2022年新北师大版-八级数学上册-第四章一次函数知识点总结和典型例题分析2.docx

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1、新北师大版 八年级数学上册第四章一次函数一、函数1、函数的概念（重点）一般的,假如在一个变化过程中有两个变量x 和 y ,并且对于变量 x 的每一个值,变量y 都有一个唯独的值与它对应,那么我们就称y 是 x 的函数,其中x 是自变量, y 是因变量；懂得函数的关键四点：（1）有两个变量； （ 2）一个变量变化,另一个随之变化；（ 3）对于自变量x 每一个确定的值,函数y 有且仅有一个值与之对应； （ 4）函数不是数,是过程中x 、 y 的变量关系；2、函数的三种表示方法（难点）（1） 列表法（2） 关系式法（3） 图像法3、函数的值及自变量的取值范畴（重点）（1） 对于自变量在取值范畴内的一

2、个确定的值a ,函数有唯独确定的对应值,称为自变量等于a 时的函数值；（2） 使得函数有意义的自变量的全体取值,叫做自变量的取值范畴；确定自变量取值范畴两点：一是必需使含有自变量的代数式有意义,二是必需满意实际问题的意义；二、一次函数与正比例函数1、一次函数的概念（重点）如两个变量 x 、 y 间的对应关系可以表示成ykxb （ k 、 b 为常数, k0 ）的形式,就成 y 是 x 的一次函数；2、正比例函数的概念（重点）对于一次函数 ykxb （ k0 ）,当 b0 时,变为 ykx ,这是把 y 叫做 x 的正比例函数；3、依据条件列一次函数的关系式（难点）仔细分析,探究实际问题中的有关

3、信息,再次基础上建立数学模型,从而解决问题；步骤：（1） 仔细分析,懂得题意；（2） 找出等量关系；（3） 写出一次函数关系式；（4） 确定自变量的取值范畴,实际问题实际分析；三、一次函数的图像1、函数的图像（重点）把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,全部这些点组成的图形就叫做函数的图象；注：一次函数的图像是一条直线,所以只需描出两个点即可画出图象；2、正比例函数ykx, k0 的图像和性质（重点）（1） 正比例函数ykx, k0 的图像是经过 0,0 、 1,k 两点的直线；（2） 当 k0时,图象经过一三象限,且y 随 x 的增大

4、而增大；当 k0 时,图象经过二四象限,且y 随 x的增大而减小；3、一次函数图象的特点及性质（重点）k 的符号b 的符号函数图像图像特点图像经过一、二、三象限,y 随 xb0的增大而增大；k0图像经过一、三、四象限,y 随 xb0的增大而减小K0图像经过二、三、四象限,y 随 xb0的增大而减小；注：当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例；特点：一次函数ykxb, k0 的图像是一条直线,因此作函数图象时,只需要确定两个点,即可连接两点做出函数图象,函数图象也成直线ykxb ；性质：（1） 图象经过 0, b 点；当 k0 时, y 随 x 增大而增大,当k0 时

5、, y 随 x 增大而减小；（2） 当 k0 ,b0 时,图象经过一二三象限；当 k0, b0 时,图象经过一三四象限； 当 k0 ,b0时,图象经过一二四象限；当k0 , b0 时,图象经过二三四象限；（3） 两条直线位置关系：当k 相等, b 不等时,两直线平行；当k 相等, b 相等时,两直线重合；当k 不等时,两直线相交；当k 不等, b 相等时,两直线相交于y 轴；四、一次函数的应用1、确定正比例函数的表达式（重点）正比例函数 ykx 只有一个待定系数 k ,只需要除原点 0,0 之外的任意一点的坐标,即可求出 k 值,进而求出函数表达式；注：一次函数的图像是一条直线,所以只需描出两

6、个点即可画出图象；2、用待定系数法确定一次函数的表达式（难点）一次函数ykxb, k0 有两个待定系数 k 和 b ,所以只需求出二者的值,即可求出函数表达式；待定系数法：第一设函数ykxb；其次将两个已知点的坐标带人表达式,列出k 、 b 的方程；最终求解方程；3、一次函数与一元一次方程的关系（重难点）（1） 从“数”的方面看：一次函数ykxb 函数值为某一数值时,自变量x 的值即为方程的解；（2） 从“形”的方面看：函数与x 轴的交点的横坐标即为方程kxb0 的解；4、利用图象信息解决实际问题（重难点） 两方面分析图象：（1） 依据函数图象可判定函数类型,留意特别的点（2） 从 x 轴、

7、y 轴的实际意义去懂得函数图象上的点的坐标的实际意义类型一：正比例函数与一次函数定义1m2 8、当 m 为何值时,函数 ym3x m4 是一次函数？举一反三：【变式 1】假如函数m 3yxm2 是正比例函数,那么（）.A m=4 或 m=2B m=4C m=1D m=2【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时, y=7. （ 1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （ 2）当 x=4 时, 求 y 的值；（ 3）当 y=4 时,求 x 的值类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（ 2, -1）,且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式举一反三：【变式 1】已知

8、弹簧的长度y（ cm）在肯定的弹性限度内是所挂重物的质量x（ kg）的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂 4kg 的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式【变式 2】已知直线 y=2x+1 （1） 求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标；（2） 如直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称,求 k, b 的值【变式 3】判定三点 A （ 3, 1）, B（ 0, -2）,C（ 4, 2）是否在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某始终线上的行驶过程中,汽车离动身地的距离skm和行驶时间 th 之间的函数关系,依据

9、图中供应的信息,回答以下问题：(1) 汽车共行驶了km；(2) 汽车在行驶途中停留了 h；(3) 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km/h ；(4) 汽车自动身后 3h 至 4.5h 之间行驶的方向是 .举一反三：【变式 1】图中,射线 l 甲、l 乙分别表示甲、 乙两运动员在自行车竞赛中所走的路程s 与时间 t 的函数关系, 求它们行进的速度关系；【变式 2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A ,再走下坡路到达点B,最终走平路到达学校,所用的时间与路程的关系如下列图；放学后,假如他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一样,那么他从学校到家需要的时间是（）

10、A.14 分钟B.17 分钟C.18 分钟D.20 分钟【变式 3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经受了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间 x（分钟）之间的关系如下列图：依据图象解答以下问题：（1） 洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2） 已知洗衣机的排水速度为每分钟19 升.求排水时 y 与 x 之间的关系式；假如排水时间为2 分钟, 求排水终止时洗衣机中剩下的水量.类型四：一次函数的性质4、己知一次函数 y=kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A（一 6, 0）,交 y 轴于点 B,且 AOB 的面积为 12,y 随

11、 x的增大而增大,求k, b 的值举一反三：【变式 1】已知关于 x 的一次函数 y3m x2m218 （1） m 为何值时,函数的图象经过原点？（2） m 为何值时,函数的图象经过点（0, 2）？（3） m 为何值时,函数的图象和直线y=x 平行？（4） m 为何值时, y 随 x 的增大而减小？【变式 2】函数 ykxk 在直角坐标系中的图象可能是（）类型五：一次函数综合5、已知：如图,平面直角坐标系中,A （ 1,0）,B（ 0, 1）, C（ -1,0）,过点 C 的直线绕 C 旋转,交 y 轴于点 D ,交线段 AB 于点 E；（1） 求 OAB 的度数及直线AB 的解析式；（2）

12、如 OCD 与 BDE 的面积相等,求直线 CE 的解析式；如 y 轴上的一点 P 满意 APE=45 , 请直接写出点 P 的坐标；举一反三：【变式 1】在长方形 ABCD 中, AB=3cm , BC=4cm ,点 P 沿边按 A B C D 的方向向点 D 运动（但不与A ,D 两点重合） ；求 APD 的面积 y（cm2 ）与点 P 所行的路程 x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范畴；【变式 2】如图, 直线ykx6 与 x 轴 y 轴分别交于点 E、F,点 E 的坐标为 （ -8,0）,点 A 的坐标为 （ -6,0）；（1） 求 k 的值；（2） 如点 P（ x,y）是其次象限内的直线上的一个动点,在点P 的运动过程中,试写出OPA 的面积 S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范畴；（3） 探究：在（ 2）的条件下,当点P 运动到什么位置时,OPA 的面积为 27/8,并说明理由；