2022年数学物理方程总结.docx

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1、数学物理方程总结浙江理工高校数学系第一章:偏微分方程的基本概念偏微分方程的一般形式: F x, u,u ,u ,2u2 ,0x1xnx1其中 xx1, x2,.,xn 就是自变量 , u xu x1, x2,., xn 就是未知函数偏微分方程的分类 :线性 PDE 与非线性 PDE, 其中非线性 PDE 又分为半线性 PDE, 拟线性 PDE与完全非线性PDE ；二阶线性 PDE 的分类 两个自变量情形 :2u2u2uuua112x2a12x ya222yabcu xy0 一般形式 记为 PDE1主部目的 :可以通过自变量的非奇特变换来化简方程的主部,从而据此分类 x, y x, yxy非奇特

2、0xy依据复合求导公式最终可得到:2 u2u2uuuA1122 A12A222ABCu0 其中 :Aa 22aa2xxyy11111222A12a11x xa12 xyxya22y yAa 22aa2xxyy22111222z 2zzz 2考虑 a112 a12a22 0 假如能找到两个相互独立的解xxyyz x, yz x, y那么就做变换x, y x, y从而有A11A220在这里要用到下面两个引理:引理 1:假设 z x, y 就是方程 a z 22 azzaz201的特解 ,就关系111222111222xxyy式 x, yC 就是常微分方程 : ady 22a dxdyadx 202

3、的一般积分；引理 2: 假设 x, yC 就是常微分方程 2 的一般积分 ,就函数 z x, y 就是 1 的特解；由此可知 ,要求方程 1的解 ,只须求出常微分方程 2 的一般积分；常微分方程2为 PDE1的特点方程 ,1 的积分曲线为PDE1 的特点曲线；a dy 22 adxdya dx 20111222dya 122a 12a 11 a 22记 x, ya 2a a就:dxa111211 222u2u2u x, y0（双曲型PDE）或22 x, y=0 x, y0（抛物型（椭圆形PDE） PDE）x yxy2 ux222uux2y22u一维的波动方程 :2t2u2ax2f x, t 0

4、xL ,t0一维的热传导方程2ua 2uf x,t 0xL,t0tx2高维的情形只需要把2u 改为 laplace 的形式即可；x2数学物理方程 泛定方程 加上相应的定解条件就构成了定界问题；依据定解条件的不同,又可以把定解问题分为三类:初值问题 Dirichlet:定解条件仅有初值条件边值问题 Neumann :定解条件仅有边值条件混合问题 Rbin BC :定解条件有初值条件也有边值条件数学物理方程的解 :假如一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数,并且带入数学物理方程使方程成为等式,称此函数为在该取值区域方程的解；定界问题的适定性 :假如一个定解为题的解存在,唯独且稳

5、固 ,就称这个定界问题就是适定的;反之 ,如有一个性质不满意 ,就称这个定界问题就是不适定的；所谓界存在 ,就是指定解问题至少有一个解；假如一个定界问题的解不存在,这个问题就完全失去了意义 ,但定界问题反应的就是客观物理实际,在实际问题中说明存在的；如定解问 题的解不存在 ,说明所建立的定界问题就是错误的,可能就是在推导过程中有非次要因素被忽 略掉了 ,导致泛定方程错误,仍有可能定解条件给错了等； 这就需要重新考虑定解问题的提法；解的唯独性从物理意义上讲就是明显的,假如解存在但不唯独 ,将无法确定所求解就是否就是所需要的 ,当然也无法求近似解；这说明问题的提法仍不够准确,需要进一步分析；所谓解

6、的稳固性 ,就是指当定解问题有微小变动时,解就是否相应地有微小的变动,假如就是这样 ,该解就就是稳固的解 ; 否就所得的解就没有有用价值,由于定解条件通常就是利用试验方法所获得的 ,因而所得到的结果有肯定的误差,假如因此导致解的变动很大,那么这种解明显不符合客观实际的要求；而我们多学的定解问题都就是经典问题,她们的适定性都就是经过证明白的；其次章: 分别变量法分别变量法的主要思想:1、将方程中含有各个变量的项分别开来,从而原方程拆分成多个更简洁的只含 1 个自变量的常微分方程;2、运用线性叠加原理,将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程 ;3、利用高数学问、级数求解学问、以及其她奇妙方法

7、,求出各个方程的通解;4 、最终将这些通解“组装”起来；分别变量法就是求解偏微分方程最基本最常用的方法；主要依据的理论依据就是线性方程的叠加原理与 Sturm-Liouville理论；最核心的思想就是将偏微分方程的求解化为对常微分方 程的求解；下面就有界弦的自由振动的定解问题争论22ua 2ut 2x20,0xlu x 00,u x l0,t0u t 0 x,ut t 0x,0xl观看留意其特点就是 : 方程齐次 , 边界齐次、端点会引起波的反射 ,弦有限长 ,波在两端点之间来回反射；两列反向行进的同频率的波形成驻波；驻波的特点 : 1 没有波形的传播 ,即各点振动相位与位置无关,按同一方式随

8、时间振动,可统一表示为T t 2各点振幅随点而异,而与时间无关 ,用 Xx表示 ,所以驻波可用X xT t 表示设 u x, tX xT t 且 u x, t不恒为零 ,带入方程与边界条件中得到2XTa X T0X xT t 1由于 u x,t 不恒为零 ,有:X xa2TtX xX x02T t a 2T t 0.3利用边界条件 :X 0T t 0X l Tt04（4） 成立X 00,X l 0X X05X 00, X l 0参数成为特点值；函数X x成为特点函数下面分三种情形争论特点值问题xxC1C2012i0 方程的通解为X xC1eC2e由边值条件得C elC el0C1 =C 2=0

9、从而X x0,0无意义ii=0 方程的通解X xC1xC 2 同样的到X x0 ,=0无意义iii0 时,通解X xC1 cosxC2 sinx 由边值条件得C10得到C2sinl0C20,X xC从而 sinsin nl0 ,故ln即n 222,nl1,2,3,而由于2x,nl1,2,n再求 T: T t22a2 nl 2Tnt0其解为 : Tt A cosn atB sinnatnnlnln atn atn x所以 un x, tAn cos lBn sin lsin ln1,2,3,依据叠加原理可以得到 : u x, t An atcosB sinn atn xsinnlnlln 1定解

10、问题的解就是Fourier 正弦级数 ,这就是在 x0 与 x=l处的第一类齐次边界条件打算的；nlA2 sindnnl0llBnna2nnalnl sind0解的物理意义u x, t Acos na tB sinna t sin n xnnlnllN sintS sin n xnnnlu x, tn 1 un x, tux,t 就是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成；n 1 的驻波称为基波,n1 的驻波叫做 n 次谐波、留意 :分别变量法适用范畴 : 偏微分方程就是线性齐次的,并且边界条件也就是齐次的；其求解的关键步骤 :确定特点函数与运用叠加原理；对于不同类型的定解条件做了

11、如下总结左端点右端点特点值特点函数取值范畴一一n22Bn sinl 2nlxn=1,2,3,；一二2n124l 222 n1B sinn2lx n=0,1,2,；二二n2l 22B cos nn=0,1,2,；nlx二一2n14l 222Bn cos2 n1n=0,1,2,；2lx齐次化原理 :Duhamel设 x, t, R : 03x, t0 上的函数 U x, t, 关于自变量 x,t 二次可微U x, t , 连同关于 x 与 t 的一阶与二阶偏导数都对x,t , 在 x, t, R3 : 0x, t0 上连续 ,且U x, t, 满意 :2U x,t,t2U x, t, xU x,

12、, U x, t,ta 22U x, t,x2U x,t ,0,0x, t000, x0,00xx, tf x,0xtt就函数 ux,t 0U x,t,d就是下面方程的解 :2u x, t2t 2a2u x, t x2u x,t xf x, t,0x,tux, t,ux,0u x,t tx 000,0,00xx,t0,0xt 01、圆域上的 laplace 方程定界问题2u00ra, 02边界条件ua,f 02想法就是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标；挖掘边界条件 : r 的边界就是 0 与 a, j 的边界就是 0 与 2、自然边界条件u 0,有限值 ,周期边界条件 : ur ,0ur ,2

13、 ,分别变量令1u12uuRr ,带入极坐标 Laplace 方程 :r220 得rrrr到:rdrdRm2 Rdrdr于就是可以化为下面两个常微分方程:m20,02122rRrRm R02 、求解式 1的本征函数得到: Am cosm Bm sin m m0,1, 2,在求解 2式,形式上就是欧拉方程 ,因此可以通过 tln r 来进行代换 ,得:RdRdRdt1 dRdrdtdrr dtd1 dRddRdt1d 2RdRRe tdrr dtdtdtdrr 2dt 2dt因此式 2化简为 : Rt2m Rt0 它的通解就是 :m=0 时, R0 t C0D0 ln rm0 时, Rt C r

14、 mD rmmmm由自然边界条件“ u0,j= 有限值“ 可知D0 =0 与Dm =0 、所以 ,原 Laplace 方程的通解为: ur ,A A cosmBsin mr m再代入边界条0mmm 1件: ua,f 02f A A cos mBsin m am上式实际上就就是fj 的傅立叶级数绽开式 ,所0mmm 1以待定系数可以确定 :A12f02012Amam0df cosm dBm二维 Laplace 方程的一般解12am0f sin m d为: ur ,C0D0 lnrC r mDmrAm cosmBm sin mmmm 11) 假如考虑圆内问题就其解为: u r ,Am cos mB

15、m sinm 0mr m2) 假如考虑圆外问题就其解为: u r ,A cosmBsin mr mmmm 03) 假如考虑就是圆环问题,就其解为一般解 ,其中的系数由边界条件确定；关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件,因此在这里就不多说了,其求解原理与方法与求解其次边界条件问题就是一样的；第三章:行波法与积分变换行波法:1. 基本思想 :先求出偏微分方程的通解,然后用定界问题确定特解；2. 关键步骤 :通过变量代换 ,将波动方程化为便于积分的其次二阶偏微分方程3. 适用范畴 :无界域内的波动方程等达朗贝尔公式 :2ua2 t 22u2 ,xu x,0x,t0ux,0x, x,x t其

16、解为 :u x, t1 xat xat 1x at d一味的达朗贝尔公式 22ax at1b 再次引入一个平均值函数ff xdx为了应用这种表达式在这里令b a a1x ata=x+at;b=x-at就有 ff s ds就达朗贝尔公式可以表示如下形2at_x at式: ux,t ttt解的物理意义 :1a. 只有初始位移时 , ux, t xat xat 2, xat 代表以速度 a 沿 x 轴正向传播的波 , xat 代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波；1x atb. 只有初始速度时 : u x,t d,假使初始速度在区间上就是常数 ,而在此区2ax at间外恒等于 0, u x, t1

17、 xat 1 xat ；结论就是 :达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a 波的叠加 ,故称为行波法；相关概念:2 ua2当方程为非齐次时 :t22 u x x,2f x, t ,x, t0*u x,0ux,0t x,x由叠加原理可知 ,假如 vx,t 就是初值问题 :2v t 2vx,0a 22vx2,x,t0 x,vx,0t的解； x,xwx,t 就是初值问题 :2w t 2w x,0a22wx2f x,t,x,t00,wx,0t0,x就 u=v+w 就是初值问题 * 的解 ,即可直接写出 * 的解 ux,t 为:u x,t 1 xatxat 1x atd1tx a tf, d2

18、2ax at2a 0x a td这个公式成为一维非齐次波动方程初值为题解的Kirchhoff公式半无界弦的振动问题 :1.端点固定22ua2ut2x2f x, t0x,t0ux,0 x, u0,t 0u x,0 t x,0x求解的思想就是 ,把它转化为无界弦的振动问题,因此需要做一个奇延拓:x, x0x, x0 x x x, x0x, x0就问题转化为 :22ua2ut2x2f x, tx, t0ux,0x, u0,t 0u x,0 tx,x即解为:11x at1 tx a tu x, t xat xat df,dd22ax at2a0x a t通过争论 t 的范畴 分为 xat, 与 0x=

19、at 可以得到原先要求方程的解、2.端点自由22ua2ut2x2f x, t0x,t0ux,0 x,ut 0, t0u x,0 t x,0x思路同上只不过就是把延拓改为偶延拓:x, x0x, x0 x x、x, x0 x, x0三维波动方程的初值问题222ua2uut 2x2y22u,t z20, x, y, zR2u2u2uu t 0 x,y, z记ux2y2z2ut t 0 x, y, z球对称情形化为球面坐标系:令x r sincosy r sinsin就z r cos2 u2uu2u1r 2u1sinu12ux2y2z2r 2rrr 2 sinr 2 sin2所谓球对称就是指 u和 ,

20、 无关,就波动方程可化简为 :2u1u22u2u222u1ru 22t 2a r 2rrrua 2t 2r 2rrt 2arr 2ut, x, y, zut, r ,ut, r 22ua2u2ur0,t0t 2r 2rru 0, r r ut 0, r r ut ,0gt 又可以化为 :2 ru a 2t22 ru r 2r0, t0ru 0, r ru t 0, r rr r r ru t,00这就是关于 v = r u的一维半无界波动方程、 我们利用球面平均法； 从物理上瞧 ,波具有球对称性； 从数学上瞧 ,总期望把高维化为一维情形来处理,并设法化为可求通解的情形,所谓球平均法 ,即对空间

21、任一点 x,y,z, 考虑 u 在以 x,y,z 为球心 ,r 为半径的球面上的平均值；直接得出三维波动方程的解为:_11u x, y, z,ttttt4 a2tdS4 a2tdSSMS Matatxr并令yrzrsincossinsin cos就得到 :u x, y, z,t1t 24t00 xat sincos , yat sinsin, zat cos , t sinddt2400 xat sincos ,yat sinsin, zatcos, t sindd二维波动方程的初值问题22ua2ut 2x22uy2,t0, x, yRu t 0ut t 0 x, y x, y求解方法 :降维

22、法 :由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法；由 Hadamard 最早提出的； 由于初始数据与第三个变量无关,因此 ,在MSat 上的球面积分可由在at圆域 :M : 由12x2dy21 at 2 上的积分得到； r=atd4 a t SM4 a S M ratat1d4 a SM r1d4 a S M ratat2114 a M rat22d1 ,d d2 a M at与at2x) 2y) 21d1 ,d dM4 a2t2a M at2x) 2y) 2Satat1at2 xcos , ysind d可以得到二维波动方程的解为:2 a 00at 22u x, y,t1a

23、t2 xcos , ysindd2 at001at2at22 xcos , ysindd2 a 00 at 22物理意义 :三维情形就是惠更斯原理有清楚的前锋与后尾 二维情形就是波的弥散有清楚的前锋但无后尾积分变换 Fourier 变换与 Laplace 变换1.Fourier 变换:U ,t 定义 :1ux,t ej xdx j xu x, t2U ,t ed性质 : 记F f1tF1 ,F f 2tF21. 线性性质 : 就Fc1 f1 tc2 f 2tc1F1c2F2 c1, c2为常数2. 尺度性质 : 如F ft F, 就F fat 1 F, a为非零函数aa3. 位移性质 : F

24、f xx0 expiwx 0 F f x4. 微分性质 : F f xxiwF f1x一般情形下有F fn xiw n F f x5. 积分性质 : F 0f t dtF fiw x6. 卷积公式 :F f* gF f . F gF f. g1 F 2f *F g7. Parseval 等式+2f x-dx1F 22f dwLaplace 变化及性质T sf t性质 :f t e01i2 iistdtT sestds正变换逆变换1. 线性性质 T afbgaL f bL g2. T e fxT s, Re sT t ne t sn.n 11s3. 相像性质T fct T cc4. 微分性质 :

25、T f sTsf 0一般情形T f n t snT ssn 1 f0sn 2 f0.f n1 05. 积分性质 :T tf pdp01T ssn6. 乘多项式性质 : T tfn nt 1 Ts7. 推迟性质 :T f tae asT s8. 初值定理 :f 0lim f t limsTst0s9. 终止定理 :f lim f tlimsT sts010. 卷积公式 : T f* g T f .T g第四章:拉普拉斯方程的 green 函数法Green 函数:格林函数 ,又称点源影响函数,就是数学物理中的重要概念,代表一个点源在肯定的边界条 件与初始条件下所产生的场,而知道了点源的场 ,可以用

26、叠加的方法运算任意源产生的场、；第一 green 公式 :uv dSuvdVu vdVuvdV同理vu dSv udVuvdVvu其次 green 公式 :两式相减就得到uv dSnnuvvudVgreen 其次公式争论带有肯定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程uf r , rT 而第一 ,其次 ,第三类边界条件可以统一表示为uufn其中 f 就是区域边界上给定的函数,0,0 为第一类边界条件Dirichlet BC,0,0 为其次类边界条件NeumannBC;0,0 为第三类边界条件RobinBC三维空间 Laplace 方程的基本解 :定点就是M 0 x0,y0, z0 动点就是 Mx

27、, y,z0v M , M 110004 rM 0M4xx 2 yy 2 zz 2单位正电荷位于M 0处, 其电场于 M点的电位为410rM M二维空间 Laplace 方程的基本解 :M 0 x0 , y0 ,动点就是 Mx, y0基本解 : vM , M 0 1 ln211 ln rM M2100 xx 2 yy 21uM 0 1uu1 dS004rMMnn rMM调与函数2u0 的性质 :1) 、牛曼问题有解的必要条件u dSfnx, y, zdS02) 平均值公式设u M 在 内调和, M 01就 u M 0 24audSuaa3) 极值原理 : 设函数u不等于常数在上连续,在内调和

28、就只在区域的边界上取得最大值与最小值、4) Laplace方程解的唯独性Dirichlet 问题的说明唯独的 ,Neumann 内的解 只相差一个常数 也就是唯独的二 狄内问题 Green 函数法的步骤（1） 、半空间问题 ;2u0: z0镜象法构造 green 函u x, y,0f x, y任取 M 0 x0, y0 , z0, z00 置+e 电荷,在对称点M 1 x0 , y0,z0 置 -e 电荷 ,就任意点 M 的电位0G M , M11当 M 位于边界上时有G M , M04r4r0uM G dSM 0 MM 1 M1f x, y z0dxdyGG20n2 xx yy 2z 2 3

29、 2nz 0nz 0000o2 、球域2u0M: V Ruf M 任取球内点M 0,OM 0r ,0rR取以 OM 0为z轴的球坐标系,设f x, y, zf ,其格林函数就是 : GM, M 0 14 rM Mr0 4RrM M01G1R2r 2uM 0dSfM 223/2 dSn4RRr2rR cos R2R2r 2df ,223/2sind400 Rr2rR cos （3）推广 :第一挂限与其次挂限2u0: z0, y0u x, y,0f x, y它的格林函数的形式就是:G M, M 0 11114rM M4rM M4rM M4rM M0110图与上述第一种类型图相像,其中点M 1 就是M 1 关于 xoz 平面的对称点 ,点M 0 就是点 M 0关于 xoz 平面的对称点；4 在上半半平面的半球域2u0: z0, x2y2R2ux, y,0f x, y构造格林函数法思想如第三种类型其格林函数就是:1RR1GM , M 0 4 rMMr0 4rM Mr0 4rM M4 rM M0110其中点M 1 就