2022年方程和不等式总结与经典例题.docx

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1、学习好资料欢迎下载方程和不等式一、重点、难点提示：21. 一元二次方程的一般形式：ax +bx+c=0a 、b、c 是常数, a 0 ；在解一元二次方程,应按方程特点挑选方法,各方法依次为：（1）直接开平方法；（2）配方法；（ 3）公式法；（ 4）2因式分解法；一元二次方程的求根公式是：x=b -4ac 0 ；（留意符号问题）2. 解分式方程的基本思想是：将分式方程转化为整式方程,转化的方法有两种：（1）去分母法；（ 2）换元法；223. 一元二次方程 ax +bx+c=0a 0 的根的判别式 =b -4ac ；当 0 时,方程有两个不相等的实数根x1=,x 2=；当 =0 时,方程有两个相等

2、的实数根x 1=x2 =-；当 0 时,方程没有实数根；24. 如一元二次方程 ax +bx+c=0a 0 的两个实数根为x1 ,x 2, 就 x1+x2=-, x1x2=；（注2意两根的和是的相反数）；以x1,x 2 为根的一元二次方程是x -x 1+x2x+x 1 x2 =0；5. 不等式的解法：解一元一次不等式和解一元一次方程类似；不同的是： 一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时,不等号的方向必需转变；6. 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情形见下表：不等式组 a2x,得 x-2解不等式x-,得 x -1 ；所以不等式组的解集是-24x+2,得 x1；解不

3、等式, 得 x -2 ；所以不等式组的解集是：-2 x1；所以不等式组的整数解是：-2 , -1 , 0；例 3. 已知方程 m-2+m+2x+4=0 是关于 x 的一元二次方程；求m的值,并求此方程的两根；2分析：依据一元二次方程的定义,未知数x 的最高次数是 2,而且二次项的系数不能为0, 所以 m -2=2 ,且 m-2 0；于是可求 m的值 , 进而求得方程的解；2解：（ 1）依题意,得 m-2=2, 且 m-2 0； m= 2,且 m 2； m=-2；2（ 2）把 m=-2 代入原方程,整理得x-5=1 x-5= 1, x1=4, x 2=6；22例 4. 已知 x 是实数,且-x+

4、3x=2 ,那么 x +3x 的值为（）A、1B 、-3 或 1C、3D、 -1 或 322误会：设 x +3x=y,就原方程可变为-y=2,即 y +2y-3=0 ； y1=-3, y2=1；2 x +3x=-3 或 1；应选 B；22剖析：由于 x 为实数,所以要求x +3x=-3 和 x +3x=1 有实数解；222当 x +3x=-3 时,即是 x +3x+3=0 ,此时 =3 -4 1 30,方程有实数解,即2x 是实数,符合题设,故x +3x=1 ；正确答案：选 A；说明：此题由解分式方程衍变而来,大大增加了错误机会,解题时,如忽视“实数”这个题设条件,将求得的值不加检验直接写出,

5、就前功尽弃；例 5. 解以下方程：2（ 1）=1,（ 2） x +x-+1=0；2分析（ 1）宜用去分母法解；（2）宜用换元法,可设x +x=y ,将原方程变为 y-+1=0,先求出 y,再求出 x；解（ 1）原方程即为+-=1去分母,得 x-2+4x-2x+2=x+2x-2；2整理,得 x -3x+2=0 ； x 1=1, x2=2；经检验 x=1 是原方程的根,x=2 是增根, 原方程的根是 x=1；2（ 2）设 x +x=y, 就原方程可变为y-+1=0；2 y +y-6=0, y 1=-3, y2=222当 y=-3 时, x +x=-3, x+x+3=0,此方程无实数根,22当 y=

6、2 时, x +x=2, x+x-2=0, x1=-2, x2 =1；经检验 ,x 1=-2, x2 =1 都是原方程的根； 原方程的根是 x1 =-2, x2=1；例 6. 如方程组的解 x 与 y 相等,就 a 的值等于（）；A、4B、10C、 11D、12分析：先解方程组再将求得的解代入方程ax+a-1y=3中,便可求得 a 的值；解：解方程组,得把代入 ax+a-1y=3,得 a+a-1=3,解之,得 a=11； 应选 C；2例 7. 已知关于 x 的方程 k-2x-2k-1x+k+1=0,且 k 3； 1求证： 此方程总有实数根；(2) 当方程有两实数根,且两实数根的平方和等于4 时

7、, k 的值等于多少？分析：此题没有指明关于x 的方程的类型, 要分一元一次方程和一元二次方程两种情形争论；(1) 证明 当 k=2 ,方程为一元一次方程-2x+3=0 ,明显有实根；2当 k 2 时,方程为一元二次方程,且 =-2k-1-4k-2k+1=43-k, k 3,3-k 0； 即 0,此时一元二次方程有实数根；综合、知,原方程总有实数根；(2) 设方程的两实根为x1,x 2,就 x1 +x2=, x 1x2=；222由题设, x1 +x 2 =4,即x 1+x2 -2x 1x 2=4；2 -2 =4；2整理,得 k -5k+4=0, k 1=1, k 2=4； k 3, k=1 ；

8、例 8. 商场出售的 A型冰箱每台售价2190 元,每日耗电量为1 度,而 B 型节能冰箱每台售价虽比 A 型冰箱高出 10%,但每日耗电费却为0.55 度；现将 A 型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的）,问商场至少打几折,消费者购买才合算（按使用期为10 年,每年 365 天,每度电 0.40 元运算）？说明： 不等式应用题, 是近年来应用题的进展新动向,去年有多处地区中考题目中有不等式的应用题,它和方程应用题目一样,先仔细审题,并能利用所设的未知数表示各种关系；不同的就是关系不是相等,而要依据题目表述为相应的不等关系；此题的关键在于对“合算”一词的懂得,以及如何将 “合算”转化为数学

9、“式子” ；实际上 , 所谓合算是指两种冰箱十年后的总耗资小 , 对于此题目就是 A型冰箱十年的总耗资小于 B型冰箱；得到不等关系；解: 设商场将 A 型冰箱打 x 折出售,就消费者购买A 型冰箱需耗资2190 +365 10 1 0.4 元 ,购买 B 型冰箱需耗资21901+10%+365 10 0.55 0.4 元 ；依题意,得 2190+365 10 1 0.4 2190 1+10%+365 10 0.55 0.4 ；解不等式,得 x 8；因此,商场应将A 型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算；例 9. 某园林的门票每张 10 元,一次使用； 考虑到人们的不同需求, 也为了吸引更多的

10、游客, 该园林除保留原先的售票方法外,仍推出了一种“购买个人年票” 的售票方法 （个人年票从购买日起,可供持票者使用一年）；年票分 A、B、C、三类： A 类年票每张 120 元,持票者进入园林时,无需再用门票； B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 2 元； C 类年票每张 40 元,持票者进入该园林时,需要购买门票,每次 3 元；（1）假如你只挑选一种购买门票的方式, 并且你方案在一年中用 80 元花在该园林的门票上, 试通过运算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；（ 2）求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A 类年票比较合算；析解：本考题仍为“合算”

11、问题,只是形式略有不同,涉及到列不等式组解实际应用问题；（ 1）由于 8030 ；所以,一年中进入该园林至少超过30 次时,购买 A 类年票比较合算；例 10. 某工程由甲、乙两队合做6 天完成,厂家需付甲、乙两队共8700 元；乙、丙两队合作 10 天完成,厂家需付乙、丙两队共9500 元；甲、丙两队合做5 天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共5500 元；（ 1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）如工期要求不超过 15 天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由；分析：本例属工作量为1 的工程问题,要留意以下三个关系式：（1）工作效率工作时间=1；（

12、2）工作效率 =；（ 3）工作时间 =；这类问题的等量关系是：部分工作量之和 =1；解：（ 1）设甲队单独做x 天完成,乙队单独做y 天完成,丙队单独做z 天完成,就解之,得（ 2）设甲队做一天应对给a 元,乙队做一天应对b 元,丙队做一天应对给c 元,就有解方程组,得 10a=8000 元,15b=9750元 由甲队单独完成此工程花钱最少；答：（ 1）甲队单独做 10 天完成,乙队单独做15 天完成,丙队单独做30 天完成；（ 2）由甲队单独完成此项工程花钱最少；测试挑选题21如一元二次方程x +4x+k=0 有两个相等的实数根,就k 的值为（）；A 、4B 、5C 、8D 、62不解方程,

13、判定方程22x +3x-4=0 的根的情形是（）；A 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根B 、有两个不相等的实数根D 、没有实数根2223. 以下方程中有两个不相等的实数根的是（）；2A 、2x+4x+35=0B 、x+1=2xC 、x-1=-1D 、5x+4x=124. 一元二次方程x -2x+m=0 的两个实数根的条件是（）；A 、m1D 、 m 125. 如关于 x 的方程 2xmx-4=x-6 没有实数根,就m所取的最小整数是（）；A 、2B 、1C 、-1D 、不存在26. 已知方程 x +3x+m=0的两个根的差的平方是25,就 m的值（）；A 、4B 、-4C 、13D 、

14、87. 以 5 和-3 为根的一元二次方程是（）；2222A 、x -2x-15=0B 、x +2x-15=0C 、x +2x+15=0D 、 x -2x+15=028 以方程 x +2x-3=0 的两个根的和与积为两个根的一元二次方程是（）；2222A 、y +5y-6=0B 、y +5y+6=0C 、y -5y+6=0D 、y -5y-6=0参考答案答案： 1、A2、B3、D4 、D5、A6 、B7、A8、B解析：21. 分析：已知方程有两个相等的实数根,由一元二次方程根的判别式可得： =4 -4 1 k=0,k=4 ；2. 分析：对于方程 2x 2+3x-4=0 来说, =32 -4 2

15、 -4=9+320；223. 分析：题目要求有两个不相等的实数根,0 ； A. 2x+4x+35=0 , =4 -4 2 350；24. 分析：依据题意,得 =-2-4 1m 0, m 1；225. 分析：原方程可变形为： 2m-1x-8x+6=0 依据题意, 得 =-8-42m-1 6, m 的最小整数为 2；6. 分析：此题的解题关键是利用根与系数关系建立关于m的方程,设方程的两根分别为x 1,x2,依据题意,得 x 1+x2=-3 , x 1 x2 =m,2 x 1-x 222=x1 +x2 -2x 1 x222=x1 +x2 +2x1 x2 -2x 1x 2-2x 1x22=x 1+x 2 -4x 1 x22=-3-4m=25, m=-4 ；227. 分析：以两个数 x 1,x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x -x 1+x2x+x 1x2=0 此题先运算两数之和、两数之积再代入上式写出方程 x 1+x2 =5-3=2x 1 x2=5-3=-15 , 以 5,-3 为根的一元二次方程为 x -2x-15=0 ；8. 分析：此题在解答时,应先依据根与系数关系运算出原方程的两根之和、两根之积, 从而写出方程；依据题意两根之和为-2 ,两根之积为 -3 ,所以, 以-2 和-3 为根的方程为： y 2+5y+6=0；