2022年函数及其基本性质知识点总结 .docx

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1、（1） ）函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A到 B 的一个函数,记作 f : AB 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2） ）区间的概念及表示法设 a, b是两个实数,且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a,b ； 满意 axb 的实数 x 的集合叫做开区间,

2、记做 a,b ；满意 axb,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 a,b , a, b ；满 足 x,ax,ax,的b实x数bx的 集合 分别 记 做 a, a, b, b 留意： 对于集合 x | axb者必需 ab 与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后（3） ）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1 ytan x 中,

3、xkkZ 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x的定义域为 a,b ,其复合函数f g x 的定义域应由不等式ag xb 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4） ）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小 （大）数,这个数就是函数的最小 （大） 值因此求函数的最值与值

4、域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数 yf x 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ,就在a y0 时,由于x, y 为实数,故必需有2b y4a y c y0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数

5、和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（5） ）函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6） ）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素, 在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A到 B 的对应法就 f ）叫做集合

6、A到 B 的映射,记作 f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 aA, bB 假如元素 a和元素 b 对应, 那么我们把元素 b 叫做元素 a的象,元素 a叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1） ）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法假如对于属于定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1 、x2, 当 x1x2时,都有fx1fx2,那么就y y=fXfx1 fx2 （1） 利用定义（2） 利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象（在某个区间函数的单调性说 fx 在这个区间上ox1是增函数假如对于属于定义域x2

7、 x图象上升为增）（4） 利用复合函数（1） 利用定义I内某个区间上的任 意两个自变量的值 x1 、x2,当 x1fx2,那么就说 fx 在这个区间上是减函数ox1x 2x图象下降为减）（4） 利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数yf gx ,令 ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就 yf g x 为增；如yf u 为减, ug x 为减,就yf g x为增；如yf u 为增, ugx 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,yug x 为增,就 yf g x 为减

8、（2） ）打“”函数f xx a a x0 的图象与性质f x 分别在 ,a 、a , 上为增函数,ox分别在 a,0、 0,a 上为减函数（3） ）最大（小）值定义一般地,设函数 yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（1） 对于任意的 xI ,都有 f xM ；（2） 存在 x0I ,使得f x0M 那么,我们称 M 是函数f x 的最大值,记作f max xM 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xm ；（2）存在 x0I ,使得f x0 m那么,我们称m是函数f x 的最小值,记作fmax xm（4） ）函数

9、的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法函数的奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有 f x=fx ,那么函数 fx 叫做奇函 数假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都（ 1 ） 利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2 ） 利用图象（图象关于原点对称）（ 1 ） 利用定义（要先判肯定义有 f x=fx, 那么函数 fx 叫 做 偶函 数域是否关于原点对称）（ 2 ） 利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同, 偶函数在 y 轴两侧相对称的区间

10、增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数高考函数及其基本性质考点解析考点一：函数定义域1、函数 y1 x2x21 的定义域是（）A.1,1B. -1 , 1 C. -1 , 1 D.- ,-1 1 ,+ 2、 y2 x3112 xx考点二：函数值域1、 y3x1, x1 , 2 ,3 , 4, 5 观看法 yx24x6 , x 1,5 配方法 ：形如y ax2bxc y2xx1 换元法：形如 yaxbcxd yxx1 分别常数法 ：形如 ycxdaxbx2a x2b

11、 xc y 判别式法 ：形如 y111x21a x2b xcx2x2, xg x2222、设函数g xx22 xR ,f xx2x,就2, xgxf x 的值域是（ A）9 ,01,（B） 0,（C） 9 , （D）9 ,02,444考点三：分段函数5x1x01、已知函数f x,求 f（1）+f（ 1 ）的值3x2x0fx2x12、已知函数 fx2 x21x1xx1,求 f f （ 4 ）的值3、已知函数f x3x2, x21,如 f f04a ,就实数 a.xax, x1,4、已知函数f xx21, x0,就满意不等式f 1x2f 2 x 的 x 的范畴是 _ _1,x0考点四：函数单调性（

12、最值） 、函数奇偶性1. 假如函数f xx22a1x2 在区间 , 4 上是减函数,那么实数 a 的取值范畴是.2. 假如二次函数围.f xx2 a1x15在区间,12上是增函数,f 2的取值范3 （2022 全国）函数f x1x 的图像关于（）xA y 轴对称B 直线 yx对称C 坐标原点对称D 直线 yx 对称4. 二次函数yx2mx1是偶函数,就函数的增区间为（）A 0,B ,0C 1,D1,5. 以下函数中 ,是奇函数且在 0, 上为增函数的是A yx3xB yx1xC yx1 xD yx36（ 2007 年宁夏）设函数 f xx1 x xa 为奇函数, 就实数 a7. 如函数f xx1,x0为偶函数,就f abaxb, x08. 已知偶函数f x 在 0, 上为增函数, 且f 20 ,解不等式：f 2 x30 9. 设奇函数f x 在0, 上为增函数,且f 10 ,就f x0的解集为（）A 1,B ,10,1C ,1D 1,110. 设偶函数f x 在 0, 上为减函数,就不等式f xf 2 x1 的解集是11. 函数f xx2 在区间2 ,3 上的最大值为x二次函数问题、函数图像问题等考点均渗透在以上考点中；