2022年函数的奇偶性与周期性.docx

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1、精品学习资源函数的奇偶性与周期性（第一轮复习）导学目标： 1.明白函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3. 会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题自主梳理1. 函数奇偶性的定义假如对于函数fx 定义域内任意一个x，都有，就称 f x为奇函数；假如对于函数 f x定义域内任意一个x，都有，就称 f x为偶函数2. 奇偶函数的性质1fx为奇函数 . f x fx. f x fx ；fx为偶函数 . fx f x f|x|. fx f x.(2) fx是偶函数 . f x的图象关于 轴对称； f x是奇函数 . f x的图象关于 对称(3) 奇函数在对称的单调区间内有相

2、同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有 的单调性3. 函数的周期性(1) 定义：假如存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有 fx T ，就称 fx为函数，其中T 称作 fx的周期如T 存在一个最小的正数， 就称它为 fx的欢迎下载精品学习资源2(2) 性质： fx T fx经常写作 fx TT fx 2欢迎下载精品学习资源假如 T 是函数 y fx的周期，就 kTk Z 且 k 0也是 yfx的周期，即fx kT fx如对于函数fx的定义域内任一个自变量的值x 都有 fxa fx或 fx a 1f x欢迎下载精品学习资源或 fx a 1f xa 是常数且 a 0，就 fx是以为

3、一个周期的周期函数欢迎下载精品学习资源自我检测1已知函数 fx m 1x2 m2x m2 7m 12为偶函数，就m 的值是 A 1B 2C 3D 42. 2021 茂名月考 假如奇函数 f x在区间 3,7 上是增函数且最大值为5，那么 fx在区间 7， 3 上是A 增函数且最小值是5B. 增函数且最大值是5C. 减函数且最大值是5D. 减函数且最小值是5x3. 函数 y x 1的图象A 关于原点对称B关于直线 y x 对称C关于 y 轴对称D关于直线 y x 对称4. 2021 江西改编 已知函数 f x是， 上的偶函数，如对于x 0，都有 f x 2 fx，且当 x0,2 时， f x l

4、og2x 1，就 f 2 012 f2 011 的值为A 2B 1C 1D 2欢迎下载精品学习资源5 2021x 1x a开封模拟 设函数 fxx为奇函数，就 a.欢迎下载精品学习资源探究点一函数奇偶性的判定例 1判定以下函数的奇偶性1fx x 11 x； 2f x x1 1 ；欢迎下载精品学习资源21 x2x 1欢迎下载精品学习资源3fx log2 xx2 1； 4f xx2 x， x0.欢迎下载精品学习资源变式迁移 1判定以下函数的奇偶性1fx x2 x3；欢迎下载精品学习资源2fx2 1 1x 2；x4 x2欢迎下载精品学习资源33fx |x 3| .探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用

5、2例 2 函数 y fx x 0是奇函数，且当 x 0， 时是增函数，如 f1 0，求不等式 f xx 10 的解集变式迁移 2 2021 承德模拟 已知函数 fxx3 x，对任意的 m2,2 ， fmx 2 fx0，在区间 8,8上有四个不同的根x1， x2，x3， x4，就 x1x2x3x4.变式迁移 3 定义在 R 上的函数 fx是偶函数，且 fx f 2 x如 fx 在区间 1,2 上是减函数，就 fx A 在区间 2， 1 上是增函数，在区间 3,4 上是增函数B在区间 2， 1 上是增函数，在区间 3,4 上是减函数C在区间 2， 1 上是减函数，在区间 3,4 上是增函数D在区间

6、 2， 1 上是减函数，在区间 3,4 上是减函数转化与化归思想的应用例12 分函数 fx的定义域为D x|x 0 ，且满意对于任意x1， x2 D，有 fx1x2fx1 fx2(1) 求 f 1的值；(2) 判定 fx的奇偶性并证明你的结论；3假如 f4 1， f3x1 f2x 6 3，且 fx在0， 上是增函数，求 x 的取值范围欢迎下载精品学习资源【答题模板】解1对于任意 x1， x2D，有 fx1x2 fx1 fx2 ，令x1 x2 1，得 f1 2f 1，f1 0.2 分 2令 x1 x2 1，有 f1 f 1 f 1，1f 1 2f1 0.4 分令 x1 1， x2 x 有 f x

7、f 1 fx ，f x fx，fx为偶函数 6 分3依题设有 f4 4 f4 f4 2，f16 4 f16 f4 3， 7 分f3x 1 f2 x6 3，即 f3 x12 x 6 f648 分fx 为偶函数，f|3x12 x 6|f64 10 分又fx在0， 上是增函数， fx的定义域为 D.70|3 x 12x 6| 64.11 分欢迎下载精品学习资源解上式，得 3x5 或 x1 331或x3. 3欢迎下载精品学习资源x 的取值范畴为 x| 7 x1或 1x3 或 30，从而得出 0|gx| a，解之得 x 的范畴【易错点剖析】在3中，由 f|3x 1 2x 6| f64 脱掉 “f”的过程

8、中，假如思维不缜密，不能准时回忆已知条件中函数的定义域中 x|x 0 ，易显现 0 |3x 12x 6| 64，导致结果错误1. 正确懂得奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：定义域在数轴上关于原点对称是函数 fx为奇函数或偶函数的必要非充分条件；f x fx或 f x fx是定义域上的恒等式2. 奇偶函数的定义是判定函数奇偶性的主要依据为了便于判定函数的奇偶性，有时欢迎下载精品学习资源需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f x fx. f x fx 0 .1fx 0f xf x欢迎下载精品学习资源3. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真利用这一性质可简

9、化一些函数图象的画法，也可以利用它判定函数的奇偶性14. 关于函数周期性常用的结论：对于函数f x，如有 fx a f x或 fx a f x 或1fx a f x a 为常数且 a 0，就 fx的一个周期为 2a欢迎下载精品学习资源满分： 75 分一、挑选题 每道题 5 分，共 25 分1. 2021 吉林模拟 已知 fxax2 bx 是定义在 a 1,2a上的偶函数，那么a b 的值为11A 3B.3欢迎下载精品学习资源C.12D 1欢迎下载精品学习资源22. 2021 银川一中高三年级第四次月考已知定义域为 x|x 0 的函数fx 为偶函数，欢迎下载精品学习资源且 fx在区间 ， 0上是

10、增函数，如 f 30，就 f xx f2B f10， a， x 0， xb， x1 ， f2 m1 ，就 m 的取值范畴是8. 已知函数 fx是 R 上的偶函数， gx是 R 上的奇函数，且gx fx 1，如 f2 2，就 f2 010 的值为 三、解答题 共 38 分9 12 分2021 汕头模拟 已知 fx是定义在 6,6上的奇函数，且fx在0,3 上是 x 的一次式，在 3,6 上是 x 的二次式，且当3 x 6 时， fx f5 3， f6 2，求 fx的表达式欢迎下载精品学习资源10 12 分设函数 f x x2 2|x | 1 3 x 3 1证明 fx是偶函数；(2) 画出这个函数

11、的图象；(3) 指出函数 fx的单调区间，并说明在各个单调区间上f x是增函数仍是减函数； 4求函数的值域欢迎下载精品学习资源2 a11 14 分2021 舟山调研 已知函数 fx x 0，常数 a R欢迎下载精品学习资源(1) 争论函数 fx的奇偶性，并说明理由；xx欢迎下载精品学习资源(2) 如函数 fx在2 ， 上为增函数，求实数a 的取值范畴答案 自主梳理1 f x fxf x fx 2 1002 y原点3相反3 1 fx周期最小正周期2 2a自我检测1. B 由于 fx 为偶函数，所以奇次项系数为0，即 m 2 0， m 2.2. A 奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调

12、性3. A 由 fx fx ，故函数为奇函数，图象关于原点对称4 C f 2 012 f2 011 f2 012 f2 011 f0 f1 log21log 21 11.5 1解读f 1 0，f1 2a 1 0，2x1欢迎下载精品学习资源a 1.代入检验 fx 课堂活动区是奇函数，故 a 1.x欢迎下载精品学习资源例 1解题导引判定函数奇偶性的方法(1) 定义法：用函数奇偶性的定义判定先看定义域是否关于原点对称(2) 图象法： fx 的图象关于原点对称，就fx 为奇函数； fx 的图象关于y 轴对称，就fx为偶函数(3) 基本函数法：把fx 变形为 gx与 hx的和、差、积、商的形式，通过gx

13、与 hx的奇偶性判定出fx 的奇偶性欢迎下载精品学习资源解1定义域要求 11x 0 且 x 1，x欢迎下载精品学习资源 1x 1， fx定义域不关于原点对称， fx是非奇非偶函数2函数定义域为 ，0 0 ， 11 f x xx212欢迎下载精品学习资源2 x x x12 x1 xx欢迎下载精品学习资源122212欢迎下载精品学习资源 x12 x11 fx 2欢迎下载精品学习资源 fx是偶函数 3函数定义域为 R. f x log2 xx2 1欢迎下载精品学习资源 log21xx21 fx， fx是奇函数 log 2xx2 1欢迎下载精品学习资源4函数的定义域为 ， 0 0， 当 x0，就fx

14、x2 x x2 x f x；当 x0 时， x0，就fx x2 x x2x x2 x fx对任意 x ，0 0， 都有 f x fx 故 fx 为奇函数变式迁移 1解1由于 f 1 2， f1 0， f 1f 1， f 1 f1，从而函数fx既不是奇函数也不是偶函数2fx的定义域为 1,1 ，关于原点对称，又f 1 f1 0， f 1 f 1 0，f x既是奇函数又是偶函数4 x2 0欢迎下载精品学习资源3由|x 3| 3得， fx定义域为 2,00,2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源定义域关于原点对称，4 x24 x2欢迎下载精品学习资源又 fx x， f xx欢迎下载精品学习资源

15、f x fxfx 为奇函数例 2解题导引此题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“ 抽象的不等式 ” 为“ 详细的代数不等式 ”在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反解y f x为奇函数，且在 0 ， 上为增函数，y fx在 ， 0上单调递增，且由 f1 0 得 f 1 0.1如 f x x20就1x x 2 11即 0 xx 21，欢迎下载精品学习资源解得12x1 174或1 174x0.欢迎下载精品学习资源1如 f x x20 f 1，就1由 xx 2 1，解得 x.原不等式的解集是x x1 021x x 2 1欢迎下载精品

16、学习资源欢迎下载精品学习资源11171 17欢迎下载精品学习资源 x| x或x0 欢迎下载精品学习资源244变式迁移 2 2，23解读 易知 fx在 R 上为单调递增函数，且 f x为奇函数，故 fmx 2 fx 0，等价于 fmx 2 fx f x ，此时应用 mx 2 x，即 mx x20 对全部 m 2,2恒成立，令 hmmx x 2，欢迎下载精品学习资源此时，只需h 2 0h 2 0 在区间 8,8上有四个不同的根x1， x2， x3， x4，不妨设 x1x2x3 x4.由对称性知 x1 x2 12， x3 x4 4，所以 x1 x2 x3 x4 124 8.变式迁移 3Bf x f2

17、 x，fx 1 f1 x x 1 为函数 fx的一条对称轴又 fx 2 f 2 x2 f x fx，2 是函数 fx的一个周期依据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间2， 1 上是增函数，在区间 3,4 上是减函数 课后练习区欢迎下载精品学习资源1. B 依题意得1a b3.2. Da 1 2a b 0a1，3，b 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 由已知条件，可得函数fx的图象大致为右图，故f xx f2，即 f 1f 2 6 1解读fx是奇函数，且 xR，f0 0，即 a 0.又 f 1 f1，b1 1 10，即 b 1，因此 a b 1.27 1m1 ，

18、2m 3欢迎下载精品学习资源f 1 f1 1，.解得： 1m23m 1 1.欢迎下载精品学习资源8 2解读由 gx f x 1，得 g x f x 1， 又 gx为 R 上的奇函数， g x gx，f x 1 fx 1，即 fx 1 f x 1，欢迎下载精品学习资源用 x 1 替换 x，得 fx f x 2又 fx 是 R 上的偶函数， fx fx2fx fx 4，即 fx的周期为 4.f2 010 f4 502 2 f2 2.9 解由题意，当 3 x6 时，设 fx ax 52 3，f6 2，2 a6 523.a 1.fx x5 233x 63 分f3 3 52 3 1.又fx为奇函数， f

19、 0 0.一次函数图象过 0,0， 3， 1两点 1fx 3x0 x 36 分当 3 x 0 时， x0,3 ，11f x 3 x 3x.1又 f x fx，f x 3x.3fx 1x 3 x 39 分当 6 x 3 时， 3 x6，f x x 52 3 x5 23.2又 f x fx，f x x 5 3. x 5 2 3， 6 x 3，1fx 3x 3x3， 12分 x 5 2 3， 3 x 6.10 解 1 f x x2 2| x| 1 x2 2|x| 1fx，即 f x fxfx 是偶函数2 分 2当 x 0 时， fx x2 2x 1x12 2，当 x0 时， f x x2 2x1 x

20、 12 2，x 1 2 2，x 0，欢迎下载精品学习资源即 fx x 1 2 2， x0.欢迎下载精品学习资源依据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图6 分3由2 中函数图象可知，函数f x的单调区间为 3， 1 ， 1,0 ， 0,1 ， 1,3 fx在区间 3， 1 和0,1 上为减函数，在 1,0， 1,3 上为增函数8欢迎下载精品学习资源分4当 x 0 时，函数 fx x 12 2 的最小值为 2，最大值为 f3 2； 当 x0 时，函数 fx x122 的最小值为 2，最大值为 f 3 2；故函数fx的值域为 2,2 12分11 解1当 a 0 时， fxx2 对任意 x ， 00， ，有 f x x2 x2 fx，fx 为偶函数2 分当 a0 时， f x x2 a0，常数 aR ， x x如 x 1 时，就 f 1 f1 2 0；f 1 f1 ，又 f 1f 1函数 fx既不是奇函数，也不是偶函数6 分综上所述，当 a 0 时， fx为偶函数；当 a 0 时， fx为非奇非偶函数7分2设 2 x1x2，2a2afx1 fx2 x1 x1 x2 x2x1 x2 x1x2 x1x2x1 x 2 a ，10分要使 fx在 x2 ， 上为增函数，必需使fx1 f x20 恒成立x1 x24 ，即 a4 ，x1x2x1 x216 ，a 的取值范畴为 ， 1614 分欢迎下载