2022年初三数学二次函数知识点总结3.docx

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1、初三数学 二次函数 学问点总结一、二次函数概念：第 12 页 共 7 页1. 二次函数的概念： 一般地，形如2yaxbxc a ，b ，c 是常数， a0 的函数，叫做二次函数；这2里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实2. 二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1、一般形式2yaxbxc a0 2、二次函数顶点式2ya xhk 的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小

2、；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y 随a0向上h ，kX=hx 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y 随x 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k 3、交点式 y=ax-x 1x-x 2x1 与 x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式22ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax 的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：y=ax 2向上k0【或向下

3、k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=a x-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上下平移 m 个单位， yax2bxc 变成yax2bxcm或 yax2bxcm yax2bxc 沿轴平移：向左右平移m 个单位， yax 2bxc 变成2ya xm 2b xmc 或 ya xm 2b xmc2四、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看，2ya xhk 与 yaxbxc 是两种不同的表达形

4、式，后者通过配方可以得到前者，即2yaxb 2a4acb2 4a，其中 hb ，k 2a4acb24a五、二次函数2yaxbxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2yaxhk ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y 轴的交点 0 ，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0， x2 ，0假设与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数2yaxbxc

5、的性质2bb4acb1. 当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为2a，2 a4a当 xb 2a2时， y 随 x 的增大而减小；当 xb 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2ab 时， y 有最小2a值 4acb4a2bb4acbb2. 当 a0 时， 抛物线开口向下， 对称轴为 x，顶点坐标为2a，当 x2a4a时， y 随2ax 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时， y 有最大值2a4acb 24a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：2yaxbxc a ， b ， c 为常数， a0 ；2. 顶点式：yaxhk a ， h ， k

6、 为常数， a0 ；3. 两根式：yaxx1 xx2 a0 ， x1 ，x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标 .留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即的这三种形式可以互化.b24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系21. 二次项系数 a二次函数yaxbxc 中， a 作为二次项系数，明显a0 a 打算了抛物线开口的大小和方向，a的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 打算了抛物线的对称轴ab

7、 的符号的判定：对称轴x“左同右异”b 在 y 轴左边就 ab 2a0 ，在 y 轴的右侧就 ab0 ，概括的说就是3. 常数项 cc 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相

8、同的两点，常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情形：一元二次方程ax2bxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值 y0 时的特别情形 .图象与 x 轴的交点个数：22 当b4ac0 时，图象与 x 轴交于两点A x1 ，0，B x2 ，0x1x2 ，其中的x1 ，x2 是一元二次方2程 axbxc0 a0 的两根 这两点间的距离ABx2x1b4ac a. 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1当a0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任2何实数，都有 y0 ； 2 当a0 时，图象落在 x

9、 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y0 2. 抛物线yaxbxc 的图象与 y 轴肯定相交，交点坐标为0 ，c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数断图象的位置，要数形结合；2yaxbxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1. 考查二

10、次函数的定义、性质，有关试题常显现在挑选题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数ym2 x2m2m2 的图像经过原点，就 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为挑选题，如：如图，假如函数 ykxb 的图像在第一、 二、三象限内， 那么函数 ykx2bx1的图像大致是 yyyy110x-1 ox0x0 1 x ABCD3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题显现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过 0,3 ， 4,6 两点，对称轴为 x5，求这条抛物线的解析式；3

11、4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：23已知抛物线yaxbxc a 0与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是 21确定抛物线的解析式； 2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5考查代数与几何的综合才能，常见的作为专项压轴题；由抛物线的位置确定系数的符号例 1 1二次函数2yaxbxc 的图像如图 1，就点M b, c a在A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca 0的图象如图2 所示， .就以下结论： a、b 同号；当 x=1和 x=3 时，函数值相等； 4a+b=0；当

12、y=-2 时， x 的值只能取 0. 其中正确的个数是A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个12【点评】弄清抛物线的位置与系数a， b， c 之间的关系，是解决问题的关键2例 2. 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 ，O、x 1，0 ，且 1x 12，与 y 轴的正半轴的交点在点 O，2 的下方以下结论： abO； 4a+cO，其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个答案： D会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=2 ，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴

13、是直线x=2 ，就抛物线的顶点坐标为 A2， -3B.2，1C2， 3D 3 ， 2答案： C例 4、已知抛物线y= 12x 2+x- 5 21用配方法求它的顶点坐标和对称轴2假设该抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段 AB的长【点评】此题 1是对二次函数的“基本方法”的考查，第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系函数主要关注：通过不同的途径图象、解析式等明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；二次函数对应练习试题2一、挑选题1. 二次函数yx4x7 的顶点坐标是 A.2, 11B. 2，

14、 7C.2， 11D.2， 32. 把抛物线 y2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是A. y2x12B.y2x1) 2C.y2x21D.y2x212ykxk 和 yk k x0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的yax2bxc a0 的图象如下图 , 就以下结论 : a,b 同号 ; 当 x1 和 x3 时,函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只能取 0. 其中正确的个数是A.1 个B.2个C. 3个D. 4个yax2bxc a0 的顶点坐标 -1 ，-3.2 及部分图象 如图 , 由图象可知关于x的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别是 x11.3和x2 . B.-2

15、.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数yax2bxc 的图象如下图，就点ac, bc 在A第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限2 xx22x的正根的个数为A.0 个B.1个C.2个.3个8. 已知抛物线过点 A2,0,B-1,0,与 yA.yx2C.yx2x2x2 或B.yx2x2D.yx2yx2x2x2 或yx2x2二、填空题29. 二次函数 yxbx3的对称轴是 x2 ，就 b ；10. 已知抛物线 y=-2 x+3 2+5 ，假如 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范畴是.11. 一个函数具有以下性质：图象过点1， 2，当 x 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增

16、大； 满意上述两条性质的函数的解析式是只写一个即可 ；12. 抛物线 y2 x226 的顶点为 C，已知直线ykx3 过点 C，就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；13. 二次函数 y2x24x1的图象是由 y2x2bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 就 b=,c=；14. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是 40 米，在线段AB上离中心 M处 5 米的地方，桥的高度是取 3.14.三、解答题：x30 , 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5 .2(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函

17、数值为0.(3) 当 x 在什么范畴内变化时 , 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 .第 15 题图16. 某种爆竹点燃后，其上上升度h米和时间 t 秒符合关系式hv0t1 gt 22 0t 2，其中重2力加速度 g 以 10 米/ 秒 运算这种爆竹点燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升， 1这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？ 2在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判定爆竹是上升，或是下降，并说明理由.练习试题答案一，挑选题、1 A 2 C 3 A 4 B5 D6 B7 C8 C二、填空题、9 b4 10 x -3 11如y2x24, y2 x4 等答案不唯独12 113 -8 71415三、解答题15. 1 设抛物线的解析式为yax2bxc , 由题意可得b32aabc6151255解得 ac2,b3,c2所以 y2x3x222x1 或-52x316. 1由已知得，1520t110t 2 ，解得 t3,t1 当t3 时不合题意，舍去；所以当爆竹点燃122后 1 秒离地 15 米 2由题意得， h5t 220t 5t2220 ，可知顶点的横坐标t2 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升