2022年新人教版八级数学上册知识点总结归纳2 .docx
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1、新人教版八年级数学上册学问点总结归纳第十一章三角形新人教版八年级上册数学学问点总结归纳1第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法与因式分解第十五章分式1、三角形的概念第十一章三角形由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形;组成三角形的线段叫做三角形的边 ;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角;2、三角形中的主要线段(1) 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线;(2) 在三角形中 ,连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线;(3) 从三角形一个顶点向它的对边做
2、垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高;3、三角形的稳固性三角形的外形就是固定的 ,三角形的这个性质叫做三角形的稳固性;三角形的这个性质在生产生活中应用很广 ,需要稳固的东西一般都制成三角形的外形;4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性 :(1) 三角形有三条线段(2) 三条线段不在同始终线上三角形就是封闭图形(3) 首尾顺次相接三角形用符号“”表示 ,顶点就是 A、B、C 的三角形记作“ABC” ,读作“三角形 ABC ”;5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下 :不等边三角形三角形底与腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下 :直角三角形 有
3、一个角为直角的三角形 三角形锐角三角形 三个角都就是锐角的三角形 斜三角形钝角三角形 有一个角为钝角的三角形 把边与角联系在一起 ,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形;它就是两条直角边相等的直角三角形;6、三角形的三边关系定理及推论(1) 三角形三边关系定理 :三角形的两边之与大于第三边;推论:三角形的两边之差小于第三边;(2) 三角形三边关系定理及推论的作用 :判定三条已知线段能否组成三角形当已知两边时 ,可确定第三边的范畴;证明线段不等关系;7、三角形的内角与定理及推论三角形的内角与定理 :三角形三个内角与等于180 ;推论:直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于与它不相邻的
4、来两个内角的与;三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;注:在同一个三角形中 :等角对等边 ;等边对等角 ;大角对大边 ;大边对大角;8 、三角形的面积 = 底高多边形学问要点梳理定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形;凸多边形多边形分类 1:凹多边形正多边形 :各边相等 ,各角也相等的多边形分类 2:叫做正多边形;非正多边形 :1、n 边形的内角与等于 180 n-2 ;多边形的定理2 、任意凸形多边形的外角与等于360 ;3 、n 边形的对角线条数等于 1/2 nn-3只用一种正多边形 :3 、4 、6/ ;镶嵌拼成 360 度的角只用一种非正多边形 全等
5、:3、4;学问点一 :多边形及有关概念1 、 多边形的定义 :在平面内 ,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形、(1) 多边形的一些要素 :边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边 .顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.内角:多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角,一个 n 边形有 n 个内角;外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角;(2) 在定义中应留意 :一些线段 多边形的边数就是大于等于 3 的正整数 ;首尾顺次相连 ,二者缺一不行 ;懂得时要特殊留意“在同一平面内”这个条件,其目的就是为了排除几个点不共面的情形,即空间多边形、2 、多边形的分类 :(1)
6、 多边形可分为凸多边形与凹多边形,画出多边形的任何一条边所在的直线,假如整个多边形都在这条直线的同一侧 ,就此多边形为凸多边形 ,反之为凹多边形 见图 1、本章所讲的多边形都就是指凸多边形、凸多边形凹多边形图 1(2) 多边形通常仍以边数命名 ,多边形有 n 条边就叫做 n 边形.三角形、四边形都属于多边形 ,其中三角形就是边数最少的多边形.学问点二 :正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形;如正三角形、正方形、正五边形等;正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释 :各角相等、各边也相等就是正多边形的必备条件,二者缺一不行、 如四条边都相等的四边形不肯定就是正方形 ,四
7、个角都相等的四边形也不肯定就是正方形,只有满意四边都相等且四个角也都相等的四边形才就是正方形学问点三 :多边形的对角线多边形的对角线 :连接多边形不相邻的两个顶点的线段 ,叫做多边形的对角线、 如图 2,BD 为四边形 ABCD 的一条对角线;要点诠释 :(1) 从 n 边形一个顶点可以引 n 3 条对角线 ,将多边形分成 n 2 个三角形;(2) n 边形共有条对角线;证明:过一个顶点有 n3 条对角线 n 3 的正整数 ,又共有 n 个顶点 ,共有nn-3条对角线 ,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,凸n 边形,共有条对角线;学问点四 :多边形的内角与公式1 、公式:边形的内角与为、2
8、 、公式的证明 :证法 1:在 边形内任取一点 ,并把这点与各个顶点连接起来,共构成 个三角形 ,这个三角形的内角与为,再减去一个周角 ,即得到边形的内角与为、证法 2: 从边形一个顶点作对角线, 可以作条对角线 , 并且边形被分成个 三 角 形 , 这个 三 角 形 内 角 与 恰 好 就 是边 形 的 内 角 与 , 等 于、证法 3:在 边形的一边上取一点与各个顶点相连,得个三角形 ,边形内角与等于这个三角形的内角与减去所取的一点处的一个平角的度数,即、要点诠释 :(1) 留意:以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想;(2) 内角与定理的应用 :已知多边形的边数
9、 ,求其内角与 ;已知多边形内角与 ,求其边数;学问点五 :多边形的外角与公式1 、公式:多边形的外角与等于 360 、2、多边形外角与公式的证明 :多边形的每个内角与与它相邻的外角都就是邻补角,所以边形的内角与加外角与为,外角与等于、留意:n 边形的外角与恒等于 360 ,它与边数的多少无关;要点诠释 :(1) 外角与公式的应用 :已知外角度数 ,求正多边形边数 ;已知正多边形边数 ,求外角度数、(2) 多边形的边数与内角与、外角与的关系:n 边形的内角与等于 n 2 180 n 3,n 就是正整数 ,可见多边形内角与与边数 n 有关,每增加 1 条边,内角与增加 180 ;多边形的外角与等
10、于 360 ,与边数的多少无关;学问点六 :镶嵌的概念与特点1、定义 :用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全掩盖,通常把这类问题叫做用多边形掩盖平面 或平面镶嵌 ;这里的多边形可以外形相同 ,也可以外形不相同;2 、实现镶嵌的条件 :拼接在同一点的各个角的与恰好等于360 ;相邻的多边形有公共边;3 、常见的一些正多边形的镶嵌问题 :(1) 用正多边形实现镶嵌的条件:边长相等 ;顶点公用 ;在一个顶点处各正多边形的内角之与为360 ;(2) 只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形 ,怎样判定它能否拼成一个平面图形,且不留一点间隙?解决问题的关键在于正多边形的内角特点; 当环绕一点
11、拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360 时,就能铺成一个平面图形;事实上,正 n 边形的每一个内角为,要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点 ,恰好掩盖地面 ,这样 360 ,由此导出 k2,而 k 就是正整数,所以 n 只能取 3,4,6 ;因而,用相同的正多边形地砖铺地面 ,只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用;留意:任意四边形的内角与都等于 360 ;所以用一批外形、大小完全相同但不规章的四边形地砖也可以铺成无间隙的地板 ,用任意相同的三角形也可以铺满地面;(3) 用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,关键就
12、是相关正多边形“交接处各角之与能否拼成一个周角”的问题;例如,用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌,见下图:又如,用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面,由于它们的交接处各角之与恰好为一个周角360 ;规律方法指导1. 内角与与边数成正比 :边数增加 ,内角与增加 ;边数削减 ,内角与削减、 每增加一条边 ,内角的与就增加 180 反过来也成立 ,且多边形的内角与必需就是 180 的整数倍、2. 多边形外角与恒等于 360 ,与边数的多少无关、3. 多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角 如矩形 ;多边形
13、的外角中最多有三个钝角 ,最少没有钝角、4. 在运用多边形的内角与公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合 ,运用方程思想就是解决本节问题的常用方法、5. 在解决多边形的内角与问题时 ,通常转化为与三角形相关的角来解决、三角形就是一种基本图形,就是讨论复杂图形的基础 ,同时留意转化思想在数学中的应用、经典例题透析类型一:多边形内角与及外角与定理应用1. 一个多边形的内角与等于它的外角与的5 倍,它就是几边形?总结升华 :此题就是多边形的内角与定理与外角与定理的综合运用、只要设出边数,依据条件列出关于的方程 ,求出的值即可 ,这就是一种常用的解题思路、举一反三 :【变式 1】如一个多边形的内角
14、与与外角与的总度数为1800 ,求这个多边形的边数、【变式 2】一个多边形除了一个内角外 ,其余各内角与为 2750 ,求这个多边形的内角与就是多少?【答案】设这个多边形的边数为,这个内角为,、【变式 3】一个多边形的内角与与某一个外角的度数总与为1350 ,求这个多边形的边数;类型二:多边形对角线公式的运用【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线 ,就多边形的边数就是 、A.6B.7C.8D.9【变式 2】一个十二边形有几条对角线;总结升华 :对于一个 n 边形的对角线的条数 ,我们可以总结出规律条,牢记这个公式 ,以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数 ,要记住这个公式只有在
15、懂得的基础之上才能记得牢;类型三:可转化为多边形内角与问题【变式 1】如下列图 ,1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=、【变式 2 】如下列图 ,求ABCDEF 的度数;类型四:实际应用题4. 如图,一辆小汽车从 P 市动身 ,先到 B 市,再到 C 市,再到 A 市,最终返回 P 市,这辆小汽车共转了多少度角?思路点拨 :依据多边形的外角与定懂得决、举一反三 :【变式 1 】如下列图,小亮从 A 点动身前进 10m, 向右转 15 ,再前进 10m, 又向右转 15 ,这样始终走下去 ,当她第一次回到动身点时 ,一共走了m、【变式 2 】小华从点 A 动身向前走 10 米,向右转 36 ,然后
16、连续向前走 10 米,再向右转 36 ,她以同样的方法连续走下去 ,她能回到点 A 不?如能 ,当她走回点 A 时共走了多少米?如不能 ,写出理由;【变式 3】如下列图就是某厂生产的一块模板 ,已知该模板的边 AB CF,CDAE、 按规定AB、CD 的延长线相交成 80 角,因交点不在模板上 ,不便测量、 这时师傅告知徒弟只需测一个角,便知道 AB、CD 的延长线的夹角就是否合乎规定,您知道需测哪一个角不?说明理由、思路点拨 :此题中将 AB 、CD 延长后会得到一个五边形 , 依据五边形内角与为 540 ,又由 AB CF,CDAE,可知 BAE+ AEF+ EFC=360 ,从 540
17、中减去80 再减去360 ,剩下C 的度数为 100 ,所以只需测 C 的度数即可 ,同理仍可直接测A 的度数、总结升华 :此题实际上就是多边形内角与的逆运算 ,关键在于正确添加帮助线、类型五:镶嵌问题5. 分别画出用相同边长的以下正多边形组合铺满地面的设计图;(1) 正方形与正八边形 ;(2) 正三角形与正十二边形 ;3 正三角形、正方形与正六边形;思路点拨 :只要在拼接处各多边形的内角的与能构成一个周角 ,那么这些多边形就能作平面镶嵌;解析:正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别就是60 、90 、120 、135 、150 ;(1) 由于 90 2135 360
18、, 所以一个顶点处有 1 个正方形、2 个正八边形 ,如图1 所示;(2) 由于 60 2150 360, 所以一个顶点处有 1 个正三角形、 2 个正十二边形 ,如图2所示;(3) 由于 60 2 90 120 360, 所以一个顶点处有1 个正三角形、 1 个正六边形与 2个正方形 ,如图3 所示;总结升华 :用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形,实质上就是相关正多边形“交接处各角之与能否拼成一个周角”的问题;举一反三:【变式 1】分别用外形、大小完全相同的三角形木板;四边形木板 ;正五边形木板 ;正六边形木板作平面镶嵌, 其中不能镶嵌成地板的就是 A 、B、C、 D、解析:用同一种
19、多边形木板铺地面 ,只有正三角形、 四边形、正六边形的木板可以用 ,不能用正五边形木板 ,故【变式 2】用三块正多边形的木板铺地 ,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合 ,其中两块木板的边数都就是 8,就第三块木板的边数应就是 A、4B、5C、6D、8【答案】 A提示:先算出正八边形一个内角的度数,再乘以 2,然后用 360 减去刚才得到的积,便得到第三块木板一个内角的度数 ,进而得到第三块木板的边数 练习1.多边形的一个内角的外角与其余内角的与为600 ,求这个多边形的边数 .2.n 边形的内角与与外角与互比为 13:2, 求 n.3. 五边形 ABCDE 的各内角都相等 ,且 AEDE,AD
20、 CB 不?4. 将五边形砍去一个角 ,得到的就是怎样的图形?5. 四边形 ABCD 中,A+ B=210 ,C 4 D.求:C 或D 的度数.6. 在四边形 ABCD 中,ABACAD,DAC 2BAC.求证:DBC 2 BDC.第十二章全等三角形一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;一个三角形经过平移、 翻折、旋转可以得到它的全等形;2 、全等三角形有哪些性质1: 全等三角形的对应边相等、对应角相等;2: 全等三角形的周长相等、面积相等;3: 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等;3 、全等三角形的判定边边边:三边对应相等的两个三角形全等 可简写成“ SS
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