2022年初中数学中考复习二次函数知识点总结.docx

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1、二次函数学问点总结202203112二次函数学问点：1. 二次函数的概念：一般地,形如yaxbxc （ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0 ,而 b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数yax2bxc 的结构特点：等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数,b 是一次项系数, c 是常数项二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：左图画yx2 , y2 x2 , y1 x2 ,右图画2yx2 , y2x2, y1 x22

2、oo结论： a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时, y 随x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 0 a0向下0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时, y 随x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 0 2. yax2c 的性质：左图画yx21, yx21 ,右图画yx21, yx21oo结论：上加下减；总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时, y 随 x 的增大而增大；x0 时, y 随a0向上0 ,cy 轴x 的增大而减小；x 0 时, y

3、有最小值 c a0向下0 ,cy 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小；x0 时, y 随x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左图画 yx12 , yx12 ,右图画 y2 x1 , y2x1oo结论：左加右减；总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质4.xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随a0向上h,0X=hx 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h,0xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随X=hx 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 22222ya xhk 的性质：左图画 yx11

4、 , y x1) 1 ,右图画 yx11, yx11oo总结：二次函数图象的平移a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h,kxh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随X=hx 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=hx h 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2y a xh2k ,确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线y ax 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或

5、下 k0 【或下 k0 【或左 h0】平移 |k|个单位y=a x-h 2+k1. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减”三、二次函数2ya xhk 与 yax 2bxc 的比较请将 y2x24x5 利用配方的形式配成顶点式；请将yax2bxc 配成2ya xhk ；总结：从解析式上看,2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 yax22b4acb2a4a,其中 hb ,k 2a24acb4 a四、二次函数yaxbxc 图象的画法2五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc

6、化为顶点式yaxh 2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.2画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .2左图画 yx2x1 , yx2x1,右图画yx22 x1, yx22 x1当 xb 时, y 随 x 的增大而减小；当 xb 时, y 随 x 的增大而增大；当2a2a24ac4a22. 当 a0 时,抛物线开口向下,对

7、称轴为xb ,顶点坐标为b4acb,2a2a4a的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值 4 2 a2a六、二次函数解析式的表示方法21. 一般式： yaxbxc （ a , b , c 为常数 , a0 ）；xb2a当 x2acb时,b 2ay 有最小值时, y 随 x4a2. 顶点式： yaxh2k （ a , h , k 为常数 , a0 ）；3. 两根式： yaxx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 ）.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x

8、轴有交点,即 b 24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .七、二次函数的图象与各项系数之间的关系oo五、二次函数yax2bxc的性质1.当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb2a,顶点坐标为b4acb22a,4ab1. 二次项系数 a二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 2 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的

9、大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,当 b0 时,当 b0 时, 当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b0 时, 当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来,在a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置 总结：3. 常数项 c 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线

10、与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）

11、值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称yax2bxc关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于 y 轴对称yax2bxc关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc

12、；2ya xhk 关于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称22yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb；2a2yaxhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2yaxhk 5. 关于点 m,n 对称2ya xhk 关于点 m,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛

13、物线的表达式二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程axbxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值 y0 时的特别情形 .121212图象与 x 轴的交点个数：2当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x ,0,B x ,0xx ,其中的x ,x是一元二次方程2axbxc0 a0的两根这两点间的距离ABx2x1b4 ac2.a当0 时,图象与 x 轴只有一个交点；当0 时,图象与 x 轴没有交点 .1 当 a2 当 a0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有y0 ；y0 2. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；依据图象的位置判定二次函数2yaxbxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判断图象的位置,要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.