2022年函数及其表示知识点与题型归纳.docx

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1、高考明方向1. 明白构成 函数的要素 ,会求一些简洁函数的定义域和值域 ,明白映射的概念 2. 在实际情境中,会依据不同的需要挑选恰当的方法 如图象法、列表法、解析法 表示函数 3. 明白简洁的 分段函数 ,并能简洁地应用 .备考知考情从近三年的高考试题看, 函数的表示方法多以挑选题、填空题形式显现 ,高考命题仍将 集中在懂得函数的概念 , 会求一些简洁函数的定义域 ,而且常常 与其他学问结合考查,如解不等式、能够利用解析式求函数值 ,并且多以分段函数形式给出 .函数的图象 主要表达在挑选与填空题中用数形结合法解题和识图才能 ,大题常在应用题中 给出图象求解析式一、学问梳理 名师一号 P10学

2、问点一函数的基本概念1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集 ,假如依据某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx和它对应,那么就称 f：AB 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 yfx, x A.其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域 ,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 fx|xA叫做函数的值域 明显,值域是集合 B 的子集从映射的角度看,函数是由一个 非空数集到另一个 非空数集 的映射温馨提示：(1) A、B 都是非空数集 ,因此定义域 或值域 为空集的函数不存在(2) 函数关系的判定要

3、 留意“每一个 ”、“都有”、“唯独 ”等关键词(3) 留意 fx与 fa的区分 , fa表示当 xa 时的函数值, 是一个常量；而 fx是关于 x 的函数,一般情形下是一个变量, fa是 fx的一个特别值2、函数的构成要素： 定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的, 所以,假如两个函数的定义域 相同,并且对应关系 完全一样, 我们就称这两个函数 相等3、函数的表示法有：解析法 、 列表法 、 图像法学问点二映射映射的概念：设 A、B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f,对于集合 A 中的 任何 一个元素,在集合 B 中都有唯独确定 的元素与它对应,这样的对应关系叫做从集合

4、 A 到集合 B 的映射,记作 f：AB.（补充） 象和原象：给定一个集合 A 到 B 的映射,且 aA,bB, 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象留意：名师一号 P11 问题探究问题 2函数与映射的区分与联系(1) 函数是特别的映射 ,其特别性在于,集合 A 与集合 B 只能是非空数集, 即函数是非空数集 A到非空数集 B 的映射；(2) 映射不肯定是函数 ,从 A 到 B 的一个映射,如 A,B 不是数集,就这个映射便不是函数学问点三分段函数如函数在其定义域内,对于 自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法就 ,这样的

5、函数通常叫做分段函数分段函数 虽然由几部分组成, 但它表示的是一个函数 （补充） 复合函数 yfg x二、例题分析：（一映射与函数的概念例 1（ 1） 补充（1） ） AR , B y | y0 , f: xy| x |；（2） ） A x | x2, xN * , By | y0, yN,f : xyx22x2 ；（3） ） A x | x0 , B y |yR ,f : xyx 上述三个对应是 A 到 B 的映射答案：（2） 留意： 补充判定对应是否为映射,即看 A 中元素是否满意“每元有像”且“像唯独” ；即要留意：答应一对一、多对一 ,但不答应一对多；B 中元素可有剩余（即答应 B 中

6、有的元素没有原象） .例 1（ 2 ） 补充 点 a,b 在映射 f 的作用下的象是ab, ab ,就在映射 f 的作用下点3,1 的原象是答案： 2, 1例 2. 名师一号 P11高频考点例 1有以下判定：fx|x|x 与 gx1xx表示同一函数；函数 yfx的图象与直线 x1 的交点最多有 1 个；fx x2 2x 1 与 gt t2 2t1 是同一函数；如 fx|x 1| |x|,就 f f12 0.其中正确判定的序号是答案 : .解析： 对于,由于函数 fx|x|x 的定义域为1x,x|xR 且 x 0,而函数 gx x的定义域是 R,所以二者不是同一函数；对于,如x1 不是 yfx定

7、义域内的值, 就直线 x1 与 yfx的图象没有交点,假如 x1 是 yfx定义域内的值,由函数定义可知,直线 x 1 与 yfx的图象只有一个交点,即 y fx的图象与直线 x1 最多有一个交点；对于, fx与 gt的定义域、值域和对应关系均相同, 所以 fx和 gt1表示同一函数；对于,由于 f 2 112 1 12 0,所以 f f 2f01.综上可知,正确的判定是.留意：名师一号 P11高频考点例 1规律方法函数的值域可由定义域和对应关系唯独确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数, 值得留意的是,函数的对应关系是就成效而言的 判定两个函数的对应关系是否相同, 只要看对于

8、函数定义域中任意一个相同的自变量的值, 依据这两个对应关系算出的函数值是否相同 简而言之1、函数是一类特别的映射 ,是由一个非空数集到另一个非空数集的映射；f : xy 是一对一或多对一2、函数的三要素 （定义域、值域、对应法就） 可简化为 两要素（ 定义域、对应法就 ）2练习：名师一号 P10对点自测 1- 图像练习：温故知新 P11第 9 题解析式为yx ,值域为 1,4 的函数共有个；答案： 9（二）求函数解析式例 1.（1）名师一号 P11高频考点例 2121(1) 已知 f xx x x2,求 fx的解析式1211 2解析： 1由于 f x x x x2 x x2,所以 fxx2 2

9、, x2或 x2,故 fx的解析式是 fxx22x2或 x2留意：名师一号 P11高频考点例 2规律方法求函数解析式常用以下解法：(1) 配凑法： 由已知条件 fgx Fx,可将 Fx改写成关于 gx的表达式, 然后以 x 替代 gx,便得 fx的表达式例 1.（2）名师一号 P11高频考点例 22(2) 已知 f x1 lgx,求 fx；解析： 2令 t21,就 x 2,xt1ftlg 2 ,即 fxlg2.t 1x1留意：名师一号 P11高频考点例 2规律方法求函数解析式常用以下解法：(3) 换元法： 已知复合函数 fgx的解析式, 可用换元法,此时要 留意新元的取值范畴 例 1.（3）名

10、师一号 P11高频考点例 23已知 fx是二次函数且 f0 2, fx1 fxx 1,求 fx；解析： 3设 fxax2 bxca0, 由 f02,得 c 2,fx 1fx ax 12 bx 1ax2 bxx 1, 即 2axabx1.2a 1,ab 1,a ,1即23b2.fx 12x2 3 2.2x留意：名师一号 P11高频考点例 2规律方法求函数解析式常用以下解法：2待定系数法： 如已知函数的类型 如一次函数、 二次函数等 可用待定系数法（补充）（1） ） 一次函数解析式：2（2） ） 二次函数解析式：f xkxb k0 一般式：f x axbxc a0 顶点式：f x 2a xhk a

11、0 顶点为 h,k 两根式：f xa xx1xx2a0（ x1、x2 为相应方程 f x0的两根）例 1.（4）名师一号 P11高频考点例 214已知 fx2f x xx0, 求 fx1解析： 4 fx 2f xfx2f1 x, f x1x x, 2fx 1x.解方程组11f x 2fxx,2x得 fx3x 3x 0留意：名师一号 P11高频考点例 2规律方法求函数解析式常用以下解法：4方程组法：已知关于 fx与 f1x 或 f x的表达式,可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 fx例 1.（5）（补充）已知函数 fx满意 f0 1, fabfa b2a b1a、b

12、R,求 fx解析：解法 1：令 a 0,就 fb f0bb11bb1 b2b1,再令 bx 得,fxx2x 1.解法 2：令 b a,就 1f0fa a2aa1fa aa 1,faaa11a2a1,即 fx x2x1.留意：（补充） 求函数解析式常用以下解法：赋值法（三 分段函数、复合函数例 1. （ 1） 名师一号 P11对点自测 4已知函数 fx,gx分别由下表给出就 fg1的值为；满意 fgxgfx的 x 的值是解析fg1 f31.此类解法的依据是： 假如一个函数关系式中的变量对某个范畴的一切值都成立,就对该范畴内的某些特别值必成 立,结合题设条件的结构特点,给变量适当取值,从而使问题简

13、洁化,详细化,从而获解；x123fx131x123gx321x123fgx131gfx313故 fgx gfx的解为 x2.例 1. （ 2）名师一号 P11对点自测 62022 浙江卷 设函数 fxx2 x,x0, x , x0.2如 ffa ,2就实数 a 的取值范畴是 解 析由 题 意 得ff2aa0,fa2,或fa0,f2a2,解得 fa 2.a0, cosx,x0,Afx是偶函数Bfx是增函数Cfx是周期函数Dfx的值域为 1,A 项,f 2 cos 2 0,而 f 2 212 44,2明显 f f ,所以函数 fx不是偶函数,排除 A.2 2B 项,当 x0 时,函数 fx单调递增

14、,而 fx cosx 在区间 2, 上单调递减,故函数 fx不是增函数,排除 B.2C 项,当 x0 时,fxx1,对任意的非零实数 T,fxT fx均不成立,故该函数不是周期函数,排除C.D 项,当 x0 时, fxx211；当 x0时, fx cosx1,1故函数 fx的值域为 1,11, ,即1, ,所以该项正确,选 D.留意：名师一号 P12高频考点例 3规律方法1处理分段函数问题时,第一要明确自变量的取值属于哪个区间段,再选取相应的对应关系 ,代入求解2假如分段函数中 每一段上的解析式都是我们常见的 基本初等函数,通常可以将这个分段函数的图象画出来, 然后结合图象解决一些函数单调性问

15、题、 函数零点个数的判定问题、参数取值范畴的争论等问题例 3名师一号 P12特色专题典例设 x0时, fx2； x0 的不同区间,争论 x 1 与x2 的符号可求出 gx的表达式 当 0x1 时, x10,x 20,gx3 11；2当 1x2 时, x10,x20,x20,2gx6 22.1x,2故 gx 5x,x其图象如下图留意： 分段函数意义懂得不清致误【易错分析】对函数的对应法就不懂得, 误认为 fx 1fx 2 2, 虽然都是 x0 但已知函数 y fx,x 是作为对应法就 f 下的自变量,而函数 yfx1是复合函数,对应法就 f 不是直接作用于 x,而是作用于 x1 只有 x1时,x

16、10,此时 fx1 2 才成立不懂得分段函数的概念,不会对x 1, x2 的符号进行争论或争论时易遗漏 1x0 也是简洁忽视的【名师点评】对于分段函数问题是高考的热点,在解决分段函数问题时,要留意自变量的限制条件课后作业计时双基练 P213 基础 1-11 、培优 1-4课本 P11-12 变式摸索 1、2、3；对应训练 1、2、3f 2 x14x26xx25x9预习 其次章其次节函数的定义域与值域补充：练习 1：已知5 ,求f x ；答案：f x练习 2：已知 f1cosxsin2x,求 fx 解析： 令 t 1 cosx,就 cosx 1 t2222sin x 1 cosx11t t 2t

17、fx x2 2x,但 t 1 cosx0,2fx x2 2xx0,2练习 3：设二次函数 fx满意 fx2f2x,且 fx0的两实根平方和为 10,图象过点 0,3,求 fx的解析式 解析： 设 fxax2bxca0由 fx2f2x知,该函数的图象关于直线 x2 对称b2a 2,即 b 4a又图象过点 0,3,c3 由方程 fx 0 的两实根平方和为 10,得 b 22c22a a 10,即 b 2ac10a由、得 a 1, b 4, c 3a 0 应舍去 2fxx 4x3x练习 4：已知函数 fx满意条件： fx 2f1 x,就 fx.解： 用111x代换条件方程中的x 得, fx2fxx,

18、把它与原条件式联立f x 2f即得11x x,1f x 2f x x.2 x2 2得fx练习 5：3x.已知 f x 是奇函数, g x 是偶函数,且 f xg x1,求x1f x的解析式；答案：f xxx21练习 6：（ 05 山东） 函数f xsinx2,1x0,ex 1, x0.如 f1fa2 就 a 的全部可能值为（）A.1B.2C.1,22D.1,222答案： C留意：（补充） 转化法（后置至奇偶性）已知 fx在某个区间上的表达式及 fx具有某种性质如奇偶性、对称性等 ,求 fx在另一个区间上的表达式, 常用转化法求解例 6. 2022 广东文 已知函数 fx对任意实数 x 均有 f

19、x kfx2,其中常数 k 为负数,且 fx在区间 0,2上有表达式 fx xx 21求 f1,f2.5的值；2写出 fx在 3,3上的表达式,并争论函数 fx在3,3上的单调性111解析： 1由 f 1 kf1,f2.5kf2知需求 f21113和 f1,f1 1,f222 2 4,3f1 k, f2.5 4k20x 2 时, fxxx2,设 2 x0,就 0 x 22,fxkfx 2kx2x；设 3 x 2,就 1x20,fxkfx 2k2x4x2；设 2x3,就 0x21,fxkfx 2,fx 2kfx,11fxkfx 2kx2x4k2 x 2 x 4 3 x2 kx x 22x0综上可知, fxx x20x 21k x2x 42x3k0,因 x0,解得 0x2.即所求函数为 y 2 2lx 其定义域是2.x 0xl2 x 留意：（补充） 应用题求函数解析式常要依据实际问题的意义来列函数关系, 确定函数的定义域点评：求由实际问题确定函数的定义域时, 除考虑函数的解析式有意义外, 仍要考虑使实际问题有意义 如此题使函数解析式有意义的 x 的取值范畴是 x R,但实际问题的意义是矩形的边长为正数, 而边长是用变量 x 表示的,这就是实际问题对变量的制约