2022年必修二第二章点直线平面的位置关系知识总结 .docx

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1、空间点、直线、平面的位置关系（ 1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限舒展的； 平面的表示： 通常用希腊字母、表示,如平面（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC. 点与平面的关系： 点 A 在平面内,记作 A；点 A 不在平面内,记作 A.点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上,记作： A l；点 A 在直线 l 外,记作 Al.直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 内,记作 l；直线 l 不在平面 内,记作 l.（ 2）公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面内.（即直线在平面内,或者平面经过直线） 应用： 检

2、验桌面是否平判定直线是否在平面内用符号语言表示公理1：Al , Bl , A, Bl（ 3）公理 2： 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论： 始终线和直线外一点确定一平面.两相交直线确定一平面.两平行直线确定一平面.公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（ 4）公理 3： 假如两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面和相交,交线是a,记作 a.符号语言：PA IBA IBl , Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.（教科书习题2

3、.1 B组 3 题）它可以判定点在直线上,即证如干个点共线的重要依据.（教科书习题2.1 B组 2 题）（ 5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行（ 6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 ：既不平行,又不相交 . 异面直线判定： 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 ：直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线 aa, b b,就把直线 a和 b所成的锐角 （或直角） 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 .两条异面直线所成角的范畴是（ 0,90,如两条异面直线所成的角是直

4、角,我们就说这两条异面直线相互垂直.说明 ：（ 1）判定空间直线是异面直线方法：依据异面直线的定义（反证法）异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关 .3求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的位置,顶点选在特别的位置上 .B、证明作出的角即为所求角. C、利用三角形来求角 .（ 7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.（ 8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有很多个公共点三种位置关系的符号表示：aa Aa（ 9）平面与平面之间的位置关系：平行 没有公

5、共点 .相交 有一条公共直线 .b5、空间中的平行问题（ 1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行, 就该直线与此平面平行 .线线平行线面平行线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行 . 线面平行线线平行（ 2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（ 1）假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行面面平行） ,以下书上没有：（ 2）假如在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.（线线平行面面平行） ,（ 3）垂直于同

6、一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理（ 1）假如两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行. （面面平行线线平行） 以下书上没有：（ 2）假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行. （面面平行线面平行）7、空间中的垂直问题（ 1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直.线面垂直：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角（从一条直线动身的两个半平面所组成的图形） 是直二面角（平面角是直角） ,就说这两个平面垂直.（ 2

7、）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理 ：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理 ：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.面面垂直的判定定理和性质定理判定定理 ：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直.性质定理 ：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面. 9、空间角问题（ 1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0 .两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线

8、a, b 平行的直线 a ,b ,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（ 2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0 .平面的垂线与平面所成的角：规定为90 .平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 .求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三运算”.在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,留意挖掘题设中两个主要信息：（ 1）斜线上一点到面的垂线； （ 2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质

9、易得垂线.（ 3）二面角和二面角的平面角二面角的定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作 垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面假如所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,假如两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角.垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角

10、为二面角的平面角 .1、线线、线面、面面平行关系的转化：面面平行性质/a ,a / bba / ab, ba /a,baAbabAaba /, b /公理 4线面平行判定面面平行判定 1面面平行性质 a/b,b/c线线线面面面/a/ca / a线面平行性质面面平行性质 1/a/ba /a / b2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a, babOla, lbala三垂线定理、逆定理线面垂直判定 1面面垂直判定PA, AO为PO线线线面面面在 内射影a线面垂直定义l面面垂直性质,推论2a就a OAa POl aa POa AObaa, a baa面面垂直定义l,且二面角l成直二面角3. 平行与垂

11、直关系的转化：aaa / / b/ /baa线面垂直判定 2面面平行判定 2线线线面面面线面垂直性质 2面面平行性质 3a一、挑选题： ba / / b/ /a1. 已知,为平面, A、B、M 、 N 为点, a 为a 直线,以下推理错误选项（）A. AB. Ma, A, M, Ba, Ba, N, NMNC. A, AD. A、 B、MA, A、B、M,且A、B、M 不共线、 重合2. 在正方体 ABCD A 1B1C1D1 中,已知棱长为 a,就异面直线A 1B 与 B1C 所成角的大小为（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 3. 设 P 是异面直线 a、b 外的一点,就过

12、P 点且与 a、b 都平行的平面（）A. 有且只有一个B.恰有两个C. 没有或只有一个D. 有很多个4. 如三个平面把空间分成6 个部分,那么这三个平面的位置关系是（）A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交D. 三个平面两两相交二、填空题：5. 用符号语言表示以下语句：（ 1）点 A 在平面内,但在平面外；（ 2）直线 a 经过平面外一点 M；（ 3）直线 a 在平面内,又在平面内,即平面和相交于直线 a；6. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是7. 在四周体 A-BCD中, AD=BC ,且 AD的角为BC

13、 , E, F 分别是 AB ,CD 的中点,就 EF 与 BC 所成三、解答题：8. 证明：已知a / b/ c, alA, blB , clC ,求证：a、b、c 、l四线共面；9. 正方体AC1 中, E、F 为 AB 、 B1B中点,求A1 E 、 C1 F所成的角的余弦值；一、挑选题：1. C解析：选项 A 反映的是公理1,选项 B 反映的是公理3,选项 D 反映的是两平面重合的条件, 选项 C 中与相交,点 A 在交线上,应选项C 表述错误；2. C解析：如图,连接A 1D, BD , A 1D/B 1C, BA 1 D 为所求,在 A 1DB 中, A 1D=BD=A 1B, D

14、A 1 B=60；3. C解析：设点 P 与直线 a 确定的平面为,当 b 平行于 a 时, 过点 P 且与 a、b 都平行的平面不存在；当 b 不平行于 a 时,过点 P 且与 a、 b 都平行的平面有且只有一个；4. C二、填空题：5. （ 1）A且A（2）M, Ma（ 3） a且a,即a6. 相交或异面7. 解析：如下列图,取BD 的中点 G,连接 EG, GF,就 EFG 为异面直线EF 与 BC 所成的角；因为 EG1 AD,GF21 BC, 且AD2BC,所以EGGF；由于ADBC ,EG/AD ,GF/BC ,所以 EGGF,所以 EGF 为等腰直角三角形,所以EFG=45；三、解答题：8. 证明：A 、Ba/ b 确定平面 l, b b / c确定平面同理 lbblB过两条相交直线l 、 b 有且仅有一个平面、 重合 a、b、c 、l 四线共面19. 证明： H 在 A1B1上,B1HA1 B14M 为 A1B1 中点 A1E / BM / HF HF 与 C1 F所成角等于异面直线A1E 、 C1 F所成的角设棱长为 aC1 F5 a, HF5 a24C1H17 a4C1 FH中, cos2C1FH5 A E 、 C F 所成角的余弦值为2115