2022年二元一次方程与一次函数.pdf

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1、课时课题 :第七章第六节 二元一次方程与一次函数第一课时授 课 人课型：新授课教学目标：1. 知识目标初步理解二元一次方程和一次函数的关系；掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；掌握二元一次方程组的图像解法。 2.能力目标教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；通过“做一做”引入例1，进一步发展学生数形结合的意识和能力。 3.情感目标在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中和体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.。在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力

2、。教学重点 : 二元一次方程和一次函数的关系；二元一次方程组的图像解法。教学难点：数形结合和数学转化的思想意识。教法及学法指导：本节课用启发引导教学方法与自主探索相结合的学习方法。本节课的教学对象是八年级学生, 他们的参与意识较强, 思维活跃 , 对研究方程和函数问题已掌握了一定的方法, 但对于揭示方程与函数间的相互关系，不同数学知识间互相转化的数学思想和方法能力尚显不足, 为此，我力求以下三个方面对学生进行引导: (1) 从创设问题情景入手,通过知识再现 , 孕育教学过程；(2) 从学生活动出发, 通过以旧带新 ,顺势教学过程；(3) 借助探索 , 通过思维深入 , 领悟教学过程。课前准备：

3、教具：多媒体课件、三角板课本学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸教学过程：第一环节：情境引入师：同学们认识笛卡尔吗?听说过 “笛卡尔和蜘蛛的故事”吗？笛卡尔是十七世纪法国数学精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 家。有一次，他生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标

4、系，直角坐标系的创建， 在代数和几何上架起了一座桥梁。在直角坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系。笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图像来研究方程。这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系。（板书课题： 7.6 二元一次方程与一次函数）设计意图： 通过“笛卡尔和蜘蛛的故事”引入新课，使学生知道直角坐标系的由来，也使学生了解直角坐标系的作用- 联系几何图形 （形）和方程（数） 。所以我们可以把图形化成方程来研究， 也可以用图像来研究方程，由此自然引出本节课题。同时，故事容易激发学生的兴趣，增强对知识的探索愿望，从而很快进入学习状

5、态。第二环节：回顾复习师： 同学们回顾下列问题： （课件展示）1什么叫二元一次方程的解？2一次函数的图像是什么？35xy是什么？生 1：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫二元一次方程的一个解。生 2：一次函数的图像是一条直线。生：5xy是：二元一次方程一次函数这是怎么回事？蜘蛛的故事笛卡尔精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 师： 前两题回答的很好！第三题为什么会出现争议呢？生： 方程5xy可以转化为xy5，所以它既是二元一次方程

6、又是一次函数。师： 由此我们可以得到：任意一个二元一次方程都可以转化成ykxb的形式 , 所以每个二元一次方程都对应一个一次函数。设计意图： 通过对二元一次方程的解、一次函数的图像的复习回顾，进一步加深学生对旧知识的理解，通过“5xy是什么”的讨论，总结出二元一次方程和一次函数之间的关系，为本课的教学做铺垫。第三环节：探索新知、二元一次方程和一次函数的图像关系的探究做一做师: （多媒体展示）1方程5xy有多少个解？0,5;xy5,0;xy2,3xy是这个方程的解吗？2点（ 0，5） ， （5，0） ， （ 2，3）在一次函数y5x的图像上吗？3在一次函数xy5的图像上任取一点，它的坐标适合方程

7、5xy吗？4以方程的5xy解为坐标的所有点组成的图像与一次函数xy5的图像相同吗？（1 分钟后找学生回答，同位之间可以互相讨论。）生 1：方程5xy的解有无数个解；三个都是这个方程的解。生 2：点（ 0，5） ， （5，0） ， （2，3）在一次函数xy5的图像上。生 3：在一次函数xy5的图像上任取一点，它的坐标适合方程5xy。生 4：以方程5xy的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数5xy的图像相同。师: 根据这四个问题你能总结出二元一次方程和一次函数的图像有什么关系吗? 生：能！ 二元一次方程和一次函数的图像关系：、以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；、一次函数图像上的点的

8、坐标都适合相应的二元一次方程。设计意图： 通过设置问题情景，以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，让学生感受方程5xy和一次函数5xy相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系。进一步培养了学生数学转化的思想意识。、方程组的解与图像之间关系的探究做一做师: （多媒体展示）内容：1、解方程组521xyxy 2上述方程移项变形转化为两个一次函数5xy和12xy，在同一直角坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -

9、 内分别作出这两个函数的图像。 3方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？师：找两位同学在黑板上做T1、T2，其余同学在练习本上做。三分钟后，做完的同学仔细观察黑板上的解题过程、方法、步骤，如有不同或错误的地方，用不同颜色的粉笔改过来。生： 积极的解题 , 疑难问题小组间进行讨论交流。师： 巡视指导 , 及时点拨 ,三分钟后，引导学生观察解题过程。并用课件展示答案：1、解： +得：36x2x把2x代入得：3y所以方程组的解为：23xy2、解：列表x02xy55312xy13描点：以表中各组点的对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。连线：把这些点依次连接起来，得到xy5和12

10、xy的图像。（如图）师： 比较 T1、T2，你能回答出第三题吗？生： 能！方程组521xyxy的解是23xy，这两个函数xy5和12xy的图像的交点坐标为（ 2，3） ；反之，也成立。师：这位同学总结的很好！由此可以得到二元一次方程组的解和相应的两条直线的关系：方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解。因此 求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标

11、（即二元一次方程组的图像解法。 ）所以， 解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种。注意： 利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解， 一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组。相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解。设计意图： 通过学生自主探索，十分自然地建立了数形结合的意识，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力，为求两条直线的交点坐标打下基础。、典型例题师:

12、 （多媒体展示）例 1 用作图像的方法解方程组2222xyxy根就刚才的探究，尝试完成例1。生: 积极主动的解题。师: 巡视学生解题情况，等学生做完后展示答案，以规范解题步骤和格式。解：由22yx可得12xy，同理，由22yx可得22xy，在同坐标系中作出一次函数12xy的图像和22xy的图像，观察图像，得两直线交于点（2，2） ，所以方程组2222yxyx的解是22xy师: 从中你能悟出些什么？生:图像法解方程组的步骤有：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - -

13、 - - - - - - 将方程组中各方程化为ykxb的形式；在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点；由交点坐标得出方程组的解。设计意图： 设计例 1 进一步揭示 “数”的问题可以转化成“形”来处理， 但所求解为近似解。这个例题充分展示了方程与函数的相互转化数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫。、方程组的解的个数与一次函数图像交点个数之间关系探究师: （多媒体展示）1、有一组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5 吗？2、一次函数y=2x，y=5x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？（1 分钟后找学生口答，有疑难的地方小组间可以讨论。）生 1：没有一

14、组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5 。生 2：一次函数y=2x，y=5x 的图像是两条平行的直线。生 3 从中我们可以得到：方程组的解的个数与一次函数图像交点个数之间关系：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）。设计意图： 本环节让学生从“数”的方面看出没有一组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5；从“形”的方面发现一次函数y=2x，y=5x 的图像是两条平行的直线。从而，进一步体会二元一次方程和一次函数的图像关系、方程组的解与函数图像交点之间的关系，进一步发展学生

15、的数形结合意识和能力。第四环节：反馈练习师: （多媒体展示）1、已知一次函数24xy有解。以它的解为坐标的点都在函数的图像上。2、已知一次函数5kxy与bxy3的图像的交点为)3,2(p,_,bk。3、请用图像法说明方程组35xyxy无解。4、利用图像法解方程组124xyyx生： 积极主动的解题。师： 检查学生的做题情况。设计意图： 四个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况。以便查缺补漏。同时也加深了学生对两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性。第五环节：课堂小结师： 通过

16、本节课的学习，你学到了什么知识？有哪些收获？生 1：二元一次方程和一次函数的图像的关系：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。生 2：方程组的解和对应的两条直线的关系：方程组的解是对应的两条直线的交点坐标； 两条直线的交点坐标是对应的方程组的解。生 3：图像法解方程组的步骤有：将方程组中各方程化为ykxb的形式；画出各个一次函数的图像；由

17、交点坐标得出方程组的解。师： 要强调的是由于作图的误差性，由图像法求得的解是近似解。生 4：方程组的解的个数与一次函数图像交点个数之间关系：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）。师： 同学们总结的非常好！这些就是这节课大家要理解和掌握的内容。设计意图： 设计本环节，旨在充分展示知识的发生、发展及应用过程，使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用。第六环节：达标检测师： 请同学们独立完成下面的达标检测题。（给学生下发达标

18、检测题）1、 已知3x，2y和0 x，1y是二元一次方程03byax的两个解，则一次函数baxy的解析式为（）A.、32xyB、xyC.、3xyD、33xy2、已知函数axy2与bxy的图像都经过点 A（2，0），且与y轴交于 B、C、两点，则ABCs的面积为（）A、4 B、5 C、6 D、73、（2012 年陕西省）在同一直角坐标系中，若一次函数3yx与35yx的图像交于点 M，则点 M 的坐标为。4、（ 2012 年南京市）用图像法解方程组31328xyxy师： （观察学生做完后，出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况）请同学们根据答案进行纠错。设计意图： 在当堂检测中适当选取一些近年

19、来学业水平考试中的相关题目：1、可以打破中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 考在学生心目中的神秘感，激发学生学习兴趣；2、学生解决这些中考题目后所产生的成就感，也会增强他们学好数学自信心。第七环节：布置作业本节助学设计意图： 进一步巩固本课所学的知识，同时也了解学生对本课知识的掌握情况。以便为下一节课的教学做准备。第八环节：板书设计 7.6 二元一次方程与一次函数（1）一、二元一次方程和一次函数的图像关系：二、二元一次方程组的解和相

20、应的两条直线的关系：三、图像法解方程组的步骤有：例 1：解四、 方程组的解的个数与一次函数图像交点个数之间关系：学生展示教学反思本节课学生已有了解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理解二元一次方程和一次函数之间的内在联系，体会“数”和“形” 间的相互转化， 从而使学生进一步感受到“数”的问题可以通过 “形”来解决， “形”的问题也可以通过“数”来解决。通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，揭示了二元一次方程和一次函数的图像关系和二元一次方程组的解和相应的两条直线的关系，从而引出了二元一次方程组的图像解法，教学过程中教师一定要讲清楚图像解法的局限性，这是由于画图的误差性，所求的方程组的解才往往是近似解。因此为了准确地解决有关图像问题常常把它转化为代数问题来处理。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -