2022年新课标高考高中数学基础知识归纳.docx

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1、新课标高考高中数学基础学问归纳第一部分集合1. 懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？2 . 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具, 将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决3. 1元素与集合的关系：xAxCU A,xCU AxA .（ 2）德摩根公式：CU ABCU ACU B;CU ABCU ACU B .（ 3） ABAABBABCU BCU AACU BCU ABR留意：争论的时候不要遗忘了A的情形 .（ 4）集合 a1, a2, an 的

2、子集个数共有 2n个；真子集有2n 1 个；非空子集有 2n 1 个；非空真子集有 2n 2 个.4. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.其次部分函数与导数1. 映射： 留意:第一个集合中的元素必需有象；一对一或多对一.2. 函数值域的求法： 分析法 ；配方法 ；判别式法；利用函数单调性；换元法 ；aba 2b 2利用均值不等式ab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、2肯定值的意义等） ；利用函数有界性（3. 复合函数的有关问题:（ 1）复合函数定义域求法：2a x 、 sin x 、cosx等）；平方法；导数法 如 fx的定义域为 a, b , 就复合函数 fgx的定义域由不等式

3、a gx b解出 如 fgx的定义域为 a,b,求 fx的定义域,相当于xa,b时,求 gx 的值域 .（ 2）复合函数单调性的判定：第一将原函数 yf g x 分解为基本函数：内函数ug x 与外函数 yf u分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性依据“同性就增,异性就减”来判定原函数在其定义域内的单调性. 4分段函数： 值域（最值） 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；5. 函数的奇偶性 :函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 f x 是奇函数f xf x ；f x 是偶函数f xf x .奇函数f x 在 0 处有定义,就f 00在关于原点对称的单调区间内：奇函数

4、有相同的单调性,偶函数有相反的单调性如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性6. 函数的单调性 :单调性的定义： f x 在区间 M上是增函数x1, x2M , 当x1x2 时有f x1f x2 ； f x 在区间 M上是减函数x1, x2M , 当x1x2 时有f x1f x2 ；45单调性的判定： 定义法： 一般要将式子f x1 f x2 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法；7. 函数的周期性：1 周期性的定义：对定义域内的任意x,如有f xT f x（其中 T 为非零常数） ,就称函数

5、f x 为周期函数, T 为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期；（ 2）三角函数的周期：ysinx : T2； ycos x : T2； ytan x : T； yAsinx, yA cosx : T2； y|tanx : T|(3) 与周期有关的结论：f xaf xa 或f x2af x a0f x 的周期为 2a8. 基本初等函数的图像与性质：. 指数函数： yax a0, a1 ；对数函数 : ylog ax a0, a1 ；幂函数： yx（R ；正弦函数 :ysinx；余弦函数：ycos x；（ 6）正切函数：ytan x；一

6、元二次函数：ax 2bxc0 （ a 0）；其它常用函数： 正比例函数： ykxk0 ；反比例函数：yk k x0 ；函数yxa a0 xm. 分数指数幂： a nm n am ； a n1m （以上 aa n0, m, nN ,且 n1 ） . abNlog a Nb ； log a MNlog a Mlog a N ；M log aNlog a Mlog a Nn； log a m bn logb .ma. 对数的换底公式 :9. 二次函数：log a Nlog m N log m a. 对数恒等式 :a loga NN .解析式：一般式：f xax2bxc；顶点式：f xa xh 2k

7、, h, k 为顶点；零点式：f xa xx1 xx2（ a 0）.二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；bb4acb2二次函数 yax2bxc 的图象的对称轴方程是x,顶点坐标是2a,；2a4a10. 函数图象：图象作法 ：描点法 （特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换： 平移变换： yf xyf xa , a0 左“ +”右“”；yf xyf xk , k0 上“ +”下“”； 对称变换： yf x 0,0 yf x ； yf xy 0yf x ； yf xx 0yf x ； yf xy xxf y ； 翻折变换：yf xy

8、f |x | （去左翻右） y 轴右不动,右向左翻（f x 在 y 左侧图象去掉） ；yf xy| f x|（留上翻下） x 轴上不动,下向上翻（|f x | 在 x下面无图象） ；11. 函数图象（曲线）对称性的证明：(1) 证明函数 yf x 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（ 2）证明函数 yf x 与 yg x图象的对称性, 即证明 yf x 图象上任意点关于对称中心 （对称轴）的对称点在yg x 的图象上,反之亦然；注* ：曲线 C1:fx,y=0关于原点（ 0,0 ）的对称曲线 C2 方程为： f x, y=0;曲线 C1:fx,y=0关于

9、直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为： f x, y=0; 曲线 C1:fx,y=0关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为： fx, y=0; 曲线 C1:fx,y=0关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为： fy, x=0 fa+x=fbx（xR）y=fx图像关于直线x=ab 对称； 2特殊地： fa+x=fax（xR）y=fx图像关于直线x=a 对称. yf x 的图象关于点 a, b 对称f axf ax2b .特殊地：yf x 的图象关于点a,0 对称f axf ax .函数yf xa 与函数yf ax 的图象关于直线 xa对称 ;函数 yf ax 与函数yf ax 的图象关

10、于直线 x0 对称；12. 函数零点的求法：直接法（求f x0 的根）；图象法；二分法.(4) 零点定理：如 y=fx在a,b上满意 fa fb07. 圆的方程的求法： 待定系数法；几何法；8. 点、直线与圆的位置关系： （主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离） dR点在圆上；dR点在圆内； dR点在圆外；直线与圆的位置关系： （ d 表示圆心到直线的距离） dR相切； dR相交； dR相离；圆与圆的位置关系： （ d 表示圆心距,R, r表示两圆半径,且 Rr ） dRr相离； dRr外切； RrdRr相交； dRr内切； 0dRr内含；9. 直线与圆相交所得弦长|

11、 AB |2r 2d 2第六部分圆锥曲线1. 定义： 椭圆：| MF1 | MF2 |2a,2a| F1F2| ；双曲线：| MF1 | MF 2 |2a, 2a| F1F2| ； 抛物线： |MF|=d2. 结论： 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 如弦端点为 A x1, y1, B x2 , y2 , 就2AB xx 2 yy , 或 ABxx1k 2 ,或 AByy11 .121212122k2b 2注：抛物线：AB x 1+x2 +p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线：；）抛物线： 2p.a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny21 （ m, n 同时大于 0 时表示椭圆；mn0

12、 时表示双曲线） ；当点 P 与椭圆短轴顶点重合时F1 PF2 最大；双曲线中的结论：x 2y 2x 2y 2双曲线1（ a0,b0 ）的渐近线：0 ；a 2b 2ba 2b2x 2y 2共渐进线 yx 的双曲线标准方程可设为为参数, 0 ）；aa 2b 2双曲线为等轴双曲线e2渐近线相互垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解；3. 直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“x ”仍是关于“ y ”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法 -代点作差法） ： -处理弦

13、中点问题y1y2步骤如下：设点Ax 1, y 1 、 Bx 2,y 2 ；作差得kAB；解决问题；x1x24. 求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（ 2）直接法（列等式） ；（ 3）代入法（又称相关点法或坐标转移法） ；待定系数法； （ 5）消参法；（ 6）交轨法；（ 7）几何法；第七部分平面对量1. 平面上两点间的距离公式: d xx 2 yy2 ,其中 A x , y , B x , y .A,B212111222. 向量的平行与垂直：设 a = x1, y1 , b = x2 , y2 ,且 b0 ,就： a bb = ax1 y2x2 y10 ； ab a0 a

14、b =03. ab=| a| b|cos=x 1 x 2+y1y 2；x1x2y1y20 .注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影； | b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab的几何意义： ab等于| a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积；a b4. cos=；| a | b |5. 三点共线的充要条件： P, A,B 三点共线OPxOAyOB且xy1；第八部分数列1. 定义：1等差数列nanan 1and d为常数 , nN ）anan 1dn22anan 1an 1 n2, nN*anknbSAn2Bn等比数列an an 1anqq02anan-1

15、an 1 n2, nN 2. 等差、等比数列性质：等差数列等比数列通项公式ana1n1 daa qn 11n1.q1时, Snna1;前 n 项和 Snna12an na1nn21 d2.qa111时, Sn anqqa1 11q n q性质an=am+ n md,an=amqn-m;m+n=p+q时 am+an=ap+aqm+n=p+q时 aman=apaq Sk , S2 kSk , S3kS2 k ,成 AP Sk , S2kSk , S3kS2k ,成 GP ak, akm , ak2 m ,成 AP, d md ak, akm , ak2 m ,成 GP, qqm3. 常见数列通项的

16、求法：定义法（利用 AP,GP的定义）；累加法（an 1ancn 型）；公式法：an=S1n=1Sn Sn-1n2累乘法（an 1ancn 型）；待定系数法（an 1kanb 型）转化为an 1xkanx（ 6）间接法（例如：an 1an4anan 111anan 14 ）；（ 7）（理科） 数学归纳法；4. 前 n 项和的求法： 分组求和法；错位相减法；裂项法；5. 等差数列前 n 项和最值的求法： Sn 最大值an an 10或Sn 最小值0an0an 10；利用二次函数的图象与性质；第九部分不等式1. 均值不等式：abab 2a2b22 a,b0aba 2b 2留意：一正二定三相等；变形

17、：ab22a, b2R ；2. 极值定理： 已知x, y 都是正数,就有：(1) 假如积 xy 是定值 p ,那么当 xy 时和 xy有最小值 2p ；(2) 假如和 xy 是定值 s ,那么当 xy 时积 xy 有最大值1 s2 .43. 解一元二次不等式ax2bxc0或0 : 如 a0 , 就对于解集不是全集或空集时, 对应的解集为“大两边,小中间” . 如 : 当x1x2 ,xx1xx20x1xx2 ；xx1xx20xx2或xx1.4. 含有肯定值的不等式：当 a0 时,有： xax2a 2axa ；22 xaxaxa 或 xa .5*. 分式不等式：fx（ 1）0g x（ 3） fx0

18、f xg xf xg xfx0 ；（2）0g x0f x；（4）0fxg x0 ；f xg x0.g xg x0g xg x06*. 指数不等式与对数不等式f x0(1) 当 a1 时,a f xag x f xgx ； log af xlog a g xg x0.f xg x(2) 当 0a 1 时,a f xag x f xg x ； log af xlog ag xf x0g x0f xg x3不等式的性质： abb a ； ab,bcac ； abacbc ； ab,cdacbd ； ab,c0acbd ； ab,c0acbc ； ab0, cd0acbd ; ab0anbn0nN ;

19、 ab0n anbnN 1. 概念：第十部分复数2z=a+bi Rb=0 a,b Rz= zz 0 ； z=a+bi是虚数b 0a,b R；2z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b 0a,b Rz z 0（z 0 ）za+bi=c+dia=c 且 c=da,b,c,dR；0；2. 复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di a,b,c,dR,就：（ 1） z1 z 2 = a + b c + di； z1.z 2 = a+bic+di （ ac-bd ）+ ad+bci；z1a=z2 cbi cdi cdi di acbdc 2d 2bcad ic2d 2z 2

20、 0 ;223. 几个重要的结论：21 z1z22z1z222 z122z2; 2z zzz； 1i2i ； 1i1ii ; 1ii ;1i i 性质： T=4； i 4n1, i 4 n 1i , i 4n 21, i 4 n 3i ； i 4 n4n 14n 34* 模的性质： | z1 z2 | z1| z2|；| z1 | z2| z1| z2| ； | zn| | z |n ；5. 实系数一元二次方程ax2bxc0 的解：如b24ac0 , 就 x1,2bb22a4ac; 如b 24ac0 , 就bx1x2;2 a如b24ac0 ,它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数bb2根 x2a4acib24ac0 .第十一部分概率1. 大事的关系：大事 B 包含大事 A：大事 A 发生,大事 B 肯定发生,记作 AB ；大事 A 与大事 B 相等：如 AB, BA ,就大事 A 与 B 相等,记作 A=B；