2022年北京中考数学试题和答案.docx

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1、2021 年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷学校 姓名 准考证号 考1. 本试卷共 6 页，共五道大题， 25 道小题，满分 120 分；考试时间 120 分钟；生2. 在试卷和答题卡上精确填写学校名称、姓名和准考证号；须3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；知4. 在答题卡上，挑选题、作图题用2B 铅笔作答，其他试卷用黑色字迹签字笔作答；5. 考试终止，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回；一、挑选题（此题共32 分，每道题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的1. 2 的倒数是A. 1 2B. 1 2C. 2D. 2542. 2021 年 6 月

2、 3 日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验“火星500”正式启动，包括 中国理想者王跃在内的6 名理想者踏上了为期12 480 小时的“火星之旅”将12 480 用科学记数法表示应为3A. 12.4810B.0.124 810C.1.24810D.31.248103. 如图，在 ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上， DE BC ，A如 AD : AB3:4， AE6 ，就 AC 等于A. 3B. 4C. 6D. 8DE4. 如菱形两条对角线的长分别为6 和 8，就这个菱形的周长为BCA. 20B. 16C. 12D. 105. 从 1，2， 3， 4，5， 6， 7，8， 9，

3、10 这十个数中随机取出一个数，取出的数是3 的倍数的概率是A. 1 56. 将二次函数B. 10yx22x3 化为C. 1 32yx hD. 1 2k 的形式， 结果为2A. yx142B. yx142C. yx122D. yx127. 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球竞赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：队员 1队员 2队员 3队员 4队员 5甲队177176175172175乙队17017517317418322设两队队员身高的平均数依次为x甲 ， x乙 ，身高的方差依次为完全正确选项S甲 ， S乙 ，就以下关系中A. xx， S2S2B. xx， S2S2甲乙甲乙甲乙甲乙C. x

4、x， S2S2D. xx， S2S2甲乙甲乙甲乙甲乙8. 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线裁开，1 / 12用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个 符合上述要求， 那么这个示意图是二、填空题（此题共16 分，每道题 4 分）7 / 129. 如二次根式2 x1 有意义， 就 x 的取值范畴是C310. 分解因式： m4m AEOB11. 如图， AB 为OC ，O 的直径，弦CDAB，垂足为点E ，连 结D如 OC5 ， CD8 ，就 AE 12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B ，C ，D 请 你 按 图 中

5、箭 头 所 指 方 向 （ 即A B C D C B A B C 的方式）从 A 开头数连续的正整数 1，2，3，4， 当数到 12 时，对应的字母是 ； 当 字 母 C 第 201 次 出 现 时 ， 恰 好 数 到 的 数 是 ；当字母 C 第 2n1 次显现时（ n 为正整数），恰好数到的数是（用含 n 的代数式表示）三、解答题（此题共30 分，每道题 5 分）13. 运算：112021 0343tan 60 14. 解分式方程32 x4x1 x22EF15. 已 知 ： 如 图 ， 点 A、B、C、D EAAD ，在 同 一 条 直 线 上 ，FDAD，AEDF，ABDC 求 证 ：A

6、ACEDBF BCD216. 已知关于 x 的一元二次方程根x4 xm1 0 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的17. 列方程或方程组解应用题：2021 年北京生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8 亿立方 M ，其中居民家庭用水比生产运营用水的3 倍仍多 0.6 亿立方 M ，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方 M y18. 如图，直线 y2x3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B B（ 1）求 A，B 两点的坐标；（ 2）过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P ，且使 OP求 ABP 的面积2OA，1AO1x四、解答题（此题共20 分，每道题 5 分）19. 已

7、知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC ， 数及 AC 的长ABDCAD2 ， BCA4 求B 的度DBCA20. 已 知 ： 如 图 ， 在 ABC中 ， D 是 AB 边 上 一 点 ，O 过DD、B、C三点，DOC2ACD90 （ 1）求证：直线AC 是O 的切线；BC（ 2）假如ACB75 ， O 的半径为 2，求 BD 的长O21. 依据北京市统计局公布的2006-2021 年空气质量的相关数据，回执统计图如下：2006 2021年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图天数290280270260250240230220024120062462007274202128

8、52021年份（ 1）有统计图中的信息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比，增加最多的是年，增加了天；（ 2）表 1 是依据中国环境进展报告（2021）公布的数据绘制的2021 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1 中的空缺部分补充完整（精确到1%）；表 1 2021 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计表城市北京上海天津昆明杭州广州南京成都沈阳西宁百分比91%84%100%89%95%86%86%90%77%（ 3）依据表 1 中的数据将十个城市划分为三组，百分比不低于 95%的为 A 组，不低于85

9、%且低于 95%的为 B 组，低于 85%的为 C 组按此标准， C 组城2021 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比分组统计图A 组20%市数量在这十个城市中所占的百分比为请你补全右边的扇形统计图22. 阅读以下材料： % ；小贝遇到一个好玩的问题：在矩形ABCD 中， AD8cm ， AB6cm 现有一动点 P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点动身，沿着与AB 边夹角为AP45 的方向作直线运动，每次遇到矩形的一边，就会转变运动方向，沿着与这条边夹角为45 的方向作直线运动，并且BP 3DP 2P 1C图1它始终依据这种方式不停地运动，即当P 点AP遇到 BC 边

10、，沿着与 BC 边夹角为 45 的方向作直线运动，当P 点遇到 CD 边，再沿着与BCD 边夹角为 45 的方向作直线运动，如P 3DEA 1P 2P 1CB 1图2图 1 所示问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次， P 点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少小 贝 的 思 考是 这 样 开 始 的 ： 如图 2 ， 将 矩 形 ABCD 沿 直 线 CD 折 叠， 得 到 矩 形A1B1CD 由轴对称的学问，发觉P2P3P2E ，P1AP1E 请你参考小贝的思路解决以下问题：（1） P 点第一次与 D 点重合前与边相碰次； P 点从 A 点动身到第一次与 D 点重合时所经过

11、的路径地总长是 cm ；（ 2）进一步探究：转变矩形ABCD 中 AD、AB 的长，且满意ADAB 动点 P 从 A 点动身，依据阅读材料中动点的运动方式，并满意前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上如P 点第一次与B 点重合前与边相碰7 次，就AB: AD 的值为五、解答题（此题共22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分）23. 已知反比例函数 yk 的图象经过点 A x3，1 （ 1）试确定此反比例函数的解读式；（ 2）点 O 是坐标原点，将线段OA绕 O 点顺时针旋转30 得到线段 OB ，判定点 B 是否在此反比例函数的图象上，并说明

12、理由；（ 3）已知点P m， 3m6 也在此反比例函数的图象上（其中m0 ），过 P 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M 如线段 PM 上存在一点 Q ，使得OQM的面积是 1 ，设2Q 点的纵坐标为 n ，求n 223n9 的值24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 ym1 x 25m xm23m2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B（ 1）求 B 点的坐标；2，n44在这条抛物线上（ 2）点 P 在线段 OA上，从 O 点动身向 A 点运动，过P 点作 x 轴的垂线，与直线OB 交于点 E ，延长 PE 到点 D ，使得 EDPE ，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作

13、等腰直角三角形 PCD （ 当 P 点运动时， C 点、 D 点也随之运动 ） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 如 P 点从 O 点动身向 A 点作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段 OA上另一个点Q 从 A 点动身向 O 点作匀速运动，速度为每秒2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动， P 点也同时停止运动）过Q 点作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长 QF 到点 M ，使得 FMQF ，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN （ 当 Q 点运动时，M 点、 N 点也随之运动 ）如 P 点运动到 t 秒时，两个

14、等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值25. 问题： 已知ABC 中，BAC2ACB，点 D 是 ABC 内的一点，且ADCD ，BDBA 探究DBC 与 ABC 度数的比值请你完成以下探究过程：B先将图形特别化，得出猜想，再对一般情形进行分析并加以证明（ 1）当BAC90 时，依问题中的条件补全右图观看图形， AB 与 AC 得数量关系为；当 退 出DAC15时 ， 可进 一 步 推 出DBC 的 度 数 为； CA可得到DBC 与 ABC 度数的比值为（ 2）当BAC90 时，请你画出图形，讨论DBC 与 ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加

15、以证明一、挑选题（此题共32 分，每道题4 分）题号12345678答案ACDABDBB二、填空题（此题共题号916 分，每道题104 分）11122021 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考内部使用用毕收回阅卷须知：1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为具体，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可2. 如考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数答案x 12m m2m22B6036n3三、解答题（此题共30 分，每道题 5 分）13（本小题满分 5 分）1解：133202021|43

16、 |tan6013433 3 4 分5 分14（本小题满分 5 分）解：去分母，得整理，得 3x32x5 x2 2 分解得 x5 3x5 是原方程的解4 分经检验，3所以原方程的解是 x15（本小题满分 5 分） 证明： ABDC ，5 5 分3 ACDB 1 分 EAAD ， FDAD ， AD902 分EF在 EAC 与 FDB 中，EAFD ，AD ，ACDB EAC FDB 4 分 ACEDBF 5 分16（本小题满分 5 分） 解：由题意可知0ABCD2即44 m10 解得 m5 3 分当 m5 时，原方程化为x4x40 2解得 x1x22 所以原方程的根为x1x22 5 分17（本

17、小题满分 5 分）解法一：设生产运营用水x 亿立方 M ，就居民家庭用水5.8x亿立方 M 1 分依题意，得 5.8x3x0.62 分解得 x5.8x1.33 分5.81.34.5 4 分答：生产运营用水1.3 亿立方 M ，居民家庭用水 4.5 亿立方 M 5 分解法二：设生产运营用水x 亿立方 M ，居民家庭用水 y 亿立方 M 1 分依题意，得xy5.8y3x0.62 分解这个方程组，得x1.3 ，y4.5.4 分答：生产运营用水1.3 亿立方 M ，居民家庭用水 4.5 亿立方 M 5 分18（本小题满分 5 分）解：（ 1）令 y0 ，得 x3 2 A 点坐标为3 ，021 分令 x

18、0 ，得 y3 B 点坐标为 0 ，3 2 分（ 2）设 P 点坐标为 x ，0 依题意，得 x3 P 点坐标分别为P1 3 ，0或 P23 ，03 分 S133327 ； ABP1y224S13339 B ABP2224 ABP 的面积为 274分或 9 541AP 2O1 P 1x四、解答题（此题共20 分，每道题 5 分）19（本小题满分 5 分）解法一：分别作 AFBC ， DGBC ， F 、 G 是垂足1 分 AFBDGC90 AD BC ，四边形 AFGD 是矩形AD AFDG ABDC ， Rt AFB RtDGC BFCG BFGC AD2 ， BC4 ，图1 BF1在 Rt

19、 AFB 中， cos BBF1 ，AB2 B60 BF1， AF3 AC3 ，由勾股定理，得 AC23 B60， AC23 5 分AD解法二：过 A 点作 AE DC 交 BC 于点 E 1 分 AD BC ，四边形 AECD 是平行四边形 ADEC ， AEDC ABDCAD2， BC4 ，BEC AEBEECAB 图2可证 BAC 是直角三角形，ABE 是等边三角形 BAC90，B60在 Rt ABC 中，ACABtan 6023 B60， AC23 5 分20（本小题满分 5 分）（ 1）证明： ODOC ，DOC90， ODCOCD45 DOC2 ACD90，A ACD45 ACDO

20、CDOCA90D8 / 12BC EO点 C 在 O 上，直线 AC 是 O 的切线 2 分10 / 12（ 2）解：ODOC2，DOC90，可求 CD22 ACB BCD75，30ACD45，作 DEBC 于点 E DEC DEDC90sin30 2 B DB45，2 5 分21（本小题满分 5 分）解：（ 1） 2021； 28；2 分（2） 78%；3 分（3） 30；4 分A 组20%B组50%C组30% 5 分22（本小题满分 5 分）解：（ 1） 5， 242 ；3 分（2） 4 : 55 分解题思路示意图：ADA 1D 1A 2BCB 1C 1B 2五、解答题（此题共22 分，第

21、 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23（本小题满分 7 分）解：（ 1）由题意得 1k3解得 k3 反比例函数的解读式为y3 1 分x（ 2）过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C y在 Rt AOC 中， OC3 ， AC1 可得 OAOC 2BAC 22 ，A1AOC302 分CDO1x由题意，AOB30， OBOA2 ， BOC60过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D 在 RtBOD 中，可得 BD3 ， OD1 B 点坐标为1，3 3 分将 x1 代入 y3 中，得 y3 x点 B1， 3在反比例函数 y3 的图象上4 分x（ 3）由 y3

22、 得 xy3x点 P m， 3m6 在反比例函数y3 的图象上，其中xm0 ， m3m63 5 分 m223m10 PQx 轴， Q 点的坐标为m ，n OQM的面积是 1 ，2 1 OMQM1 22 m mn0 ，16 分 m2 n223mn2n 20 n223n n223n1 98 7 分24（本小题满分 8 分）解：（ 1）抛物线 ym1 x25m xm23m2 经过原点， m23m4420 解得 m11， m22 由题意知 m1， m2 抛物线的解读式为y125xx 点 B 2，n在抛物线 y42125xx 上，42 n4 B 点的坐标为2，4 2 分（ 2）设直线 OB 的解读式为

23、yk1 x 求得直线 OB 的解读式为 y2x A 点是抛物线与x 轴的一个交点，yD可求得 A 点的坐标为 10，0EC设 P 点的坐标为a ，0，就 E 点的坐标为a ，2a B依据题意作等腰直角三角形PCD ，如图 11可求得点 C 的坐标为 3a ，2a 由 C 点在抛物线上，AO1Px图1得 2a1253a3a 42即 9 a211 a0 解得 a122 ， a20 （舍去）429 OP22 4 分9 依题意作等腰直角三角形QMN 设直线 AB 的解读式为 yk2 xb 由点 A10 ，0，点 B2 ，4，求得直线 AB 的解读式为 y1x5 2当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直

24、角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情形：y第一种情形： CD 与 NQ 在同一条直线上，如图2 所示D可证 DPQ 为等腰直角三角形1此时 OP 、 DP 、 AQ 的长可依次表示为t 、 4t 、 2t 个单BCM位 PQDP4t EN FAO1PQx t4t2t t10 710 图2其次种情形：PC 与 MN 在同一条直线上，如图3 所y示D可证 PQM 为等腰直角三角形此时 OP 、 AQ 的长可依次表示为 t 、 2t 个单位BM C1EF OQ102t NA F 点在直线 AB 上， FQt O1PQx图3 MQ2t PQMQCQ2t t2t2t t2 10 yD第

25、三种情形：点P 、 Q 重合时， PD 、 QM在同一条直线上，如图4 所示此时 OP 、 AQ 的长可依次表示为 t 、 2t 个单位 t2t1010 CME t3综上，符合题意的 t 值分别为 10 ， 2， 10 1BFN73A25（本小题满分 7 分） 8 分O1Q Px图 4B解：（ 1）相等；1 分15；2 分1:3 3 分（ 2）猜想：DBC 与ABC 度数的比值与（ 1）中结论相同 证明：如图 2，作KCABAC ，过 B 点作 BK AC 交 CK 于点 K ，连结 DK 11 / 12DCA图1KB641 25D3CA图2 BAC90，四边形 ABKC 是等腰梯形 CKAB DCDA ， DCADAC KCABAC ， KCD3 KCD BAD 24 ， KDBD KDBDBAKC BK AC ， ACB KCA6 2ACB ， 5ACB 56 KCKB KDBDKB KBD ACB60660 1 ， BAC2ACB12021 160 22 11120212180， DBC 与 ABC 度数的比值为 1:3 7 分12 / 12