2022年数列复习知识点总结.docx

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1、名师整理精华学问点高三数学第一轮复习数列一、学问梳理数列概念1. 数列的定义：依据肯定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2. 通项公式： 假如数列an的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 anf n .3. 递推公式：假如已知数列an的第一项（或前几项） ,且任何一项an 与它的前一项an 1 （或前几项）间的关系可以用一个式子 来 表 示 , 即 anf an 1 或 anf an1, an 2 , 那 么 这 个 式 子 叫 做 数 列an的 递 推 公 式 .如 数 列an中 ,a11, an2an1 ,其中 an2an

2、1 是数列an的递推公式 .4. 数列的前 n 项和与通项的公式S1n1 Sna1a 2an ； anSnSn.1n25. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列,无穷数列；递增数列,递减数列,摇摆数列,常数数列；有界数列,无界数列.递增数列 : 对于任何 n递减数列 : 对于任何 nN , 均有 an 1N , 均有 an 1an .an .摇摆数列 : 例如:1,1,1,1, 1,.常数数列 : 例如:6,6,6,6, .有界数列 : 存在正数 M 使 anM , nN .无界数列 : 对于任何正数 M , 总有项等差数列1. 等差数列的概念a n 使得

3、 anM .假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差 .2. 通项公式与前 n 项和公式通项公式 ana1n1d, a1 为首项, d 为公差 .前 n 项和公式 Sn3. 等差中项na12an 或 Snna11 nn21) d .假如 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项 .即： A 是 a 与 b 的等差中项4. 等差数列的判定方法2Aaba , A , b 成等差数列 .定义法：an 1and （ nN , d 是常数）an是等差数列；中项法：2an 1anan2 nN an是等差数列 .

4、5. 等差数列的常用性质数列an是等差数列,就数列anp 、pan（ p 是常数）都是等差数列；在等差数列an 中,等距离取出如干项也构成一个等差数列,即an , ank , an2k ,an3k ,为等差数列,公差为 kd . anamnmd； ananb a , b 是常数 ； Snan2bn a , b 是常数, a0 如 mnpqm, n, p, qN ,就 amana paq ；如等差数列an的前 n 项和Sn ,就Sn是等差数列；n当项数为2nnN ,就 S偶 S奇S偶nd,S奇S偶an 1；ann1当项数为 2n等比数列1nN ,就 S奇 S偶an ,.S奇n1. 等比数列的概念

5、假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数qq0 ,这个数列叫做等比数列,常数 q 称为等比数列的公比 .12. 通项公式与前 n 项和公式通项公式： ana qn, a1为首项, q 为公比 .1前 n 项和公式：当q1 时, Snna1当 q1 时, Snna11q a1anq .3. 等比中项1q1q假如 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与b 的等比中项 .即： G 是 a 与b 的等差中项a , A , b 成等差数列4. 等比数列的判定方法G 2a b .定义法：an 1anq （ nN , q0 是常数）an是等比数列；中项法：2an 1anan2

6、nN 且an0an是等比数列 .5. 等比数列的常用性质数列an是等比数列,就数列pa n 、pan （ q0 是常数）都是等比数列；在等比数列an中,等距离取出如干项也构成一个等比数列,即an , ank , an2k ,an3k ,为等比数列,公比为qk . anaqnm n, mN m如 mnpqm, n, p, qN ,就 amana paq ；如等比数列an 的前 n 项和Sn ,就Sk 、 S2kSk 、S3 kS2 k 、 S4 kS3k 是等比数列 .二、典型例题A 、求值类的运算题（多关于等差等比数列）1） 依据基本量求解（方程的思想）1、已知Sn 为等差数列an的前 n 项

7、和, a49, a96, Sn63 ,求 n ；2、等差数列an 中,a410 且 a3, a6, a10 成等比数列,求数列an 前 20 项的和S20 3、设an是公比为正数的等比数列,如a11,a 516 ,求数列an前 7 项的和 .4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37 ,中间两数之和为 36 ,求这四个数 .2） 依据数列的性质求解（整体思想）1、已知Sn 为等差数列an的前 n 项和, a6100 ,就S11；2、设S 、 T 分别是等差数列a、 a的前 n 项和, Sn7n2 ,就 a5.nnnnTnn3b53、设Sn 是等差数列a 5a

8、n 的前 n 项和,如5 , 就 S9（）a 39S54、等差数列 a , b 的前 n 项和分别为 S ,T ,如 Sn2nan,就=（）nnnnTn3n1bn5、已知Sn 为等差数列an的前 n 项和, Snm, Smnnm ,就Sm n.6、在正项等比数列an中,a1a52a3a5a3a725,就 a3a5 ；7、已知数列an是等差数列,如a4a7a1017 , a4a5a6a12a13a1477 且 ak13 , 就k ；8、已知Sn 为等比数列an前 n 项和, Sn54 ,S2 n60 ,就S3 n.9、在等差数列an中,如 S41, S84 ,就a17a18a19a 20 的值为

9、（）10、在等比数列中,已知a9a10aa0 , a19a20b ,就a99a100.11、已知an 为等差数列,a158,a 6020 ,就a7512、等差数列S4an 中,已知S81 , 求3S8 . S16B、求数列通项公式1） 给出前几项,求通项公式1,0,1,0,1,3,6,10,15,21,3, -33,333 , -3333,33333 n2） 给出前 n 项和求通项公式1、 Sn2n 23n ； Sn31.2、设数列a满意 a3a32 a+3n-1 an nN * ,求数列a的通项公式n123n3n3） 给出递推公式求通项公式a、已知关系式an 1anf n ,可利用迭加法或迭

10、代法；ananan 1an 1an 2 an 2an 3 a2a1 a1例：已知数列an中, a12, anan 12n1n2) ,求数列an的通项公式；b、已知关系式an 1anf n ,可利用迭乘法 . anan an 1an 1an 2an 2an 3a3a2a1a 2a1例、已知数列a满意： ann1 n2, a2 ,求求数列a的通项公式；nan11nn 1c、构造新数列1递推关系形如“an 1panq ”,利用待定系数法求解例、已知数列an中, a11, an 12an3 ,求数列an的通项公式 .2递推关系形如“,两边同除pn 1 或待定系数法求解例、 a11, an 12an3n

11、 ,求数列an的通项公式 .3递推已知数列an中,关系形如“an 2p an 1q an ”,利用待定系数法求解例、已知数列an中, a11, a22, an 23an 12an ,求数列an的通项公式 .4递推关系形如 anpan 1qanan（1p,q0 , 两边同除以anan 1例 1、已知数列an中, anan 12anan（1n2,a 12 ,求数列an的通项公式 .例 2、数列an 中, a12, an 12an n4anN ,求数列an 的通项公式 .d、给出关于Sn 和am 的关系例 1、设数列an的前 n 项和为Sn ,已知 a1a, an 1S3n nN ,设 bnS3n

12、,nn2求数列bn 的通项公式例 2、设Sn 是数列an 的前 n 项和, a11, nanSn1 n22 .S求 an的通项；设 bSn,求数列b的前 n 项和 T .nnn2n1C 、证明数列是等差或等比数列1证明数列等差例 1、已知Sn 为等差数列an的前 n 项和, bnSn n nN . 求证：数列bn 是等差数列 .例 2、已知数列 a 的前 n 项和为 S ,且满意 a+2S S =0 （ n 2）, a1=.求证： 1 是等差数列；n2）证明数列等比nnnn 112Sn例 1、设 an 是等差数列, bn1 a n2,求证：数列 bn 是等比数列；例 2、设S 为数列a的前 n

13、 项和,已知 ba2nb1 Snnnn证明：当 b2 时,ann2 n 1是等比数列；求an 的通项公式例 3、已知数列an 满意 a11,a23, an 23an 1*2an nN .证明：数列an 1an 是等比数列；求数列an的通项公式；如数列bn满意4b114b21.4bn 1an1bn nN * , 证明bn是等差数列 .D 、求数列的前 n 项和基本方法：1） 公式法,2） 拆解求和法 .例 1、求数列2 n2 n3 的前 n 项和Sn .例 2、求数列1 1 ,2 1 ,3 1 , n1 ,的前 n 项和 S .2482nn例 3、求和： 2 5+3 6+4 7+ +n（ n+3

14、）111112）裂项相消法,数列的常见拆项有： ；n1n ；例 1、求和： S=1+1nnk1knnk 1nn1例 2、求和： 3）倒序相加法,12123112132123n11.43n1n例、设f xx 22 ,求：1x41 f 1f 1 f 1 f 2 f 3f 4 ；32 f 12022f 2022 f 1f 1 f 2f 2022f 2022.324） 错位相减法,例、如数列an 的通项 an2n13n ,求此数列的前 n 项和Sn .5） 对于数列等差和等比混合数列分组求和2例、已知数列 an 的前 n 项和 Sn=12n n ,求数列 | an| 的前 n 项和 Tn.E、数列单调

15、性最值问题例 1、数列an 中, an2n49 ,当数列an 的前 n 项和Sn 取得最小值时, n.例 2、已知Sn 为等差数列an的前 n 项和, a125, a416. 当 n 为何值时,Sn 取得最大值；例 3、数列an 中, an3n 228n1 ,求an 取最小值时 n 的值 .例 4、数列an 中, annn 22,求数列an的最大项和最小项.例 5、设数列a的前 n 项和为 S 已知 aa , aS3n ,nN * nn1n 1n（）设bnSn3n ,求数列bn 的通项公式； （）如an 1 an ,nN *,求 a 的取值范畴例 6、已知Sn 为数列an的前 n 项和, a13 , SnSn 12an n2 .求数列an 的通项公式；数列an 中是否存在正整数k ,使得不等式akak1 对任意不小于k 的正整数都成立？如存在,求最小的正整数 k ,如不存在,说明理由 .2例 7、非等比数列 a 中,前 n 项和 S1 a1 ,（ 1）求数列 annnn4的通项公式；（ 2）设 b1nN *, Tbbb ,是否存在最大的整数m,使得对任意的n 均有 Tm 总成nn3an n12nn32立？如存在,求出m；如不存在,请说明理由；