2022年函数的单调性知识点与题型归纳.docx

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1、高考明方向1. 懂得函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1. 函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的热点, 常见问题有：求单调区间,判定函数的单调性,求参数的 取值,利用函数单调性比较数的大小, 以及解不等式等客观题主要考查函数的单调性,最值的确定与简洁应用2. 题型多以挑选题、填空题的形式显现,如与导数交汇命题,就以解答题的形式显现 .一、学问梳理 名师一号 P15留意：争论函数单调性必需 先求函数的定义域, 函数的单调区间是 定义域的子集单调区间 不能并！学问点一函数的单调性1. 单调函数的定义2. 单调性、单调区间的定义如函

2、数 fx在区间 D 上是增函数或减函数 ,就称函数 fx 在这一区间上具有 严格的 单调性, 区间 D 叫做 fx的单调区间 .留意：1、名师一号 P16问题探究 问题 1关于函数单调性的定义应留意哪些问题？(1) 定义中 x1, x2 具有任意性 ,不能是规定的特定值(2) 函数的 单调区间必需是定义域的子集；(3) 定义的两种变式 ：设任意 x1,x2 a,b且 x10 . fx在a,b上是增函数；x1 x2fx1fx20 . fx在a,b上是减函数2、名师一号 P16问题探究 问题 2单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示 ,不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写,

3、不能用并集符号“ ”联结,也不能用 “或”联结学问点二单调性的 证明方法： 定义法及导数法名师一号 P16高频考点 例 1规律方法(1) 定义法 :利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2 D,且 x10,就 fx在区间 D 内为增函数；假如 f x0,就1为减增函数,fx为增 减函数 fx3. 互为反函数的两个函数有相同的单调性4. yfgx是定义在 M 上的函数, 如 fx与 gx的单调性相同,就其复合函数 fgx为增函数；如 fx、gx的单调性相反,就其复合函数 fgx为减函数 简称”同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个

4、区间上的单调性相反函数单调性的应用名师一号 P17特色专题(1) 求某些函数的值域或最值 2比较函数值或自变量值的大小 3解、证不等式4求参数的取值范畴或值 5作函数图象二、例题分析：（一函数单调性的判定与证明例 1. （ 1）名师一号 P16对点自测 1判定以下说法是否正确2函数 fx1函数 fx2x1 在 , 上是增函数 1x在其定义域上是减函数3已知 fx x,gx 2x,就 y fx gx在定义域上是增函数 答案： 例 1. （ 2）名师一号 P16高频考点例 1（1） 2022 北京卷 以下函数中,在区间 0, 上为增函数的是Ay x1B y x12Cy2xDy log0.5x1答案

5、： A.例 2. （ 1）名师一号 P16高频考点例 1（2）判定函数 fx ax 在1,上的单调性,并证明x1法一：定义法设 1x1x2,就 fxfx ax1 ax212x1 1x21ax1x2 ax2x1x1x2ax1x2 x1x2 1x1x2,x1 x20,x2 10.当 a0 时, fx1 fx20, 即 fx1fx2,函数 yfx在1, 上单调递增同理当 a0, 即 fx1fx2,函数 yfx在1, 上单调递减法二：导数法留意：名师一号 P17高频考点例 1规律方法1. 判定函数的单调性应先求定义域；2. 用定义法判定 或证明 函数单调性的一般步骤为： 取值 作差变形 判号 定论,其

6、中变形为关键, 而变形的方法有因式分解、 配方法等；3. 用导数判定函数的单调性简洁快捷,应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1. 名师一号 P16高频考点例 2（1） 求函数 y x |1x|的单调增区间；yx|1x|1,x1,2x 1, x0.就 x3.函数 y log1x24x 3的定义域为3, 13, 又 ux2 4x3 的图象的对称轴为 x2,且开口向上, u x24x 3 在,1上是减函数, 在3, 上是增函数而函数 y log13u 在0, 上是减函数, y log13x24x 3的单调递减区间为 3, ,单调递增区间为 , 1留意：名师一号 P17高频考点

7、例 2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1) 利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间(2) 定义法：先求定义域,再利用单调性定义(3) 图象法：假如 fx是以图象形式给出的,或者 fx的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间(4) 导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2例 2.（2） 补充 ylog 1 x4log 1 x221答案：增区间：, 4；减区间：0, 14练习: y2log 2 xlog 2 x答案：增区间：2,；减区间： 0,2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例 1. （ 1）名师一号 P17特色专题 典例1已知函数 fxlog2

8、x 1,如 x11,2,x22,1x就Afx10,fx20Bfx10 Cfx10,fx20, fx2 0【规范解答】函数 fxlog2x 1在1, 上为1x增函数,且 f2 0,当 x11,2时, fx1f20,即 fx10.例 1. （ 2）名师一号 P17特色专题 典例22x 4x3,x0,已知函数 fxx2 2x3,x0, 就不等式fa2 4f3a的解集为 A2,6B1,4C 1,4D 3,5【规范解答】 作出函数 fx的图象, 如下列图,就函数 fx在 R 上是单调递减的由 fa24f3a,可得 a2 43a,整理得 a2 3a40, 即a1a 40,解得 1a4, 所以不等式的解集为

9、 1,4留意: 本例分段函数的单调区间可以并 .（四）已知单调性求参数的值或取值范畴例 1.1 名师一号 P17特色专题 典例3已 知函 数 fxa2 x, xx11,x22满 足对 任意的实数2x1x2,都有f x1f x2 0 成立,就实数 a 的取值范x1x28围为A , 2B. ,13C , 2D.138 , 2【规范解答】 函数 fx是 R 上的减函数,a20,于是有1由此解得 a 13a22 1,8 ,8即实数 a 的取值范畴是 ,13 .例 2.1（补充） 假如函数 fxax22x3 在区间,4上单调递增,就实数 a 的取值范畴是1答案4, 0解析1当 a0 时, fx2x3,在

10、定义域 R 上单调递增,故在 ,4上单调递增；12当 a0时,二次函数 fx的对称轴为直线 x a,由于 fx在,4上单调递增,所以 a011得 4a0,就由 f x0 得 x 2a,当 x2a时,f x0,fx单调增,当 2ax2a时,fx单调减,fx的单调减区间为 2a, 2a,从而 2a2,a 2.变式： 如 fxx3 6ax 在区间 2,2单调递减, 就 a 的取值范畴是？点评 fx的单调递减区间是 2,2和 fx在 2,2上单调递减是不同的, 应加以区分本例亦可用 x2 是方程 f x3x26a 0 的两根解得 a2.例 2.3 （补充）如函数f xlog 12 x3ax在3, 2上

11、单调递减,就实数 a的取值范畴是（）A 9,12B4,12C 4,27D9,27答案： A温故知新 P23 第 9 题如函数 fxlog 1x22ax3a 在区间2,上单调递减,就实数 a 的取值范畴是计时双基练 P217基础 7计时双基练 P217基础 8、108、设函数 fxax1x2a在区间2,上是增函数 ,那么 a 的取值范畴是答案:1,10、设函数 fxxxa xa（ 2）如 a0 且 fx 在区间 1,内单调递减 ,求 a 的取值范畴 .答案:1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 fx为 R 上的减函数,那么满意1f|f1的实数 x 的取值范畴是 xA 1,1B0,1C

12、 1,00,1D , 11, 答案： C1解析：由于 fx为减函数,f|x1|1,就|x|1且 x0,即 x 1,00,1练习：yf x 是定义在1,1 上的增函数,解不等式f 1xf 1x2 答案： 0,1温故知新 P12 第 8 题留意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2. 计时双基练 P216培优 4函数 f x 的定义域为0,且对一切 xx0, y0都有 f yf xfy ,当 x1 时,有f x0；（1） ） 求 f 1的值；（2） ） 判定 f x 的单调性并加以证明；（3） ） 如f 42 ,求f x 在 1,16 上的值域 .答案: 单调增 ;0,4留意：

13、 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习: 计时双基练 P218培优 4函数 f x 的定义域为0,且对一切x, yR都有 f xfyf xy ,当 x0 时,有f x0, f12 .3(1) 求证:f x 在 R 上是减函数；(2) 求f x 在3,3 上的最大值与最小值 .答案:2; 2课后作业一、 计时双基练 P217 基础 1-10课本 P16-17 变式摸索 1、2；二、 计时双基练 P217 基础 11、培优 1-4课本 P18 对应训练 1、2、3预习 其次章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习 1：函数 fx x 3a, x0 且 a1是 R 上的减函数,就 a 的取值范畴是

14、 112A 0,1 B3, 1 C 0,3 D0, 3分析： fx在 R 上为减函数,故 fxaxx 0为减函数, 可知 0a1,又由 fx在 R 上为减函数可知, fx在 x0 时的值恒大于 fx在 x0 时的值,从而 3a1.解析： fx在 R 上单调递减,0a1,1 3a1.3a1.答案： B练习 2：已知 fx3 a x 4a x1 ,又由 fx在, 1上单增,3 a0,a3 ,又由于 fx在 R 上是增函数,为了满意单调区间的定义, fx在 , 1上的最大值 35a 要小于等于 fx在1, 上的最小值50,才能保证单调区间的要求, 3 5a 0,即 a3,由可得 1a3.解法 2：令

15、 a 分别等于应选 D.35、0、1,即可排除 A、B、C,点评 fx在 R 上是增函数,a 的取值不仅要保证 fx 在,1上和1, 上都是增函数,仍要保证 x11, x21 时,有 fx1fx2练习 3：如函数 fx 2x2lnx 在其定义域内的一个子区间k 1,k1内不是单调函数,就实数 k 的取值范畴是 32A 1, B 1, 3C 1,2D 2,2答案B解析由于 fx定义域为 0, ,f x11 4x x,由 f x 0,得 x2.1k 12k1据题意,k 103解得 1k2,选 B.练习 4:已知函数 y2 x33ax212x1如函 数在 R 上 是 单调 增函 数, 就 a 的 取

16、 值范 围是.解析:如函数在 R 上是单调增函数Rx f x0由于 y6 x26ax12开口方向向上,所以0,即36 a 2420, 即22a22 时条件成立；（ 2）已知函数 y2x33ax212x ,如函数的单调递减区间是 1,2 ,就 a 的值是.解析:如函数的单调递减区间是1,21,2x f x 0y6x26ax12所以 1,2 是方程定理, 126 x2a,6axa3120的两个实数根 ,由韦达3 如函数在 2, 上是单调增函数,就a 的取值范畴是.解析:如函数在 2, 上是单调增函数2,分类争论：x f x0 当0, 即 36 a2420, 即22a2 2条件成立；0 当a22a2 2或a22a4,f 20a3即3a2 2 或 a2 2 条件成立；综上, a3 条件成立, a3为所求 .