2022年数字信号处理知识点总结.docx

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1、数字信号处理辅导一、离散时间信号和系统的时域分析（一） 离散时间信号（ 1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数,这个变量可以是时间、空间位置等；连续信号：在某个时间区间,除有限间断点外全部瞬时均有确定值；模拟信号：是连续信号的特例；时间和幅度均连续；离散信号：时间上不连续,幅度连续；常见离散信号序列；数字信号：幅度量化,时间和幅度均不连续；（ 2）基本序列 （课本第 7 10 页）1） 单位脉冲序列n1 ,n00,n02） 单位阶跃序列un1,n00,n03） 矩形序列R n1,0nN14） 实指数序列anun5） 正弦序列Nx n0,n Asin0n0,nN6） 复指数序列x

2、nej n e n（ 3）周期序列1） 定义：对于序列x n,如存在正整数 N 使xnxnN ,n就称 xn为周期序列,记为xn , N 为其周期；留意正弦周期序列周期性的判定（课本第10 页）2） 周期序列的表示方法： a.主值区间表示法b.模 N 表示法3） 周期延拓设 x n 为 N 点非周期序列,以周期序列 L 对作x n无限次移位相加,即可得到周期序列 x n ,即当 LN 时,xnx n RN nxnixniL 当LN 时,x nxnRN n（ 4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M,任何序列xn都可以分解成关于 cM/ 2 共轭对称的序列xe n 和共轭反对称的

3、序列xo n 之和,即x n并且xe nxo n,nxen1 xn 2x Mn xo n1 xn 2x Mn（ 4）序列的运算1） 基本运算运算性质描述序列相乘y nx1 n x2 nynaxn序列相加ynx1nx2 n序列翻转ynxn（将 xn以纵轴为对称轴翻转）尺度变换ynxmn（序列x n每隔 m-1 点取一点形成的序列）用 单 位 脉 冲序列表示xnixi ni 2） 线性卷积：将序列xn以 y 轴为中心做翻转,然后做 m 点移位,最终与xn 对应点相乘求和翻转、移位、相乘、求和定义式：线性卷积的运算： A、图解ynmx1 m x2 nmx1 nx2 nB、解析法C、不进位乘法（必需把

4、握） 3）单位复指数序列求和（必需把握）N 1e j n1e j Ne j N /2 e j N/2e j N /2 e j N /2 ej N /2e j N /2 / 2 j jn 01ee j /2 ej /2e j /2 e j /2 ej /2e j /2 / 2 j e j N1/2sinN / 2假如2sin/ 2k / N ,那么依据洛比达法就有sinN / 2N0 k0 或NN kN sin/ 2可以结合作业题 3.22 进行练习（ 5）序列的功率和能量能量： E| x n |2n1N2功率： Plim| x n |N2 N1 nN（ 6）相关函数 与随机信号的定义运算相同（

5、二） 离散时间系统1. 系统性质（ 1）线性性质定义：设系统的输入分别为x1 n 和x2 n ,输出分别为y1 n 和y2 n ,即y1nT x1n,y2 nT x2 n统的输对于任意给定的常数 a 、 b ,下式成立ynT ax1 nbx2 nay1 nby2 n就该系统听从线性叠加原理,为线性系统,否就为非线性系统；判定系统的线性性质时,直接用定义（ 2）时不变性质统的假如系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化,就称该系统是时不变系统；即对任意给定的整数i,如下式成立：y ni T xni 就称该系统为时不变系统,否就为时变系统；判定系统的时不变性质时,直接用定义（ 3）系统

6、的因果性定义：假如系统 n 时刻的输出序列只取决于 n 时刻及以前的输入序列, 而与 n 时刻以后的输入序列无关,就称该系统具有因果性质,即系统是因果系统, 否就是非因果系统；离散时间 LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应h n 满意（ 4）系统的稳固性hn0, n0定义：对任意有界的输入,系统的输出都有界,就该系统是稳固的,否就是不稳固的；离散时间 LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应hn满意绝对可和,即| hi |i（ 5）对离散时间 LTI 系统的描述（ 1）时域：差分方程（ 2） Z 域：系统函数2. 信号过系统H zy nhnxn用线性卷积的相关学问

7、运算,信号系统学的基本性质可以套用二、离散时间信号和系统的频域分析（一） 离散时间信号1序列傅里叶变换（ SequenceFourier Transform ）（即本书中的离散时间信号的傅里叶变换）（ 1）定义SFT ： X e j SFT xnnxnej n ,说明：ISFT ：xnISFT X ej1 2X e je j n d,n1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解,它将一般序列分解为无穷多个数字角频率 , 中的复指数序列；称X e j 为序列x n的频谱,其模| X e j | 称为幅频特性,其幅角 arg X ej 称为相频特性；2、尽管序列 xn 是离散时间信号,但它

8、的序列傅里叶变换对数字角频率而言却是连续函数,因此,序列xn的傅里叶变换是连续的；3、 X ej 2 nx nej 2 nX ej由上式可知,序列傅里叶变换X ej 是以 2为周期的周期函数,其缘由正是由于 e j n 对 而言以 2为周期,即数字角频率相差2的全部单位复指数序列等价；因此,对的全部单位复指数序列只有一个周期； 对于离散时间信号,由于的周期性,使得0或2的整数倍都表示信号的直流重量,而的奇数倍表示信号的最高频率；（ 2）性质名称性质描述线性性质SFTax1nbx2 na SFT x1nb SFT x2 n时移性质SFT x nmej nSFT xn频移性质SFTej0nxnX

9、ej 0 共轭对称性质SFT xR nSFT xe nSFT xnXeej, SFT jxI nXo ejRe X e, SFT xo njj Im X ej线性卷积性质y nSFT xn SFT y n帕斯瓦尔定理| xn |2n12| X e | dj2相乘性质SFT x n y nSFTn xn12j dX ejX e j Y ej d序列乘以 n / d（ 3）基本序列的傅里叶变换序列傅里叶变换n112RN nej N1/2 sinN / sin 22anun | a | 11aej 1e2jn0/0为有理数20cos0n2/0为有理数 0 0 sin0n2/0为有理数 j00u n1

10、ej12 Z 变换（不熟识的复习信号系统相关内容,或本书2.3 相关内容）（ 1）定义ZT ：X zZT xnxn z nR| z|RxxnIZT ： xnIZT X z1X z zn 1dzR| z |R（ 2）性质课本 49 页表 2.3.3xxc2j（ 3）收敛域与基本序列 Z 变换课本 45 页表 2.3.1、表 2.3.23. 离散时间信号 Z 变换与 SFT 的关系Z 变换是由 SFT 推广得到的,反过来,假如某序列的 Z 变换的收敛域包括就也可以通过 ZT 求得序列的 SFT；即ze j,X z |z ejxne j nnX ej 上式说明, SFT 正是序列的 ZT 在 zej

11、的值（二） 离散时间系统1. 系统函数的收敛域与系统因果性和稳固性当且仅当系统函数 Hz 的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时,系统是因果稳固的；2. 系统函数的零极点分布与系统因果性和稳固性如系统是因果稳固的,就 Hz的极点必定在单位圆内；3. 系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点邻近时,| H e j |在这邻近出现峰值；极点越靠近单位圆,振幅特性的峰值越大,当极点显现在单位圆上时, 振幅特性将显现无穷大,系统不稳固；2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点邻近时,| H e j |在这邻近出现谷点；当零点显现在单位圆上时,振幅特性为零；

12、零点可以位于单位圆外,不影响稳固性；两个概念1、最小相位系统：系统 Hz 的全部零极点都在单位圆内,某点在单位圆上逆时针旋转一周时,系统的相位变化最小；2、最大相位系统： Hz 的全部零点在单位圆外,系统的相位变化最大；说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应；利用零极点分析系统的幅频响应, 仅对低阶系统有效；（三） 离散时间信号与模拟（连续）时间信号1. 时域关系设连续时间信号xa t , 离散时间信号xn , 就2. 频域关系x nxanT xat |t nTX e j |1X j mTasT m在时域对信号抽样,其频域的特点就是频谱以采样频率s 为周期进行周期延拓；一个域的离散必定

13、导致另一个域的周期延拓一个域的周期延拓必定导致另一个域的离散对应变量的关系：单位： rad单位： HzT由于s , 所以maxsT2三、离散傅里叶变换（ DFT）（一） 离散傅里叶级数变换（ DFST）说明：周期序列不满意肯定可和的条件, 不适用于序列傅里叶变换的定义式, 但是它可以绽开成离散傅里叶级数（ Discrete Fourier Series, DFS）,利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式；1. 定义DFST ： X kIDFST ： xn1NN 1Nx nW nk ,kn 0nkN 1X k WN,nn 022注： 1、周期单位复指数序列W nkjnkeN,W

14、 nkjnke NNN周期单位复指数序列对 n、k 而言都是以 N 为周期的,即n N knkWNWN,W nk N W nk ,n, kn, kNNW nk N W nk ,n, k2、周期为 N 的周期序列NNxn 可以分解成 N 个周期复指数序列的和, 这些周期复指数序列的数字角频率为2k kN0,1, 2,N1周,它们的幅度和相位由离散傅里叶级数X k N打算；2. 基本周期序列的离散傅里叶级数变换时域序列离散傅里叶级数变换（ DFST ） n11Nkj 2 mne NNkmcos2 sin2mn / N mn / N N km km/ 2jN km km/ 23. 周期序列的离散傅里

15、叶变换X ej2N k2X k k N可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换,详细推导过程见课本76 页；（二） 离散傅里叶变换（ DFT）1. 定义DFT ： X kN 1NxnW nk ,0nkn 0kN1要点：IDFT ：xn1 N 1N n 0X kWN,0nN1（1） ） DFT 没有实际的物理含义,但是可以懂得为SFT 的等间隔采样,即X kX ej |,02kN1kN（2） ）变换区间： 0,N-1 ,有限长 N 点（3） ）变换结果：与序列长度 N 有关,当 N 足够大时, X k的包络趋近于X e j 曲线（4） ）频谱分析的意义：X k 表示k2/ N k 频点的幅度谱线,

16、假如x n 是模拟信号的采样, 采样间隔为 T,T2f/ T ,就 k 与相应的模拟频率的关系为：2k2f T即 fkkkNk；对模拟频率域而言, N 点 DFT 意味着频域采样间隔为1Hz ；所NTNT以用 DFT 进行谱分析时,称 F1为频率辨论率；而 NT 表示时域采样的区间NT长度即观看时间或记录长度 TP足够大；（5） ） DFT 的隐含周期性NT ,明显为了提高辨论率就必需是记录长度1）DFT 是 SFT 的等间隔采样,而X ej 以 2为周期；2） W kW k mN 的周期性NN3） 时域抽样,频域周期延拓；频域采样,时域周期延拓2. DFT 的主要性质性质时域（xn、yn）频

17、域（X k、Y k ）线性性质ax1nbx2 naX1 kbX 2k时域循环移位性质频域循环移位性质xnm N RN n W nl xnW km X kNX kl N RN kN时域循环卷积x1 nx2nX1k X 2 k频域循环卷积x1 n x2 n1X kX kN12复共轭序列的 DFT共轭对称性xnxep nX * NkXR kxop njX IkxR nX ep kjxInX op k帕斯瓦尔定理N 121 N 12| xn | X k |n 0N k 03. 基本序列的离散傅里叶变换时域序列离散傅里叶级数变换（ DFST ）n1RN nNk j 2 mne NRN nNkmcos2m

18、n /NRN nN km kNm / 2sin2mn / N RN njN km kNm/ 24. 频域采样定理设序列x n 的傅里叶变换为X ej ,在区间 0, 2 内对X e j 进行 N 点等间隔采样（采样间隔为 2/ N ）得到序列X k ,且 X k 对应的 IDFT 为xN n ,就xN nrxnrN 这是由于,在频域内对X ej 等间隔采样,导致时域序列xn周期延拓,并且在区间 0, 2 采样得到的序列 X k 的 IDFT 是原序列以 N 为周期进行周期延拓后的主值序列；如序列的长度为M,那么只有当频域采样点数 NM 时,才有 xN nxn ,此时才能由频域采样序列X k 复

19、原X ej ；（三）连续信号傅里叶变换（ CFT）、序列傅里叶变换（ SFT）、离散傅里叶级数变换（ DFST）、离散傅里叶变换（ DFT）的关系xat抽样 xn 截短t nTsxndn周期延拓xNn周期延拓xNn取主值CFTSFTSFTDFSTDFT周期延拓卷积抽样周期延拓X j Xej Xej Dej X kX kas2 /TsNN取主值各个变量对应关系：k : 0N1k数字角频率: 022k / N数字频率F : 01k/ N模拟频率f : 0f skfs/ N模拟角频率: 02f2 k fNssTs ,编者按：为什么要有 DFT ？ssTs2fsT ,2k / N我们从外界接收到的信号

20、都是连续信号, 但是在现代人类都用运算机对信号进行处理, 而运算机只能识别离散的值, 所以需要对接收到的连续信号进行采样截短得到离散的序列； 但是,一个域的离散必定导致另一个域的周期延拓,当对时域的连续信号进行采样时, 其频谱必定进行周期延拓, 所以序列的傅里叶变换是连续周期的,这样运算机就没法对其频谱进行分析；这时,对时域信号进行周期延拓, 又会使其频谱离散化； 经过两个域的分别离散化和周期延拓, 这时得到的就是 DFST 的对应关系；那么,分别对两个域取主值,就可得到适合运算机处理的时域和频域序列； DFT 就应运而生；（一家之言,仅供参考）（四） 卷积的运算1. 循环卷积与线性卷积（有限

21、长序列的卷积）设有限长序列xn的长度为 N,h n的长度为 M ,它们线性卷积结果为yl n ,长度为 LgNM1；循环卷积结果为yc n,长度为 L ；就两类卷积有如下对应关系：（设 NM ）（1） ）当 LN 时yl nyl nN ,0nM2（2） ）当（3） ）当LLg 时NLLgyc n时yc nyl n, yc nMyl n1nN1yl nyl nL ,0nLgL1y n,LLnL1lg2. 重叠保留法和重叠相加法（无限长序列得卷积）（1） ）重叠保留法基本思路：将两个序列中长度较长或无限长的序列匀称分段,运算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积,最终将结果重叠相加起来输出；（重

22、叠的是卷积结果 ）设有限长序列hn的长度为 M,x n 为无限长序列,运算步骤： 1） 将 xn 匀称分段,每段长度为Nx nxk nk 0xk nxnRN nkNxn, 0,kNnk else1N12） 运算每段子序列与短序列的线性卷积设 xk nxk nkN ,即运算xk n 与 hn 的线性卷积yk n3） 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出令（2） ）重叠保留法yk nyk nkN ,就y nyk nk 0基本思路：将两个序列中长度较长或无限长的序列在时间上有重叠地分段, 运算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积,最终保留每段结果中间N 个点,相加输出；（重叠的是较长的序列

23、 ）设有限长序列hn的长度为 M,x n 为无限长序列,运算步骤： 1）将 xn 有重叠地分段（每一段由kN 向前重叠 M-1 个点）,每段长度为 N+M-1xn,kNM1n k1) N1xk n0,else2） 运算每段子序列与短序列的线性卷积设 xk nxk nkNM1) ,即运算xk n与 hn的线性卷积yk n , yk n 的长度为 N+2M-2 ,将前 M-1 个点去掉,后 M-1个点去掉,保留中间N 个点得 yk n3） 将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出即 ynyk nk 0说明：重叠保留和相加法必需把握,公式可以不必记忆,明白其算法思想,会计 算即可；而且运算时留意三

24、步走（写在卷子上） ,否就答案正确也没分（与数学归纳法一样,有固定格式） ；（五） 用 DFT进行频谱分析的误差1. 泄漏现象产生缘由：用 DFT 进行分析时,隐含对序列在时域加窗截断,使得信号的原有频率的能量向其他频率上泄漏削减方法：（1）加大窗长,增加实际 DFT 运算的点数；（2）变换时域所加窗函数的形式2. 栅栏现象产生缘由： DFT 只运算2k / N, k0,1,2, N1 的频谱削减方法：在序列末尾加零以增加DFT 的点数3. 混叠现象产生缘由：序列截断以及采样频率不完全满意采样定理削减方法：以较高的采样频率对信号进行采样,之后序列通过数字低通滤波器, 降低采样频率后再进行 DF

25、T 分析4. DFT 的辨论率 ： 参数挑选的一般原就：a. 如已知信号的最高频率防止混叠,选定采样频率fs2 fmaxb. 依据频率辨论率 F,确定所需 DFT 的长度 Nfs / Fc. 和 N 确定以后, 即可确定相应模拟信号的时间长度 TP采样周期；（六） 离散时间信号的抽取和内插1. 离散时间信号的整数倍抽取fs / NNT ,这里 T 是时域：ynxDn 频域：jY e1 D 1D k 0j2 kX eD整数倍抽取将导致数字频谱的展宽2. 离散时间信号的整数倍内插nx,n0,I ,2 I ,时域：v nI0,else频域： V e j X e j I 序列相邻采样点之间插零将导致数字频谱压缩说明：即使抽取和内插的公式记不住,也要学会画图分析其过程