2022年函数的概念--教案-学案-辅导教案-习题集.docx

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1、精品学习资源一：定义：函数的概念欢迎下载精品学习资源设 A ，B 是非空的数集，假如根据某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应，那么就称 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=fx ， xA.其中， x 叫做自变量，与x 值相对应的 y 值叫做函数值 .例题：1、以下各曲线中，不能表示y 是 x 的函数的是A 、B 、C、D 、二、待定系数法 ： 在函数解析式的构造时，可用待定系数法；欢迎下载精品学习资源例 1设f x 是一次函数，且f fx4x3 ，求f x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2解：设

2、f xaxba0 ，那么欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f fxaf xba axbba xabb欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2a4abb3a 2a2或b 1b3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x2 x1或f x2 x3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2：已知二次函数f x过点（ 1，0），（ 3,0）和（2，- 1），求f x的解析式；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设f xax 2bxc a0,欢迎下载精品学习资源由题得：a1欢迎下载精品学习资源abc0解得 b49a3bc0c3f xx24 x3欢迎下载精品学习资源4a2bc1欢迎下载

3、精品学习资源法二：设 f二、配方法 ：xa x1 x3欢迎下载精品学习资源例 2f x1 xx 21xx20，求f x 的解析式欢迎下载精品学习资源解：f x1 x x1 2x2 ， x12xf xx22 x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、换元法： 复合函数f g x 的表达式时，仍可以用换元法求f x 的解析式；与配凑法一样，要留意所换元欢迎下载精品学习资源的定义域的变化；欢迎下载精品学习资源例 3f x1x2x ，求f x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：令 tx1，那么 t1 ， x2t1欢迎下载精品学习资源f x1x2x欢迎下载精品学习资源f t t1 22t

4、1t 21,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xx 21x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x1x1 21x22 x x0欢迎下载精品学习资源2四、代入法 ：求函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法；欢迎下载精品学习资源例 4：函数 yxx与yg x 的图象关于点2,3 对称，求g x 的解析式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设M x, y 为 ygx 上任一点，且M x , y 为 Mx, y关于点 2,3 的对称点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xx那么y2y 22xx4，解得：，3y6y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源点 M

5、x, y 在 ygx 上欢迎下载精品学习资源yx 2x欢迎下载精品学习资源xx4把y6y代入得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6yx4 2x4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源整理得 yx 27 x6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g xx27 x6欢迎下载精品学习资源五、构造方程组法 ：假设的函数关系较为抽象简约，那么可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式；欢迎下载精品学习资源例 5设f x满意f x2 f 1 xx, 求f x欢迎下载精品学习资源解f x2 f 1 xx欢迎下载精品学习资源明显 x10,将 x 换成11 ，得：x欢迎下载精品学

6、习资源f x2 f xx欢迎下载精品学习资源解 联立的方程组，得：欢迎下载精品学习资源f xx233 x欢迎下载精品学习资源例 6设f x 为偶函数，g x 为奇函数，又f xgx1,试求x1f x和g x 的解析式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解f x 为偶函数，g x为奇函数，f xf x, gxg x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xgx1又 ，x1欢迎下载精品学习资源用x 替换 x 得：f x1gx1x1欢迎下载精品学习资源即 f xg xx1欢迎下载精品学习资源解 联立的方程组，得欢迎下载精品学习资源f x1x 21 ，g x1x 2x欢迎下载精品学习资源六、赋

7、值法 ： 当题中所给变量较多，且含有“任意等条件时，往往可以对具有“任意性的变量进行赋值，使问题详细化、简洁化，从而求得解析式；欢迎下载精品学习资源例 7：f 01 ，对于任意实数 x、y，等式f xyf xy 2xy1 恒成立，求f x欢迎下载精品学习资源解对于任意实数 x、 y，等式f xyf xy 2 xy1 恒成立，欢迎下载精品学习资源不妨令 x0 ，那么有f yf 0yy11y y1y 2y1欢迎下载精品学习资源再令yx 得函数解析式为：f xx2x1欢迎下载精品学习资源七、递推法 ： 假设题中所给条件含有某种递进关系，那么可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得

8、函数解析式；欢迎下载精品学习资源例 8设f x 是定义在 N上的函数，满意f 11 ，对任意的自然数a, b都有 faf bf abab ，欢迎下载精品学习资源求 f x欢迎下载精品学习资源解f af bf abab， a,bN ，欢迎下载精品学习资源不妨令 ax,b1 ，得：f xf 1f x1x ，欢迎下载精品学习资源又 f 11,故f x1f xx1欢迎下载精品学习资源分别令式中的 x1,2n1得：欢迎下载精品学习资源f 2f 3f 12,f 23,欢迎下载精品学习资源f nf n1n,欢迎下载精品学习资源将上述各式相加得：f nf 123n ，欢迎下载精品学习资源f n123nn n1

9、 2欢迎下载精品学习资源f x1 x221 x, xN 2欢迎下载精品学习资源复合函数的定义欢迎下载精品学习资源一般地： 假设 yf u ，又 ug x ，且g x 值域与f u 定义域的交集不空， 那么函数 yf g x 叫 x 的欢迎下载精品学习资源复合函数 ，其中 yf u 叫外层函数，ug x 叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替欢迎下载精品学习资源换成另一个函数所得的新函数.欢迎下载精品学习资源例 如 :f x3x5, g xx21；复 合 函 数f g x即 把f x里 面 的 x 换 成g x，欢迎下载精品学习资源f g x3g x53 x2153x28欢迎下

10、载精品学习资源例1.f x 的定义域为3,5 ，求函数f 3x2 的定义域；欢迎下载精品学习资源解：由题意得3x5欢迎下载精品学习资源33x2513x7欢迎下载精品学习资源所以函数f 3x17x33172 的定义域为,.3 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源练1.f x 的定义域为0，3 ，求f x22 x 定义域；欢迎下载精品学习资源解由于复合函数中内层函数值域必需包含于外层函数定义域中，即欢迎下载精品学习资源22x2 x0x2，或 x0欢迎下载精品学习资源0x2x3x22 x33x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即3x故 f x 22 x2 或 0x1的定义域为3, 20

11、,1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2. 假设函数 f 32x 的定义域为1,2，求函数fx 的定义域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解:由题意得2x3欢迎下载精品学习资源63x9423x11欢迎下载精品学习资源所以函数f x 的定义域为：4,11欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例3.f x1 的定义域为 2，3 ，求 fx2 的定义域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 由 f x1 的定义域为 2，3 得2x3 ，故1x14欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即得 fx 定义域为 1，4 ，从而得到1x24 ，所以 1x6欢迎下载精品学习资源故得函数

12、fx2 的定义域为1,6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例4. 函数 fx 定义域为是a,b ，且 ab0 , 求函数 h xf xmfxmm0 的定义域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源axmb解:axmbamxbm，amxbmm0,amam欢迎下载精品学习资源bmbm，又 ambm欢迎下载精品学习资源要使函数h x 的定义域为非空集合，必需且只需ambm ，即 0mba，这时函数2h x 的定义域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源为 am,bm函数的值域的求法欢迎下载精品学习资源常用求值域方法直接观看法 ：利用已有的根本函数的值域观看直接得出所求函数的值域对于一些比较简

13、洁的函数，如正比例, 反比例 , 一次函数 , 指数函数 , 对数函数 , 等等 ,其值域可通过观看直接得到；y1 , x1,2欢迎下载精品学习资源例 1、 求函数x的值域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 2、 求函数 y答案：值域是：3,3x 的值域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 3、 函数 y12x21的值域 .欢迎下载精品学习资源解： y 0y 2欢迎下载精品学习资源配方法： 二次函数或可转化为形如F xa fx 2bf xc类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情形欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源要留意f x 的范畴 ；配方法是求二次函数值域最根本的

14、方法之一；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 1、 求函数yx22 x5, xR 的值域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2例 2、 求函数 yx2x5, x1,2 的值域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：将函数配方得：yx1 24 x1,2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由二次函数的性质可知：当x=1 时， 故函数的值域是： 4 ， 8y min4 ，当 x1时，y max8欢迎下载精品学习资源换元法 ：三角换元法 有时候为了沟通与未知的联系，我们经常引进一个几个新的量来代替原先的量，实行欢迎下载精品学习资源这种“变量代换往往可以暴露与未知之间被外表形式掩

15、盖着的实质，发觉解题方向， 这就是换元法 在求值域时， 我们可以通过换元将所给函数化成值域简洁确定的另一函数，从而求得原函数的值域欢迎下载精品学习资源例 1、 求f xx1x 的值域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：令1xt0 ，那么 x21t t 0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xf 122t 1t2tt15 5 ，欢迎下载精品学习资源244，所以函数值域为54欢迎下载精品学习资源例 2、 求函数 yx12x的值域；欢迎下载精品学习资源解：由 12x0 ，得 x1 ；令 12 xt t02欢迎下载精品学习资源1t 21t 21211欢迎下载精品学习资源得 x，于是

16、 y 2tt1221 ，由于 t0 ，所以 y2 ；故所求函数值域为 - ， 2 ；欢迎下载精品学习资源例 3、 求函数 yx12x 的值域 .数形结合法 ；欢迎下载精品学习资源例1、 求函数f xx22 x3 2 x0，的值域欢迎下载精品学习资源x22 x3 0 x 3欢迎下载精品学习资源分析：求分段函数的值域可作出它的图象，那么其函数值的整体变化情形就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图象如以下图欢迎下载精品学习资源 f 1f 14 ，f 23 ，f 30 ，f 03 ，欢迎下载精品学习资源 函数的最大值、 最小值分别为 0 和4，即函数的值域为 4，0 欢迎下载精品学习资源例2、

17、 求函数 yx2 2x8 2的值域 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 原函数可化简得：y|x2 | x8 |欢迎下载精品学习资源上式可以看成数轴上点Px到定点 A2， B 8 间的距离之和；欢迎下载精品学习资源由上图可知，当点P 在线段 AB上时， y| x2 | x8| | AB | 10欢迎下载精品学习资源当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时，y| x2 |x8 | |AB | 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故所求函数的值域为：10,欢迎下载精品学习资源1、求函数 yx1x3 的值域 .2、求函数 yx3x1 的值域 .欢迎下载精品学习资源均值不等式法

18、 ：x2例 1、 求函数 y2 x2 x1 的值域x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：原函数可化为x1 21yx1x112 x1x1欢迎下载精品学习资源当且仅当 x0 时取等号，故值域为2 ,欢迎下载精品学习资源y例 3、 求函数x2x3 的值域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：令 tx2 ty0 ，那么 xt13t 211欢迎下载精品学习资源t 21t120y1欢迎下载精品学习资源1当 t0 时，t，当且仅当 t=1 ，即 x1时取等号，所以2欢迎下载精品学习资源2当 t=0 时， y=0；10,综上所述，函数的值域为：2注：先换元，后用不等式法a x2b xc欢迎下

19、载精品学习资源根判别式法： 对于形如 y111 a1， a2 不同时为 0 的函数常采纳此法，就是把函数转化成关于x 的欢迎下载精品学习资源a x2b xc222一元二次方程二次项系数不为0 时，通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域 对二次函数或者分式函数分子或分母中有一个是二次都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简欢迎下载精品学习资源例 1、 求函数 y1xx21x2的值域欢迎下载精品学习资源解： 原函数化为关于 x 的一元二次方程 y1x2xy10 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1当 y1时， xR ，213，解得；欢迎下载精品学习资源 14 y

20、1 y1 0 y 欢迎下载精品学习资源2当 y1 时， x22，0 ，而 11322欢迎下载精品学习资源，故函数的值域为1322欢迎下载精品学习资源1、求函数 y5 x28 xx215 的值域 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源别离常数法： 例 1、求函数 y2 x2 x1的值域欢迎下载精品学习资源2 x2 x111解： yxx1x212121欢迎下载精品学习资源xx 20 ，112 x111， 1 12 x11 ， 10 ，2x1欢迎下载精品学习资源 函数的值域为 0，1 欢迎下载精品学习资源求 yx x1的值域 .2欢迎下载精品学习资源解：利用局局部式法由yx2313x2x21 ，

21、可得值域y y1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源小结： 分式函数 yaxbccxd0 ，假如在其自然定义域代数式自身对变量的要求内，值域为y ya；c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如是条件定义域对自变量有附加条件，采纳局局部式法将原函数化为数法来求值域；倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发觉另一番境况badyacccxdadbc ，用复合函欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y例 1、 求函数x2x3 的值域 .欢迎下载精品学习资源yx2x3x20时，欢迎下载精品学习资源1x21x2120y1欢迎下载精品学习资源yx2x22x20时， y=00y1

22、2多种方法综合运用总之，在详细求某个函数的值域时，第一要认真、认真观看其题型特点，然后再挑选恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和根本不等式法，然后才考虑用其他各种特别方法；【例题综合分析】例 1、 求以下函数的值域：欢迎下载精品学习资源1 y3x2x2 ；2yx26x5 ；3 y3 x1 ；x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4 yx4 1x ；5 yx1 x2；6 y| x1| x4 |；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7 y2x22x 2 ；8 y2 x2x1 x1 ； 9 y1sin x欢迎下载精品学习资源xx1解：2 x122 cos x欢迎下载精品学习资源1

23、法一： 公式法 略21 22323欢迎下载精品学习资源法二：配方法y 3xx23x，61212欢迎下载精品学习资源2 y3 xx2 的值域为 23 , 12欢迎下载精品学习资源【拓展】 求函数 y3x2x2 ， x1,3 的值域欢迎下载精品学习资源2解：利用 函数的单调性 函数 y3xx2 在 x1,3 上单调增，欢迎下载精品学习资源当 x1 时，原函数有最小值为4 ；当 x3 时，原函数有最大值为26 欢迎下载精品学习资源函数 y3x2x2 ， x1,3 的值域为 4,26 欢迎下载精品学习资源2求复合函数的值域：设x26 x5 0 ，那么原函数可化为y欢迎下载精品学习资源又x26 x5 x

24、3244 ， 04 ，故0,2 ，欢迎下载精品学习资源 yx26x5 的值域为 0, 2 欢迎下载精品学习资源3法一 反函数法 ： y3x1 的反函数为 y x22x1 ，其定义域为 xR | xx33 ，欢迎下载精品学习资源原函数 y3x1 的值域为 x2yR | y3 欢迎下载精品学习资源法二 别离变量法 ： y3x13x2737，欢迎下载精品学习资源x2x2x2 70 ， 373 ，x2x2欢迎下载精品学习资源函数 y3 x1 的值域为 x2yR | y3 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4换元法代数换元法 ：设 t1x0 ，那么 x1t 2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学

25、习资源原函数可化为 y1t 24tt2 25t0 ， y5 ，欢迎下载精品学习资源原函数值域为 ,5 欢迎下载精品学习资源说明：总结 yaxbcxd 型值域，变形：yax2bcx2d 或 yax2bcxd欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5三角换元法 ： 1x20 1x1 ，设 xcos,0, ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源那么 ycossin2 sin 4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0, ，52, ， sin,1 ，欢迎下载精品学习资源44442欢迎下载精品学习资源 2 sin 1,2 ，4欢迎下载精品学习资源原函数的值域为 1,2 2x3 x4欢迎下载精品学习

26、资源6数形结合法 ： y| x1| x4 |54x1 ， y5 ，欢迎下载精品学习资源2 x3 x1函数值域为 5, 欢迎下载精品学习资源7判别式法 ： x2x10 恒成立，函数的定义域为R欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 x2由 y2x 2得： y2 x2 y1xy20欢迎下载精品学习资源xx1欢迎下载精品学习资源当 y2 0 即 y2 时，即 3x00 ， x0R欢迎下载精品学习资源当 y20 即 y2 时， xR时方程 y2 x2 y1xy20 恒有实根，欢迎下载精品学习资源 y124 y2 20 ， 1y 5 且 y2 ，欢迎下载精品学习资源原函数的值域为 1,5 欢迎下载精

27、品学习资源12 x2x1x2 x111121欢迎下载精品学习资源8yxx，欢迎下载精品学习资源2 x12x12x12x122欢迎下载精品学习资源成立 y111x1 ，2x120 ， x12x2122 x12 x2122 ，当且仅当x12x212时，即x122时等号2 1 ，原函数的值域为221 , 2欢迎下载精品学习资源9法一 方程法函数有界性 ：原函数可化为： sin xy cos x12 y ，欢迎下载精品学习资源1y2sinx12y 其中cos1,siny，欢迎下载精品学习资源 sinx12 y1y21,1， |12 y |1y21y22， 3 y4 y0 ， 0y4 ，欢迎下载精品学习资源1y230,原函数的值域为4 3欢迎下载精品学习资源法二 数形结合法 ：可看作求点 2,1 与圆 x2y21 上的点的连线的斜率的范畴，解略欢迎下载精品学习资源例 2、 假设关于 x 的方程22 |x3|23 a 有实数根，求实数 a 的取值范畴 综合欢迎下载精品学习资源解：原方程可化为 a22 |x3|23 ，欢迎下载精品学习资源令 t2|x 3|0，那么t1 ， aft t223 ，又af t 在区间 0,1 上是减函数，欢迎下载精品学习资源 f 1f t f 0 ，即 2f t1 ，欢迎下载精品学习资源故实数 a 的取值范畴为：2a1欢迎下载