b 同向 ： a bab模： za 2b22z zz3. 基本定理a1e12e2 （ e1 , e2 不共线 - 基底）复平面 ：复数 z 对应的点2复数运算a, b平行 ： a / babx1y2

12、x2 y1 （ b0 ）加减 ：（ a+bi ） c+di=？乘法 ：（ a+bi ）（ c+di ） =？垂直 ： aba b022x1x22y1 y202除法 ： acbi = a dicbi cdi cdi di =模： a xya bab ab乘方 ： i 23合情推理1 , i ni 4 k ri r夹角 ： cos| a |b |注： 0 a ab ca bc （结合律） 不成立类比 ：特别推出特别归纳 ：特别推出一般演绎 ：一般导出特别（大前题小前题结论）4. 直接与间接证明综合法 ：由因导果 a ba c1复数概念b c （消去律） 不成立九、复数与推理证明比较法 ：作差变形判

13、定结论反证法 ：反设推理冲突结论分析法 ：执果索因分析法书写格式：要证 A 为真,只要证B 为真,即证,这只要证 C 为真,而已知C 为真,故 A 必为真注：常用分析法探究证明途径,综合法写证明过程复数 ： zabi a,bR ,实部 a、虚部 b5数学归纳法：分类 ：实数（ b0 ）,虚数（ b0） ）,复数集C(1) 验证 当 n=1 时命题成立 ,注： z 是纯虚数相等 ：实、虚部分别相等a0 , b0(2) 假设 当 n=kkN*, k1 时命题成立 ,证明 当 n=k+1 时命题也成立共轭 ： zabi由 12知这命题对全部正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时,两步缺一不行 ,归纳

14、假设必需使用十、直线与圆圆一般方程 ： x2y 2DxEyF0 （条件是？）1、倾斜角范畴 0,圆心D ,E 22半径 rD 2E 24F2斜率ktany2y1 x2x16、直线与圆 位置关系注：直线 向上方向 与 x 轴正方向 所成的 最小正角倾斜角为 90 时,斜率不存在2、 直线方程位置关系相切相交相离几何特点dr点斜式 yy0yy1k xxx0 ,斜截式 ykxbdrdr000x1xy代数特点两点式,截距式1y2一般式 Axy1x2x1abByC0注：点与圆位置关系x0a) 2 y0b) 2r 2点 P x0 , y0在圆外留意适用范畴 ：不含直线不含垂直 x 轴的直线xx07、直线截

15、圆所得 弦长AB2r 2d 2不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系 （留意条件）平行k1k2 且 b1b2垂直4、距离公式k1k21垂直A1 A2B1B2022一、 定义十一、圆锥曲线两点 间距离： |AB|= x1x 2 y1y 2椭圆 ： |PF1|+|PF 2|=2a2a|F1F2|点到直线 距离： d5、圆 标准方程 ： xAx0By0C A2B2a) 2 yb2r 2圆心 a , b ,半径 r双曲线 ： |PF 1|-|PF 2|= 2a02ab02b 22y1a0,b0b 2十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步中心 原点对称轴 ？ 焦点 F1c,0、F2-c,0顶点 :椭

16、圆 a,0,0, b ,双曲线 a,0范畴 :椭圆 -axa,-by b双曲线 |x|a ,yR一程序框图程序框名称功能起止框起始和终止输入和输出的信息输入、输出框焦距 ：椭圆 2c （c=a 2b2 ）赋值、运算双曲线 2c（ c=a2b2 ）处理框2a、2b: 椭圆长轴、短轴长, 双曲线实轴、虚轴长离心率 ： e=c/a椭圆 0e1判定某一条件是否成立判定框循环框重复操作以及运算2注：双曲线 xa2y1 渐近线 yb x2b 2a方程 mx2ny2方程 mx2ny21表示椭圆1表示双曲线m0,nmn00.mn二基本算法语句及格式2抛物线 y =2pxp0顶点（原点）对称轴（ x 轴）开口（

17、向右）范畴 x 0离心率 e=11 输入语句 ： INPUT “提示内容” ；变量2 输出语句 ： PRINT“提示内容” ；表达式3 赋值语句 ：变量 =表达式焦点 F p ,02准线 xp 24 条件语句“ IF THEN ELSE”语句“ IF THEN”语句IF条件 THENIF条件 THEN例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为35432语句 1语句例 2 已知 fx=2x 5x 4x +3x 6x+7,秦九韶算法求 f5ELSEEND IF语句 2 END IF5 循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE条件DO循环体WENDLOOP UNTIL循环体条件当型“

18、先判定后循环”直到型“先循环后判定”三算法案例1、求两个数的最大公约数123248 27v0=248127 21v1=2 55=527 121 6v2=5 5 4=212136 3v3=21 5+3=108623+0v4=108 5 6=534v 5=534 5+7=2677十三、立体几何1. 三视图正视图、侧视图、俯视图辗转相除法：到达余数为02. 直观图 ： 斜二测 画法X OY =450更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 fx= a nxn+an-1 xn-1+ .+a1x+a 0 的求值秦九韶算法 ： v1 =anx+an 1v2=v 1x+an 2v3=v 2x+an 3vn=v

19、n 1x+a 0注：递推公式 v0=anvk=v k1X +an kk=1,2, n求 fx 值,乘法、加法均最多n 次平行 X 轴的线段,保平行和长度平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原先一半3. 体积与侧面积V314柱=S 底 hV锥 =S 底 hV球= R333、进位制间的转换S 圆锥侧 =rlS圆台侧 = Rr lS球表 =4 R2k 进制数转换为十进制数：nnn 110na a.a a kakan 1kn 1.a1ka04. 公理与推论确定一个平面的条件 ：不共线的三点一条直线和这直线外一点十进制数转换成 k 进制数：“ 除 k 取余法 ”两相交直线两平行直线公理 ：平行于同一条直线

20、的两条直线平行定理 ：假如两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；5. 两直线位置关系相交、平行、异面异面直线 不同在 任何一个平面内如两个平面垂直, 就一个平面内垂直于交线P的直线与另一个平面垂直三垂线定理 ：OA6. 直线和平面位置关系aaAa /PO, AOaPO, PAaPAaaAOa7. 平行的判定与性质线面平行 ：a b , b, aa ,a,面面平行 ：a ba ba在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直逆定理？9 空间角、距离的运算异面直线所成的角范畴（ 0, 90平移法：转化到一个三角形中,用余弦定理直线和平面所成的角范畴

21、 0 , 90bAB , AC 平面 ABC , aa 8 垂直的判定与性质定义法：找直线在平面内射影,转为解三角形二面角范畴 0 , 180 定义法：作出二面角的平面角,转为解三角形点到平面的距离体积法 - 用三棱锥体积公式注：运算过程, “一作二证三求” ,都要写出线面垂直 ： pAB, pACp面ABC10立体几何中的向量解法法向量求法 ：设平面 ABC的法向量 n =（ x,y ）面面垂直 ： a,anAB, nAC假如一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面垂直；n AB0,nAC0AB解方程组,得一个法向量nC线线角： 设 n1 , n2 是异面直线l1,l 2 的方向向

22、量,十四、计数原理l1 ,l 2 所成的角为,就coscosn1 , n 21. 计数原理加法分类 , 乘法分步2. 排列组合差异 - 排列有序而组合无序即 l1, l 2所成的角等于线面角：n1, n2或n1 , n2mA公式nm= n n1n n1 nmnm1 =n1n！m！n！设 n 是平面的法向量, AB 是平面的一条斜线, AB 与平面所成的角为,Cn =12mmm=m！nm！AB n关系 ： Anm！Cnmnm就 sincosn, ABABn性质 ： Cn= Cn012nnCCCC2nnnn二面角： 设 n1, n2 coscos是面,的法向量,二面角l的大小为,就n1, n2或c

23、osn1 , n23. 排列组合应用题原就 ：分类后分步,先选后排,先特别后一般解法 ：相邻问题“捆绑法” ,不相邻“插空法”复杂问题“排除法”nnnnn4. 二项式定理即二面角大小等于n1, n2或n1, n2a bnC0anC1an 1bC2an 2b2Cr an rbrCnbnrnb点到面距离：特例 1xn1C1 xCr xrxnnn如 n 是平面的法向量, AB 是平面的一条斜线段,且 B,通项 Tr 1Cn arr r0,1,2,nrABn注 Cn - 第 r1 项二项式系数就点 A 到平面的距离 dn性质 ：全部二项式系数和为2 n中间项二项式系数最大赋值法 ：取 x0,1,1等代

24、入二项式十五、概率与统计小长方形面积 =组距频率 =频率组距1. 古典概型：P Am A包含的基本领件个数（）n 总的基本领件个数各小长方形面积之和为1众数最高矩形中点的横坐标中位数垂直于 x 轴且平分直方图面积的直线与x 轴交点的横坐标求基本领件个数：列举法、图表法A的区域长度（面积或体积）2. 几何概型 ： P A区域总长度（面积或体积）注：试验显现的结果无限个3. 加法公式 ：如大事 A 和 B 互斥,就茎叶图 ：由茎叶图可得到全部的数据信息如众数、中位数、平均数等P ABP AP BPA1PA互斥大事 : 不行能同时发生的大事对立大事 : 不同时发生,但必有一个发生的大事4. 常用抽样（不放回）简洁随机抽样 ：逐个抽取（个数少）系统抽样 ：总体均分,按规章抽取（个数多）分层抽样 ：总体分成几层,各层按比例抽取（总体差异明显）5. 用样本估量总体众数 ：显现次数最多的数据中位数 ：按从小到大,处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数 ： x211nxin i 1n方差 Sn i 1 xix标准差 s6. 频率分布直方图