2022年初一数学第讲——三角形提高及辅助线的添加.docx

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1、精品学习资源第五讲全等三角形的有关证明（提高篇）关键：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明 “相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是中学里面一个特别常见而又重要的方法；要说明两边相等，两角相等，最常用的方法就是说明三角形全等学问点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等查找对应边和对应角，常用到以下方法： 1 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 3

2、 有公共边的，公共边常是对应边 4 有公共角的，公共角常是对应角 5 有对顶角的，对顶角常是对应角 6 两个全等的不等边三角形中一对最长边 或最大角 是对应边 或对应角 ，一对最短边 或最小角 是对应边 或对应角 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： 1 边角边定理 SAS ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 2 角边角定理 ASA ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 3 边边边定理 SSS ：三边对应相等的两个三角形全等 4 角角边定理 AAS ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 5 斜边、直角边定理 HL ：斜边和一条直

3、角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，留意有时会添加帮助线拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础板块一、截长补短【例 1】 如图 2-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE ， DCE = ECB .求证： CD=AD+BC.EDA欢迎下载精品学习资源1 / 10CB图 2-1欢迎下载精品学习资源分析： 结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取 CF=CB

4、，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .【例 2】 已知，如图 3-1 ， 1= 2， P为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+BCP=18 0.分析： 与例 1 相类似，证两个角的和是180，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明 BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.ANP12BDC图 3-1【例 3】 已知：如图 4-1，在 ABC 中， C 2B， 1 2.A求证： AB=AC+CD.1 2分析： 从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC至 E 使 CE=C

5、D，或在 AB上截取 AF=AC.BDC图 4-1欢迎下载精品学习资源【例 4】 06 年 北京 中考 题 已知ABC 中 ，A60， BD 、 CE 分 别 平分ABC 和欢迎下载精品学习资源.ACB ， BD 、 CE 交于点 O ，试判定 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明欢迎下载精品学习资源AEODBC【例 5】 如图，点 M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 点 B 除外 ，作欢迎下载精品学习资源DMN60 ，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点N ， DM 与 MN 有怎样的欢迎下载精品学习资源数量关系 .DNAMBE【变式拓展训练】如图，点M

6、 为正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，MNDM且与 ABC 外角的平分线交于点N ， MD 与 MN 有怎样的数量关系？DCNAMBE板块二、倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采纳“倍长中线法”添加帮助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关学问来解决问题的方法下面举例说明例 1如图 1，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线求证： AB+AC 2AD 欢迎下载精品学习资源例 2如图 2，在 ABC 中， AB AC， E 为 BC 边的中点， AD 为 BAC 的平分线，过E 作 AD 的平行

7、线，交AB 于 F，交 CA 的延长线于 G求证： BF=CG 例 3 如图 4， CB， CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 的中线，且AC=AB求证： CE=2CD 板块三全等与角度欢迎下载精品学习资源【例 1】如图，在ABC 中， 求 ABC 的度数 .BAC60 ， AD 是 BAC 的平分线，且 ACABBD ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【 例 2 】 在 四 边 形 ABCD 中 ， 已 知 ABAC，ABD60，ADB76，欢迎下载精品学习资源BDC28 ，求DBC 的度数 .第六讲帮助线的添加归纳欢迎下载精品学习资源. 连结目的 :构造全等三角形或等腰三角形

8、适用情形 :图中已经存在两个点X 和 Y例 1: 如图 ,AB=AD,BC=DC,求证 : B= D.BA CD1. 连结 AC，构造全等三角形； 2. 连结 BD，构造两个等腰三角形例 2: 如图 ,AB=AE,BC=ED, B=E,AM CD,求证 : 点 M是 CD的中点 .AB EC MD连结 AC、AD构造全等三角形例 3: 如图 ,AB=AC,BD=CD, M、N 分别是 BD、CD的中点，求证：AMB AND欢迎下载精品学习资源ABDMNC连结 AD构造全等三角形例 4: 如图 ,AB 与 CD交于 O, 且 AB=CD， AD=BC， OB=5cm，求 OD的长 .ACODB连

9、结 BD构造全等三角形. 角平分线上点向两边作垂线段目的 :构造直角三角形 ,得到距离相等适用情形 :图中已经存在一个点X 和一条线 MNo例 1: 如图 , ABC中,C=90 ,BC=10,BD=6,AD 平分 BAC,求点 D到 AB的距离 .AEBDC过点 D 作 DE AB. 构造了 : 全等的直角三角形且距离相等o例 2: 如图 , ABC中,C=90 ,AC=BC,AD平分 BAC,求证 :AB=AC+DC.AEBDC过点 D 作 DE AB. 构造了 : 全等的直角三角形且距离相等摸索 : 如 AB=15cm,就 BED的周长是多少 .例 3: 如图 , 梯形中 ,A= D =

10、90 o,BE、CE均是角平分线 , 求证 :BC=AB+CD.欢迎下载精品学习资源FECD过点 E 作 EF BC.构造了 : 全等的直角三角形且距离相等BAECDF例 4: 如图 ,OC 平分 AOB, DOE + DPE =180 , 求证 : PD=PE.AoFCDPOBGE过点 P 作 PF OA,PG OB.构造了 : 全等的直角三角形且距离相等. 垂直平分线上点向两端连线段目的 :构造直角三角形 ,得到斜边相等适用情形 :图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X例 1:已知 CD是 AB 的垂直平分线， D、E、F 三点共线；求证ABCFDEBACBAFF. 中线延长一倍

11、目的 :构造直角三角形 ,得到斜边相等适用情形 :图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X欢迎下载精品学习资源例 1:AD是 ABC的中线，求证：AD1 AB2AC欢迎下载精品学习资源ABDCE延长 AD 到点 E，使 DE=AE ，连结 CE. “周长问题”的转化借助“角平分线性质”例 1:如图 , ABC 中,C=90o,AC=BC,AD平分 CAB,DE AB. 如 AB=6cm, 就 DBE 的周长是多少 .CDA EB .“周长问题 ”的转化借助 “垂直平分线性质 ”例 2:如图 , ABC 中, D 在 AB 的垂直平分线上 ,E 在 AC 的垂直平分线上 .如 BC=6c

12、m, 求 ADE 的周长 .AB DEC例 3:如图 ,A、A1 关于 OM 对称 , A、A2 关于 ON 对称 .,如 A1 A2 =6cm, 求 ABC 的周长 .A1MBAOCNA2例 4:如图 , ABC 中， MN 是 AC 的垂直平分线 .如 AN=3cm, ABM周长为 13cm，求 ABC 的周长 .ANBMC欢迎下载精品学习资源 .“周长问题 ”的转化借助 “等腰三角形性质 ”例 5:如图 , ABC 中， BP、CP 是 ABC 的角平分线， MN/BC. 如 BC=6cm, AMN 周长为13cm，求 ABC 的周长 .AMPNBC添帮助线有两类情形： 一、按定义添帮助

13、线：如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为 90，证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍，证角的倍半关系也可类似添帮助线二、按基本图形添帮助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添帮助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线 ”应当叫做 “补图 ”！这样可防止乱添线，添帮助线也有规律可循；举例如下：1. 平行线是个基本图形：当几何中显现平行线时添帮助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线2. 等腰三角形是个简洁的基本图形：当几何问题中显现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形；显现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角

14、的二边相交得等腰三角形；3. 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：显现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；显现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形；4. 直角三角形斜边上中线基本图形：显现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线； 显现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边就要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形；5. 全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等假如显现两条相等线段或两个档相等角关于某始终线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转；当几何问题中显现一组或两组

15、相等线段位于一组对顶角两边且成始终线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样人说几何很困难，难点就在帮助线；帮助线，如何添？把握定理和概念；仍要刻苦加钻研，找出规律凭体会；图中有角平分线，可向两边作垂线；欢迎下载精品学习资源也可将图对折看，对称以后关系现； 角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看； 线段垂直平分线，常向两端把线连；要证线段倍与半，延长缩短可试验； 三角形中两中点，连接就成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线； 平行四边形显现，对称中心等分点；梯形里面作高线，平移一腰试试看； 平行移动对角线，补成三角形常见；证相像，比线段，添线平行成习惯； 等积式子比例换，查找线段很关键；直接证明有困难，等量代换少麻烦； 斜边上面作高线，比例中项一大片；帮助线，是虚线，画图留意勿转变； 假如图形较分散，对称旋转去试验；基本作图很关键，平常把握要娴熟； 解题仍要多心眼，常常总结方法显；切勿盲目乱添线，方法敏捷应多变； 分析综合方法选，困难再多也会减；虚心勤学加苦练，成果上升成直线；欢迎下载