2022年初中数学重点知识点归纳总结.docx

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1、中学数学学问点归纳总结一、基本运算方法1、配方法所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式；通过配方解决数学问题的方法叫配方法；其中,用的最多的是配成完全平方式；配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用特别特别广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都常常用到它；2、因式分解法因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式；因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用；因式分解的方法有很多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法

2、、 分组分解法、 十字相乘法等外, 仍有如利用拆项添项、 求根分解、换元、待定系数等等；3、换元法换元法是数学中一个特别重要而且应用特别广泛的解题方法；我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原先的式子,使它简化, 使问题易于解决；4、判别式法与韦达定理一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a、b、c 属于 R,a 0）根的判别, =b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程组,解不等式,讨论函数乃至几何、三角运算中都有特别广 泛的应用；韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知

3、两个数的和与积,求这两个数等简洁应用外,仍可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等5、待定系数法在解数学问题时,如先判定所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后依据题设条件列出关于待定系数的等式,最终解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法；它是中学数学中常用的方法之一；6、构造法在解题时,我们常常会采纳这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造帮助元素,它可以是一个图形、一个方程 组、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解

4、题的数学方法,我们称为构造法；运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学学问相互渗透,有利于问题的解决；7、反证法反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设动身,经过正确的推理, 导致冲突, 从而否定相反的假设, 达到确定原命题正确的一种方法； 反证法可以分为归谬反证法 结论的反面只有一种 与穷举反证法 结论的反面不只一种 ；用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为： 1 反设； 2归谬； 3结论；反设是反证法的基础, 为了正确地作出反设, 把握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如： 是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于

5、、不等于；大小于、不大 小于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n 个、至多有 n 一 1个；至多有一个、至少有两个；唯独、至少有两个；归谬是反证法的关键,导出冲突的过程没有固定的模式,但必需从反设动身,否就推导将成为无源之水,无本之木；推理必需严谨；导出的冲突有如下几种类型：与已知条件冲突；与已知的公理、定义、定理、公式冲突；与反设冲突；自相冲突；8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积运算有关的性质定理,不仅可用于运算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的成效；运用面积关系来证明或运算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法；用归纳法

6、或分析法证明平面几何题,其困难在添置帮助线；面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来, 通过运算达到求证的结果；所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系, 只需要运算,有时可以不添置补助线,即使需要添置帮助线,也很简洁考虑到；9、几何变换法在数学问题的讨论中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简洁性的问题而得到解决；所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射；中学数学中所涉及的变换主要是初等变换；有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易；另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中；将图形从相等静止条件下的讨论和运动

7、中的讨论结合起来,有利于对图形本质的熟悉；几何变换包括： （ 1）平移；（2）旋转；（ 3）对称；10、客观性题的解题方法挑选题是给出条件和结论,要求依据肯定的关系找出正确答案的一类题型；挑选题的题型构思精致,形式敏捷,可以比较全面地考察同学的基础学问和基本技能,从而增大了试卷的容量和学问掩盖面；填空题是标准化考试的重要题型之一,它同挑选题一样具有考查目标明确,学问复盖面广, 评卷精确快速, 有利于考查同学的分析判定才能和运算才能等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止同学猜估答案的情形；要想快速、正确地解挑选题、填空题,除了具有精确的运算、严密的推理外,仍要有解挑选题、填空题的方法与技巧；

8、下面通过实例介绍常用方法；（ 1）直接推演法：直接从命题给出的条件动身,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,挑选正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法；（ 2）验证法：由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供挑选的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法（也称代入法）；当遇到定量命题时,常用此法；（ 3）特别元素法：用合适的特别元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去,从而获得解答；这种方法叫特别元素法；（ 4）排除、挑选法：对于正确答案有且只有一个的挑选题,依据数学学问或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经挑选,从而作出正确的

9、结论的解法叫排除、挑选法；（ 5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判定,作出正确的挑选称为图解法；图解法是解挑选题常用方法之一；（ 6）分析法：直接通过对挑选题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判定,从而选出正确的结果,为分析法；二、基本定理1、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3、同角或等角的补角相等4、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的全部线段中,垂线段最短7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8、假如两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也相互平行9、同位角相等,两直线平行10、内错

10、角相等,两直线平行11、同旁内角互补,两直线平行12、两直线平行,同位角相等13、两直线平行,内错角相等14、两直线平行,同旁内角互补15、定理 三角形两边的和大于第三边16、推论 三角形两边的差小于第三边17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于18018、推论 1 直角三角形的两个锐角互余19、推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23、角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论

11、AAS有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理 HL有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角）31、推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合33、推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于6

12、034、等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35、推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中,假如一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39、定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40、逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合42、定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理2 假如两个图形关于某直线对称

13、,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理 3 两个图形关于某直线对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45、逆定理 假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理 直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方,即 a2+b2=c247、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形48、定理 四边形的内角和等于36049、四边形的外角和等于36050、多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（ n-2） 18051、推论 任意多边的外角和等于36052、平行四边形性

14、质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2矩形的对角线相等62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形

15、性质定理1菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积 =对角线乘积的一半,即S=（ a b） 267、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理70、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等2 正方形的两条对角线相等,并且相互垂直平分,每条对角线平分一组对角71、定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73、逆定理 假如两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,

16、那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80、推论 2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L= （ a+b） 2S=L h 83、1

17、 比例的基本性质：假如a:b=c:d,那么 ad=bc假如 ad=bc ,那么 a:b=c:d84、2 合比性质：假如 a b=c d,那么 a b b=c d d85、3 等比性质：假如 a b=c d=m nb+d+ +n 0,那么 a+c+ +m b+d+ +n=a b86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例88、定理假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89、平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角

18、形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像91、相像三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相像（ASA ）92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像93、判定定理 2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像（SAS）94、判定定理 3三边对应成比例,两三角形相像（SSS）95、定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像96、性质定理1相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比97、性质定理2相像三角形周

19、长的比等于相像比98、性质定理3相像三角形面积的比等于相像比的平方99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分

20、线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理 不在同始终线上的三点确定一个圆；110、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111、推论 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112、推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114、定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115、推论 在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧

21、、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116、定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117、推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118、推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径119、推论 3假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120、定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121、直线 L 和 O 相交d r直线 L 和 O 相切d=r直线 L 和 O 相离d r122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

22、123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125、推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127、圆的外切四边形的两组对边的和相等128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129、推论 假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130、相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131、推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,

23、切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133、推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134、假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上135、两圆外离d R+r两圆外切d=R+r 两圆相交R-r d R+rR r两圆内切d=R-rR r两圆内含d R-rR r136、定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137、定理 把圆分成 nn 3:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139、正 n

24、边形的每个内角都等于（n-2） 180 n140、定理 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141、正 n 边形的面积 Sn=pnrn 2p 表示正 n 边形的周长142、正三角形面积 3a 4a 表示边长143、假如在一个顶点四周有k 个正 n 边形的角, 由于这些角的和应为360,因此 k n-2180 n=360 化为（ n-2） k-2=4144、弧长运算公式： L=n 兀 R 180145、扇形面积公式： S 扇形 =n 兀 R2 360=LR 2146、内公切线长 = d-R-r外公切线长 = d-R+r三、常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分

25、解a2-b2=a+ba-b a3+b3=a+ba2-ab+b2a3-b3=a-ba2+ab+b2三角不等式|a+b| |a|+|b|a-b| |a|+|b|a| b-b a b|a-b| |a|-|b| -|a|a |a|一元二次方程的解-b+ b2-4ac/2a-b- b2-4ac/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a注：韦达定理 判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根,有共轭复数根某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+ +n=nn+1/2 1+3+5+7+9+11+13+15

26、+ +-12n=n22+4+6+8+10+12+14+ +2n=nn+1 12+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=nn+12n+1/613+23+33+43+53+63+ n3=n2n+12/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +nn+1=nn+1n+2/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆中常见的帮助线的作法1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径；作用：

27、利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,依据勾股定理求有关量；2. 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角；作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形；3. 遇到 90 度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点；作用：利用圆周角的性质,可得到直径；4遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,仍可连结圆周上一点和弦的两个端点；作用：可得等腰三角形；据圆周角的性质可得相等的圆周角；5. 遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OAAB,得到直角或直角三角形；（2）常常添加连

28、结圆上一点和切点作用：可构成弦切角,从而利用弦切角定理；6. 遇到证明某始终线是圆的切线时（1）如直线和圆的公共点仍未确定,就常过圆心作直线的垂线段；作用：如 OA=r ,就 l 为切线；（2）如直线过圆上的某一点,就连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证 OAl,就 l 为切线；（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线7. 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点；作用：据切线长及其它性质,可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相像三角形；8. 遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段；作用：利用内心的性质,可得： 内

29、心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等；9遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等；10遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题） 常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线；作用：利用切线的性质；利用解直角三角形的有关学问；11遇到两圆相交时常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等；作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关学问；利用圆内接四边形的性质；利用两圆公共的圆周的性质； 垂径定理；12. 遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线；作用：利用连心线性质；切线性质等；13. 遇到三个圆两两外切经常常作每两个圆的连心线；作用：可利用连心线性质；14. 遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加帮助圆；作用：以便利用圆的性质；