2022年初中数学开放性探究性历真题及解题策略9.docx

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1、精品学习资源初三数学复习研讨沟通材料中学数学开放性探究性试卷及解题策略绵阳市试验中学陈俊欢迎下载精品学习资源随着基础训练课程改革和素养训练的全面推动，近几年在中学数学教案中和各省、市的中考题中， 显现了一批符合同学年龄特点和认知水平、设计美丽、个性特殊的开放题；开放题打破传统模式，构思新奇，使人耳目一新；数学开放题被认为是当前培育创新意识、制造才能的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试训练向素养训练转轨的重要表达，对发挥同学主体性方面的确具有得天独厚的优势，是培育同学主体意识的极好材料；一、数学开放题的概述1、关于数学开放题的几种论述：什么是数学开放题，现在仍没有统一

2、的熟悉，主要有如下的论述：1）答案不固定或者条件不完备 的习题，我们称为开放题；2）开放题是条件余外需挑选、条件不足需补充或答案不固定的题；3）有多处正确答案的问题是开放题；这类问题赐予同学以自己喜爱的方式解答问题的机会，在解题过程中，同学可以把自己的学问、技能以各种方式结合，同学可以把自己的学问、技能以各种方式结合，去发觉新的思想方法； 4）答案不唯独的问题是开放性的问题；5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；6）问题不必有解，答案不必唯独，条件可以余外，称之为开放题；数学开放题，通俗地说就是给同学以较大认知空间的题目；一个问题是开放仍是封闭经常取决于提出问题时同学

3、的学问水平如何；例如：对n 个人两两握手共握多少次的问题，在同学学习组合学问以前解法许多，是一个开放题，在学习组合学问之后就是一欢迎下载精品学习资源个封闭题；2、数学开放题的基本类型：大致包括以下几种：1）条件开放型这类问题一般是由给定的结论，反思，探究应具备的条件，而满意结论的条件并不唯独例 1、如图 1，要得到 AD/BC ，只需满意条件 只填一个）；再如：如图 2，AB=DB ， 1= 2，请你添加一个适当的条件，使 ABC DBE ，就需添加的条件是；2）结论开放型EADBC图 1ADB图 212CE欢迎下载精品学习资源这类题目就是在给定的条件下，探究响应的对象是否存在；它有结论存在和

4、结论不存在两种情形；其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在做出精确的判定；例 2、如图， O 的直径 AB 为 6，P 为 AB 上一点，过点 P 作 O 的弦 CD ，连结 AC 、 BC，设 BCD=m ACD ，是否存在正实数m，使弦 CD 最短？假如存在，恳求出m 的值；假如不C存在请说明理由；简析：假设存在正实数m，使弦 CD 最短，就有CD AB于 P，从而cos AB POD=OP:OD ，由于， AB=6 ，所以 cosPOD=30 ；于是 ACD=15 o， BCD=75 o，故 m=5 ；D3）简略开放型例 3、运算：，同学可能显现以下几种方法；方法

5、 1：直接通分，相加后再约分；方法 2：原式 =；方法 3：原式 =.方法 1 是常规方法；方法2 表达的是一种化归思想，但也不简洁；方法3 转化为一些互为相反数的和来运算，明显新奇、简便；欢迎下载精品学习资源此外，设计开放型、举例开放型、实践开放型、信息开放型限于篇幅不举例子）；仍有综合开放型、情境开放型等；这些开放题的条件、问题变化不定，有的条件隐藏余外，有的结论多样，有的解法丰富等；二、开放题具有不同于封闭题的显著特点1）数学开放题内容具有新奇性，条件复杂、结论不定、解法敏捷、无现成模式可套用；题材广泛，贴近同学实际生活，不像封闭性题型那样简洁，靠记忆、套模式来解题；2）数学开放题形式具

6、有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的查找多种解法，有的由变求变，表达现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的出现和呆板的表达；3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯独，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观看、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向；4）数学开放题训练功能具有创新性，正是由于它的这种先进而高效的训练功能，适应了当前各国人才竞争的要求；三、开放探干脆试卷备考策略：一）数与式的开放题此类题常以找规律的阅读题形式显现，解题要求能善于观看分析，归纳所供应的材料，猜想其结论；例题：观看以下等式：9-1=81

7、6-4=1225-9=1636-16=20 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来：；策略小结：此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件动身，通过观看、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探究出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想；二）方程开放题22此类问题主要以方程学问为背景，探究方程有解的条件或某种条件解的情形，求字母参数的值；欢迎下载精品学习资源例题：是否存在 k，使关于 x 的方程 9x-4k-7 ） x-6k=0 的两个实数根 x1、 x2，满意 |x1-x2|=10假如欢迎下载精品学习资源存在，试求出全部满意条件的k 的值；如不存在，说明理由

8、；策略小结：此类“存在性”开放题，其解题的一般思路是先假定满意条件的结果存在，再依据有关学问推理，要么得到下面结果，确定存在性；要么导出冲突，否定存在性；三）函数开放题此类题是以函数学问为背景，设置探究函数解读式中字母系数的值及关系，满意某条件的点的存在性等；2例题：已知二次函数y=ax +bx+c0；即 2a+3b=0 ； c= -1；策略小结：此类“图像信息”开放题，只有仔细观看图像上所给出的各个数据及位置 特征，敏捷运用函数性质，才能找出全部的关系与结论，数形结合是解此O类题的重要数学思想方法；x四）几何开放题-1此类问题常以几何图形为背景，设置探究几何量间的关系或点、线位置关系例题：如

9、图1，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， A 是弧 BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点 E；DA D1）求证： AB DA=CD BEAO2）如点 E 在 CB 延长线上运动，点A 在弧 BD 上运动，使切线FOEA 变为割线 EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论欢迎下载精品学习资源成立？ 要求画出示意图 2 注明条件，不要求证明）FBCEBC欢迎下载精品学习资源分 析 ： 此 题 第 2 ） 小 题 是 一 道 条 件 探 索 性 问 题 ； 其 解 法 是 “ 执 果 索 因 ” ， 要 得 到AB DA=CD BE ，即要得ABE CDA ，已有条件ABE=

10、 CDA ，仍需增加条件：BAE= 欢迎下载精品学习资源ACD ，或 BF=AD ，或 BF=DA ，或 FA BD ，或 BCF= ACD 等；策略小结：此类探干脆试卷，解答一般方法是“执果索因”，能画出图形要尽量画出图形，再结合图形逆向推导探究出需要增加的条件，为探究结论，可以作帮助线，对于结论未定的问题，也可反面摸索，寻求否定结论的反例，达到目的；五）综合性开放题此类问题是以几何、代数综合学问为背景，考查分析，推理才能，综合运用学问解题才能；例题：如图，在ABC 中， AB=BC=2 ，高 BE=3 ，在 BC 边的延长线上取一点D，使 CD=3 ；1）现有一动点 P，由 A 沿 AB

11、移动，设AP=t ， SPCD=S，求 S 与 t 之间的关系式及自变量的取值范畴；2）在 1）的条件下，当t= 时，过点 C 作 CH PD 垂足为 H；求证：关于 x 的二次函数y= -x+ 2-10k ） x+2k 的图像与 x 轴的两个交点关于原点对称；3）在 1）的条件下，是否存在正实数t，使 PD 边上的高 CH=CD ，假如存在，恳求出t 的值；假如不存在，请说明理由；分析：1 ）2）略；AB ，这与 P 在AB 边上冲突，故这样的P 点不存在；策略小结：此类综合性开放题，需要同学综合题设条件，通过观看，比较、联想、推测、推理、判断等探究活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，

12、查找变化中的特别位置，即“动”中求 “静”、“一般”中见“特别”，再探求特别位置下应满意的条件，利用分类争论思想，各个击破；常见的开放题举例：例 1：在多项式4x 2+1 中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，就添加的单项式是只写出一个即可）；分析：要使多项式4x2+1 成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，仍可添加常数项；解： 1 ）添加 4x 可得完全平方式 2x+1 ） 22）添加 -4x 可得完全平方式 2x-1） 23）添加 -1 可得完全平方式 2x ） 24）添加 -4x 2 可得完全平方式 12例 2：已知反比例函数，其图象在第一、第三象限内，就k 的值可为 写出

13、满意条件的一个 k 的值即可）分析：对于反比例函数0，所以此题中应当是-20 ，即2；解：-20 2 即只要的值大于 2 就可以满意题目要求；例 3：已知： ABC 内接于 O，过点 A 作直线 EF，如图， AB 为直径，要使得 EF是 O 的切线，仍需添加的条件是：只须写出三种情形）1） 2） 3）分析：依据题目所给条件，要使得EF 是 O 的切线，关键是找到AB EF 的条件即可解决问题；解： 1） CAE= B2 ） AB EF3 ） BAC+ CAE=90 o4） C= FAB5 ） EAB= BAF例 4：已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 只需写出一个方程）分析：假

14、如一元二次方程有解，就有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成 x-1 ） x+a） =0 的形式，就问题可以解决；例 5：有这样一个分式，字母x 的取值范畴是 x -2，如分子为 x+1 ，你能写出一个符合上面条件的分式吗？分析：由题目给出的已知条件x -2 知此分式分母中 x 的取值不能为 -2，否就分式会无意义；解：满意条件的分式可以是：、教材例习题改编与开放探究试卷举例：欢迎下载精品学习资源1、八年级四边形一章曾有一道经典题，多年来多次被各个省市搬上中考试卷，关于它的变式也相当的多，题目是这样的“两个相同的正方形如图叠合，其边长为4，请问阴影部分的面积为多少？”

15、图 1图 2图 3图 4图 5图 62、九年级教材）已知：如图，AB 为 O 直径， C、 D 是半圆弧上的两点， E 是 AB 上除 O 外的一点，AC 与 DE 交于点 F， AD=CD ， DE AB AF=DF1）写出以中的任意两个条件，推出第三个结论）的一个正确命题，并加以证明；欢迎下载精品学习资源2）“以”中的任意两个为条件，推出第三个结论）的一个正确命题， 并加以证明；答案：可以组成 3 组正确的命题，即如就，如就，如就；3、典型范例重开放：表达师生解题聪明；例如基此题）如图， AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BD=OB ，点 C 在 O 上， CAB=30o

16、 ， 求证： DC 是 O 的切线；探究 1： 如图，已知弦AB 与半径相等，连接OB，并延长使 BC=OB ；CDBOE A欢迎下载精品学习资源1）问 AC 是 O 有什么关系 ,并证明你的结论；2）请你在 O 上找出一点 D ，使 AD=AC ；自己完成作图，并证明你的结论） 探究 2： 如图， O 的直径 AB=6cm ， P 是 AB 的延长线上的一点，过P 点作 O 的切线，切点为 C，连接 AC；1）如 CPA=30o，求 PC 的长；2）如点 P 在 AB 的延长线上运动， CPA 平分线交 AC 于点 M ，你认为 CMP的大小是否发生变化？如变化，请说明理由：如不变，求出CMP 的值；探究 3： 求阴影部分的面积；探究 4： OA=OB=BC, DOB 是正三角形， C=30 1）经过 A、 B、D 画外接圆；2）判定 CD 与外接圆的关系，并证明你的结论；总之，开放性问题变化无穷、生动活泼、敏捷多样、一改同学死搬硬套的解题模式，排除同学仿照欢迎下载精品学习资源死记解题的习惯，从不同角度对问题的深思熟虑，寻求多样性的解题方法，以上仅仅是笔者几年来教案的心结，有不完善的地方仍需要今后的教案中不断探究、实践，但我们的目标是坚决的，为培育开放 型、制造型人才而努力工作；欢迎下载