2022年初三数学二次函数与圆知识点总结3.docx

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1、21.一元二次方程的一般形式: a 0 时, ax+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式,讨论一元二次方程的有关问题时,9分式方程的解法：多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.1去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母）,值0 .2. 一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求敏捷运用,其中直接开平方法虽然简洁,但是适用范畴较小；（2）换元法凑元,设元,验增根代入原方程每个分母,值0 .公式法虽然适用范畴大,但运算较繁,易发生运算错误；因式分解法适用

2、范畴较大,且运算简便,是首选方法；配 方法使用较少 .换元 .10.二元二次方程组的解法：223. 一元二次方程根的判别式:当 ax +bx+c=0 a 0 时, =b -4ac叫一元二次方程根的判别式. 请留意以下等价命（1）代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方程;题：（2）分解降次法方程组 中含有能分解为 （）0 的方程 ; 0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实根； 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.231留意：3240 1 0 201 0 2 0 3 0 40 4 0 3 0应分组为.0xx4. 一元二次方程的根系关系：当 ax +bx+c=0 a0时,如 0,有以下公

3、式：11几个常见转化：1x1,2bb 22a4ac； 2 x 1x 22b ,x 1x 2c . aa12221x 2 4x 1 x 2；x 21x 2x1 22；x2121212 5 当 ax +bx+c=0 a0时,有以下等价命题：或x 21x22；xx2=bx22121x 24 x 1x 2x 1x 2 ； 以下等价关系要求会用公式x 1x2b,x1x 2ac ； a2-4ac 分析,不要求背记 x 2x12xx 22x x； xx 2 x121xxx 1x 2 x 1x 2 4x 1 x 2 x 1x 2 （ 1）两根互为相反数b = 0 且 0b = 0且 0； a1. 分类为 x

4、1x 22 和 x1x 22（ 2）两根互为倒数c =1 且 0a = c且 0； a2x 1x 222. 两边平方为（ x 1；2x ）24（ 3）只有一个零根c = 0 且ab 0c = 0且 b0；ax4x 2161x 1分类为4 和 x 14（ 4）有两个零根c = 0 且b = 0c = 0且 b=0；31x 2 或 13x 29x 23x 23；（ 5）至少有一个零根aac =0c=0 ；22两边平方一般不用 , 由于增加次数 .x1a4如 x 1sin A ,x 2sin B且AB90 时, 由公式sin 2 Acos2 A1 , cosAsin B（ 6）两根异号c 0a 、c

5、 异号；a可推出221.留意隐含条件: x 10, x 20.（ 7）两根异号,正根肯定值大于负根肯定值c 0 且ab 0a 、c 异号且 a、b 异号；a5x 1 , x 2如为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系 例如几何定理,相像形,面积（ 8）两根异号,负根肯定值大于正根肯定值c 0 且ab 0a 、c 异号且 a、b 同号；a等式, 公式 推导出含有x 1,x 2 的关系式 . 留意隐含条件: x 10, x 20.（ 9）有两个正根c 0,b 0 且 0a 、 c 同号, a 、b 异号且 0；6如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某

6、aa些线段的比,并且引入“帮助未知元k”.（ 10）有两个负根c 0, ab 0 且 0a 、c 同号, a 、b 同号且 0. a7方程个数等于未知数个数时, 一般可求出未知数的值; 方程个数比未知数个数少一个时,一6. 求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 0 时,二次三项式在实数范畴内不能分解.般求不出未知数的值, 但总可求出任何两个未知数的关系 .22ax +bx+c=ax-x 1x-x 2 或 ax+bx+c= a xbb 24acbb2 x4ac.x22a2a7. 求一元二次方程的公式：2x - （ x 1+x2）x + x 1x2 = 0.留意：所求出方程的系数应化为整数.8.

7、 平均增长率问题 -应用题的类型题之一（设增长率为 x ）：2(1) 第一年为 a ,其次年为 a1+x ,第三年为 a1+x .（ 2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或 第一年 +其次年 +第三年 =总和 .1. 垂径定理及推论 :如图：有五个元素, “知二可推三” ；需记忆其中四个定理, 即“垂径定理” “中径定理”“弧径定理” “中垂定理” .C平分优弧几何表达式举例： CD 过圆心 CDAB7. 切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线,A它们的切线长相等；圆心和这一P点的连线平分两条切线的夹角.O几何表达式举例： PA、PB是切线 PA=PBPO过圆心 AE=BEB APO

8、 = BPOO过圆心E垂直于弦AB平分弦D平分劣弧AC= BC AD = BD8. 弦切角定理及其推论:（ 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（ 2）假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；几何表达式举例：（ 1） BD是切线, BC是弦 CBD = CAB2. 平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.ABO几何表达式举例： AB CD（ 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）DA（ 2） EF= ABCDAC = BDCEFA ED, BC是切线 CBA = DEF3. “角、弦、弧、距 ”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦” ； “等弦对等角” ；B“等

9、角对等弧” ； “等弧对等角” ；EA“等弧对等弦” ；“等弦对等 优,劣 弧”；O“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦” .CF几何表达式举例：(1) AOB= COD AB = CD(2) AB = CD AOB= CODBDBC9相交弦定理及其推论:（ 1）圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等；（ 2）假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项 .几何表达式举例：（ 1） PA PB=PC PD（ 2） AB是直径D4圆周角定理及推论 :（ 1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；几何表达式举例：（ 1） 1 AOBDCA PC AB2AO

10、PPB PC=PAPBCB（ 2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 如图 （ 3）“等弧对等角” “等角对等弧” ；（ 4）“直径对直角” “直角对直径” ； 如图（ 5）如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 . 如图 CCAOABDOBCBAACB=2 （ 2） AB 是直径 ACB=90（ 3） ACB=90 AB 是直径（ 4） CD=AD=BD ABC是 Rt10切割线定理及其推论:（ 1）从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（ 2）从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

11、BBAAPD几何表达式举例：（ 1） PC是切线,PB是割线2 PC=PAPB（ 2） PB、PD是割线PA PB=PC PDC（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）PC5. 圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 .6. 切线的判定与性质定理:BC几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形A CDE = ABCDE C+A =180 几何表达式举例：11. 关于两圆的性质定理:（ 1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 2）假如两圆相切,那么切点肯定在连心线上.AA几何表达式举例：（ 1） O1, O2 是圆心 O1O2 垂直平分 AB（ 2） 1 、

12、2 相切 O1 、A、O2 三点一如图：有三个元素, “知二可推一” ； 需记忆其中四个定理 .O是 半 径（ 1） OC是半径 OC ABO1O2BO1O2线（ 1）（ 2）（ 1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（ 2）圆的切线垂直于经过切点的半径；B垂 直C是 切 线A AB是切线（ 2） OC是半径 AB是切线12. 正多边形的有关运算:（ 1）中心角 n ,半径 RN , 边心距 r n ,D边长 an ,内角 n , 边数 n；OnERnrn公式举例：1n =360 ；n（ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

13、OC AB（ 3）（ 2）有关运算在 Rt AOC中进行 .nACBa n2n1802n几何 B级概念：（要求懂得、会讲、会用,主要用于填空和挑选题）一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、 弧、等弧、弓形、弓形高CCAOOB三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正OACBAB已知弦构造 Rt .ABO已知直径构造直角 .多边形的中心角 .二定理：1. 不在始终线上的三个点确定

14、一个圆.2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.O已知弦构造弦心距 .DDAPOCO PB已知切线连半径,出垂直 .A3. 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 .三公式：AB21. 有关的运算： （ 1）圆的周长 C=2 R；（2）弧长 L= n R ；（ 3）圆的面积 S=R .ACOBP ABCDODBCPn R 21180圆 外 角 转 化 为 圆 周角.圆内角转化为圆周角 .构造垂径定理 .构造相像形 .（ 4）扇形面积 S 扇形 =LR ；（ 5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 SAOB AOB的面积 . （如图）36022.

15、 圆柱与圆锥的侧面绽开图：MMMM（ 1）圆柱的侧面积： S 圆柱侧 =2 rh ； r:底面半径； h: 圆柱高 （ 2）圆锥的侧面积： S 圆锥侧 = 1 LR .（ L=2 r , R 是圆锥母线长； r 是底面半径）2四常识：AAO2BO2NDN0101CAO102BDAO 102CEN1. 圆是轴对称和中心对称图形.2. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3. 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4. 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）两圆内切,构造外公切线与垂直 .AE两圆

16、内切,构造外公切线与平行 .AN两圆外切,构造内公切线与垂直 .A两圆外切,构造内公切线与平行 .B直线与圆相交d r； 直线与圆相切d=r；直线与圆相离d r.5. 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离,其中R、r 表示两个圆的半径且Rr ） 两圆外离d R+r ；两圆外切d=R+r ； 两圆相交R-rd R+r ；两圆内切d=R-r；两圆内含d R-r.6. 证直线与圆相切,常利用： “已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加帮助线 .COCAO102COEPEODDBBBC两圆相交构造公共弦,两圆同心, 作弦心距, 可证得 AC=DB.连结圆心构造中垂线

17、.PA、PB 是切线,构造双垂图形和全等 .相交弦出相像 .BAADAAEOOPEBC OPCDBFCPBC规章图形折叠出一7. 关于圆的常见帮助线：一切一割出相像,并且构造弦切角 .两割出相像 , 并且构造圆周角.双垂出相像 , 并且构造直角 .对全等,一对相像 .DEACAADFHOOEAOGBFDOBCBDC圆的外切四边形对边和相等 .CEB如 AD BC都是切线, 连结 OA 、 OBAOB=180,即三点一线 .可 证 A、O、B等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆Rt ABC 的内切圆半径： r=ab2c.心 和切点似形., 并构造相ABCAOCo1o2o1o2B补全半圆 .AB=O O 212Rr 2 .AB=O O212Rr2 .ADACGFCODBPPAMOBBDN E CPC过圆心, PA是切线,构造双垂、 Rt .O是圆心,等弧出平行和相像.作 AN BC,可证出 :GFBCAMAN.