2022年动点问题总结.docx

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1、动点问题及练习题一概念 ：“动点型问题 ”是指题设图形中存在一个或多个动点二 关键 :动中求静 .数学思想： 分类 函数 方程数形结合 转化三、 类型：专题一：建立动点问题的函数解析式1、应用勾股定理建立函数解析式；2、应用比例式建立函数解析式；3、应用求图形面积的方法建立函数关系式；专题二：函数中因动点产生的相像三角形问题1. 相像三角形的证明2. 相像三角形的性质例题 2.正方形 ABCD 边长为 4, M 、 N 分别是 BC 、 CD 上的两个动点, 当M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直,（1） ）证明： Rt ABM Rt MCN ；（2） ）设BMx ,梯形 AB

2、CN 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式； 当M 点运动到什么位置时, 四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积；（3） ）当 M 点运动到什么位置时 Rt ABM Rt AMN,求此时 x 的值A DNB MC专题三：以圆为载体的动点问题例题 3：如图, 已知直角梯形 ABCD中,ADBC, A=90o,C=60o, AD=3cm,BC=9cm O1的圆心 O1从点 A 开头沿 AD C折线以 1cm/s的速度向点 C 运动, O2的圆心 O2从点 B开头沿 BA边以 cm/s 的速度向点 A 运动,假如 O1 半径为 2cm, O2的半径为 4cm,如 O1、O2分别从点

3、A、点 B 同时动身,运动的时间为 ts恳求出 O2与腰 CD相切时 t 的值；练习题1. 如图,在平行四边形ABCD中, AD=4cm, A=60, BDAD. 一动点 P 从 A 动身,以每秒 1 cm 的速度沿 A BC的路线匀速运动, 过点 P 作直线 PM,使 PM AD .(1) 当点 P 运动 2 秒时,设直线 PM与 AD相交于点 E,求 APE的面积；(2) 当点 P运动 2 秒时,另一动点 Q也从 A动身沿 ABC 的路线运动,且在 AB上以每秒 1 cm的速度匀速运动,在BC上以每秒 2 cm的速度匀速运动 .过 Q作直线 QN,使 QNPM. 设点 Q运动的时间为 t秒

4、0 t 10 ,直线 PM与 QN截平行四边形 ABCD所得图形的面积为S cm2 . 求 S 关于 t 的函数关系式； 附加题求 S 的最大值；2. 如图,在梯形 ABCD 中,AD BC, AD3, DC5, AB42, B45 动点 M 从 B 点动身沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点动身沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（ 09 年济南中考）（ 1）求 BC 的长；（2） 当 MN AB 时,求 t 的值（3） 摸索究： t 为何值时,MNC为等腰三角形ADNBMC3. 如图,在 Rt AO

5、B中, AOB 90, OA 3cm,OB 4cm,以点 O为坐标原点建立坐标系,设 P、Q分别为 AB、OB边上的动点它们同时分别从点 A、O向 B 点匀速运动,速度均为 1cm/秒,设 P、Q移动时间为 t （0 t 4）（1） ）求 AB的长,过点 P 做 PMOA于 M,求出 P点的坐标（用 t 表示）2（2） ）求 OPQ面积 S（cm）,与运动时间 t （秒）之间的函数关系式,当 t 为何值时, S有最大值？最大是多少？（3） ）当 t 为何值时, OPQ为直角三角形？（4） ）如点 P运动速度不变,转变 Q 的运动速度,使 OPQ为正三角形,求 Q点运动的速度和此时 t 的值yA

6、MPOQBx4. .已知,如图,在直角梯形 COAB中, CBOA,以 O 为原点建立平面直角坐标系, A、B、C的坐标分别为 A（10,0）、B（ 4, 8）、C（0,8）,D为 OA的中点,动点 P 自 A 点动身沿 A BCO的路线移动,速度为每秒 1 个单位,移动时间记为 t 秒,（1） ）动点 P 在从 A 到 B 的移动过程中,设 APD的面积为 S,试写出S与 t 的函数关系式,指出自变量的取值范畴,并求出S的最大值（2） ）动点 P 从动身,几秒钟后线段 PD将梯形 COAB的面积分成 1：3两部分？求出此时 P 点的坐标5. 如图,平面直角坐标系中,四边形 OABC为矩形,

7、点 A、B 的坐标分别为 （3,0）,（3,4）；动点 M、N分别从 O、B 同时动身,以每秒 1 个单位的速度运动；其中,点 M沿 OA向终点 A 运动,点 N沿 BC向终点 C运动；过点 N作 NP AC,交 AC于 P,连结 MP；已知动点运动了 x 秒；（ 1）P 点的坐标为（,）；（用含 x的代数式表示）（2） ）试求 MPA面积的最大值,并求此时 x 的值；（3） ）请你探究：当 x 为何值时, MPA是一个等腰三角形？你发觉了几种情形？写出你的争论成果；6. 在三角形 ABC中, . 现有动点 P 从点 A 动身, 沿射线 AB向点 B 方向运动; 动点 Q从点 C动身, 沿射线

8、 CB也向点 B方向运动 . 假如点 P的速度是/ 秒, 点 Q的速度是 / 秒, 它们同时动身 , 求:1 几秒钟后 , PBQ的面积是 ABC的面积的一半 . 2 在第1 问的前提下 ,P,Q 两点之间的距离是多少 .7. 如图,已知直角坐标系内的梯形 AOBC（ O 为原点）,ACOB,OCBC,AC,OB 的长是关于 x 的方程 x2k+2x+5=0 的两个根,且 SAOC： SBOC=：1 5；（ 1）填空： 0C=, k=；（2） ）求经过 O, C, B 三点的抛物线的另 一个交点为 D,动点 P,Q分别从 O,D同时动身,都以每秒 1 个单位的速度运动,其中点 P沿 OB由 O

9、 B运动,点 Q沿 DC由 D C运动,过点 Q作 QMCD交 BC于点 M,连结 PM,设动点运动时间为 t 秒,请你探究：当 t 为何值时, PMB是直角三角形；例题 2. ,（ 3）QBAMN90,要使 ABM AMN,必需有 AMAB ,MNBM由（ 1）知 AMABMNMC, BMMC ,当点 M 运动到 BC 的中点时,ABM AMN,此时 x2 例题 4,.解：（ 1）当 B, E, F 三点共线时,两点同时停止运动,如图 2 所示由题意可知： ED=t , BC=8, FD= 2 t -4 , FC= 2 t EDBC, FED FBC FDED FCBC 2t4 2tt 解得

10、 t =4当 t =4 时,两点同时停止运动28（ 2） ED=t,CF=2t, S=S+ S= 1 8 4+ 12t t =16+ t BCE2即 S=16+ t （ 0 t 4）； BCF22（3） ）如 EF=EC时,就点 F只能在 CD的延长线上,2EF=2t4 2t 25t216t16 ,EC2=42t 2t 216 ,5t 216t16 =t 216 t =4 或 t= 0（舍去）；如 EC=FC时, EC2=4 2t 2t 216 ,FC2=4t 2, t216 =4t 2 t43 ；322如 EF=FC时, EF=2t42t 25t 216t16 ,FC2=4t 2, 5t 2

11、16t16 =4t t1=1683 （舍去）,t2=1683 当 t 的值为 4, 43 ,1683 时,以 E,F,C 三点为顶点的3三角形是等腰三角形；（4） ）在 Rt BCF和 Rt CED中, BCD= CDE=90, BCCF2 ,CDED Rt BCF Rt CED BFC=CED AD BC, BCE=CED如 BEC=BFC,就 BEC= BCE即 BE=BC BE2=t216t80 , t 216t80 =64 t 1=1683 （舍去）, t 2 =168 3 当 t =168 3 时, BEC=BFC1. 第（1）问比较简洁,就是一个静态问题当点P运动 2 秒时,AP=

12、2cm,由 A=60,知 AE=1, PE=. S APE=第（ 2）问就是一个动态问题了,题目要求面积与运动时间的函数关系式,这就需要我们依据题目,综合分析,分类争论.P点从 AB C一共用了 12 秒,走了 12 cm, Q 点从 A B 用了 8 秒, B C用了 2 秒,所以 t 的取值范畴是 0 t 10不变量： P、Q 点走过的总路程都是 12cm,P 点的速度不变,所以 AP始终为： t+2如当 8 t 10 时,点 Q所走的路程 AQ=1 8+2（ t 8）=2t-8 当 0t 6 时,点 P 与点 Q都在 AB上运动, 设 PM与 AD交于点 G,QN与 AD交于点 F,就

13、AQ=t, AF=, QF=,AP=t+2, AG=1+, PG=. 此时两平行线截平行四边形 ABCD是一个直角梯形, 其面积为（ PG + QF） AG2S=.当 6t 8 时,点 P 在 BC上运动,点 Q仍在 AB上运动 .设 PM与 DC交于点 G,QN与 AD交于点 F, 就 AQ=t, AF=, DF=4-（总量减部重量）, QF=,AP=t+2,BP=t-6 （总量减部重量）,CP=AC- AP=12（-t+2 ） =10-t （总量减部重量）,PG=,而 BD=,故此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.当 8t 10 时,点 P 和

14、点 Q都在 BC上运动 .设 PM与 DC交于点 G,QN与 DC交于点 F,就 AQ=2t-8,CQ= AC- AQ= 12-（2t-8 ） =20-2t ,（难点） QF=20-2t , CP=10-t,PG=. 此时两平行线截平行四边形 ABCD的面积为 S=. 附加题 当 0t 6 时, S的最大值为； 当 6t 8 时, S的最大值为；当 8t 10 时, S 的最大值为；所以当 t=8 时, S有最大值为 .2. 解：（ 1）如图,过 A、分别作于,于,就四边形是矩形在中,在中,由勾股定理得,ADADNKHCBGMB（图）C（图）（2）如图,过作交于点,就四边形是平行四边形 由题意

15、知,当、运动到秒时, 又 即解得,（ 3）分三种情形争论：当时,如图,即当时,如图,过作于 即ADADNNMHBCBEC M（图）（图）当时,如图,过作于点 . AD即 综上所述,当、或时,为等腰三角形B3. （1）由题意知： BD=5, BQ=t,QC=4-t, DP=t,BP=5-t（图）NFH MCPQ BC BPQ BDC BPBDBQ 即 5ttBC54 t209当t20 时, PQ BC（ 2）过点 P 作 PM BC,垂足为 M9 BPM BDC5tPM53PM3 5t5S1 t3 5t =3 t515当 t5 时, S有最大值 15 25102828（ 3）当 BP=BQ时, 5tt , t5 2当 BQ=PQ时,作 QE BD,垂足为 E,此时, BE=1 BP5t22 BQE BDC BEBQBCBD5t即 2t45 t2513当 BP=PQ时,作 PF BC,垂足为 F,此时, BF=1 BQt22 BPF BDC BFBPBCBDt即 25t45 t4013 t140 , t25 , t325 ,均使 PBQ为等腰三角形13213