2022年北京市中学生数学竞赛高中一级初赛试题解答.docx

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1、精品学习资源2021 年北京市中同学数学竞赛高中一年级初赛试题解答选 择 题 答 案123456DBBACA填 空 题 答 案22212345678欢迎下载精品学习资源3 1- 1043412811623 1979, 1985, 1991, 20032m n mn欢迎下载精品学习资源一、挑选题总分值 36 分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第 1 页指定地方，答对得 6 分，答错 或不答均计 0 分1已知集合 A= 1, 2, 3, 4, 5 ，B= 2, 3, 4, 5, 6 ，就集合C= a, b| aA, bB, 且关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实根欢

2、迎下载精品学习资源的元素个数为A7B8 C9 D10解 当 a0，b0 时， x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件y为 ab.6 .设集合 D= a, b| aA, bB ，D 的元素个数为 55=255 .个，而 C 是 D 的子集，因此，集合 C 的元素如右面的整点4 .图中的黑点所示：3 .因此, C 的元素个数等于 102 .1 .y=x 欢迎下载精品学习资源2. 已知 24a8a2 ，就24a +8a 等于.欢迎下载精品学习资源A7B8 C9 D102212345x欢迎下载精品学习资源解24a8a24a8a24a8a24882欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如下图，

3、矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点 O，3k1yy=欢迎下载精品学习资源矩形的边分别平行于坐标轴， 点 C 在反比例函数 y图像上，假设 A 点的坐标为 - 2, - 2 ，就 k 等于3k1的xBFxHCOGx欢迎下载精品学习资源A2B1 C0 D- 1解 由于矩形的对角线平分矩形的面积，所以AED欢迎下载精品学习资源矩形 CHOG 的面积 = 矩形 OFAE 的面积 = | - 2| | - 2| = 4 即 3k+1=OGGC= 4，因此 k =1欢迎下载精品学习资源4. 定义在 R 上的偶函数 f x，满意 f x+ 1= - f x，且在区间 - 1, 0 上递增，就欢迎下

4、载精品学习资源Af 3f 3f 2 Bf 2f 3f 3 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Cf 3f 2f 3 Df 2f 3f 3 欢迎下载精品学习资源解 依据题意 f x= - f x+1 = - - f x+2= f x+2，由于 f x是偶函数，即 f a= f - a，欢迎下载精品学习资源就 f 3f 1f 1 ，f 2f 0 ，f 3f 3f 23f 32 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而 - 1 3 - 20，f x在区间 - 1, 0 上递增， 所以f 3f 3f 2 欢迎下载精品学习资源5由 1 开头的连续 n 个正整数相乘，简记为 n.=1 2n， 如 3

5、.=1 23=6，10.=1 2345678910=3628800 等等，就 1234567 等于2.3.4.5.6.7.8.A 719 B 5039 C 40319 D 40321 欢迎下载精品学习资源72050404032040320欢迎下载精品学习资源解 由于 n1n111， 所以欢迎下载精品学习资源n.n.n.n1.n.欢迎下载精品学习资源12345672.3.4.5.6.7.8.213141516171812.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7.7.8.8.111111111111112.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7.7.8.欢迎下载精品学习资源111140319 欢迎

6、下载精品学习资源8.40320403206如图，正方形 ABCD 内接于 O，P 为劣弧 CD 上一点， PAP交 BD 于点 M，PB 交 AC 于点 N，记 PAC=，假设 MN PA，就DCN2cos2- tan的值等于MA1 B 2 C 1 D 2 O224解 四边形 ABCD 是正方形，AB ACB=45o， DBAC， APB=ACB=45o， MN PA， MNP= APB=45o， MP=MN AC 为圆的直径， APC=90o， P、M、O、C 四点共圆 AMAP= AOAC因此欢迎下载精品学习资源2cos2- tanAO2MN22AO2AMMN欢迎下载精品学习资源AM 2A

7、MAM 2AOACAMMNAMAPAMMN欢迎下载精品学习资源AMAPMN AM2APPM AMAM 21 欢迎下载精品学习资源二、填空题总分值 64 分，每题 8 分，请将答案填入第 1 页指定地方 欢迎下载精品学习资源1. 求的值sin2 30sin 2 35sin 2 40sin 2 45sin2 50sin2 55sin2 60tan 36tan3 39tan5 42tan7 45tan5 48tan3 51tan54欢迎下载精品学习资源解 留意到 sin2+sin2 90o- = sin2+cos2=1，sin245o= 1 ，2n 为正整数时， tanntann 90o- = ta

8、nncotn= tancot n=1，tan45o=1，sin 2 30sin2 35sin 2 40sin 2 45sin 2 50sin 2 55sin 2 60欢迎下载精品学习资源就tan 36tan3 39tan5 42tan 7 45tan5 48tan3 51tan 543.5 欢迎下载精品学习资源2f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f x=2 x +2x+b b 为常数 ，求 f - 10的值解 由于 f x 为定义在R 上的奇函数， 所以 f 0 =0，即 20+20+b=0，得 b=- 1由奇函数的性质 f - x=- f x，有假设 x0，即- x0，就- f

9、 x= f - x=2- x- 2x- 1， 即 f x= - 2- x+2x+1 x0 所以 f -10= -2 10- 210+1= - 1043欢迎下载精品学习资源3. 假设实数 x, y, z 满意方程x9末位数字xyzx744 ，试确定 5x+3y- 3z 2021 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 易见 x 7 ， 就 x9xyzx7 4 ， 而xyz 0 ，又 x, y, z 满意方程4xyz欢迎下载精品学习资源x9x74 ，所以 x94x7 = 4，且=04欢迎下载精品学习资源所以 x=7，x+y- z=0， 5x+3y- 3z 2021 =142021，这个数的末

10、位数字为44. 如右图，正方形 ABCD 被分成了面积相等的 8 个三角形， DFC假如 AG=50 ，求正方形 ABCD 面积的值 I 解 过 F 作 KL/DC ，取 AB 的中点 N，延长 GN 交 AH 于 P，EGH设正方形 ABCD 的边长为 a，AB8由于 DCI 、ABH 的面积都是正方形 ABCD 面积的 1 ，所欢迎下载精品学习资源以 CI=BH= 14BC= a 4DFCKLIEG欢迎下载精品学习资源由ADF 的面积=DCL 的面积的 2 倍，得PHANB欢迎下载精品学习资源11ADKF2CDCI22所以 KF=2CI1 a. 所以 F 为 DI 中点2易见， E 是 A

11、F 的中点，由 FAG、FHG 的面积相等，可得 AP=PH ，即 FP 为FAH 的一条中线，因此 F、P， N 是一条直线 同理可证， HG 的延长线必过 AE 的中点 E，所以 HE 为 FAH 的另一条中线，中线欢迎下载精品学习资源FP 与 HE 的交点 G 为 FAH 的重心， GP1 FG 21 aa欢迎下载精品学习资源留意 FP 为梯形 AHID 的中位线， FP/BC，所以 FPHIAD23a，所以欢迎下载精品学习资源GP1 FPa ，所以GNGPPNaa3a 224欢迎下载精品学习资源34488欢迎下载精品学习资源而 AN=a ，依据勾股定理，有AG222a3a25a2，即5

12、025a 2，所以 a2=128欢迎下载精品学习资源22864645. 已知实数 m、n 满意 m- n=10 ，m2- 3n2 为质数假设 m2- 3n2 的最大值为 a，最小值为 b试确定 a- b 的值解 设 m2- 3n2=p p 为质数 由 m- n=10 ，得 m=10 + n，把式代入式得 10 + n2- 3n2= p，整理得 2n2- 210 n+p- 10=0， =40- 8p+800， p 15 p 的最大值 a=13，最小值 b=2 ， a- b=116. 在 ABC 的边 BC 上有一点 D，ADB 是锐角，P、Q 分别是 ABD、ACD 的外心，且四边形欢迎下载精品

13、学习资源APDQ 面积是 ABC 面积的 34求 sin ADB 的值欢迎下载精品学习资源解 连结 PQ，易证 AQP DQP，欢迎下载精品学习资源由已知得S AQP3，S ABC82欢迎下载精品学习资源易证： APQ ABC，所以S AQPS ABCAQ，AC欢迎下载精品学习资源所以AQ3 AC2 2连结 QC，作 QHAC 于 H，就欢迎下载精品学习资源ADBACDCAD1AD21CD212ADC12AQCAQH所以 sinADB= sinAQH=236 37 S x 表示自然数 x 的数字和，试确定方程 x+S x +S S x =2021 的解集 解 明显 x2021，而 S x 最大

14、为 28，S S x 最大为 10，因此 x 最小为2021- 38=1975因此 1975x2021，简单试验得x=2003， S 2003 =5，S S 2003 =5，2003+5+5=2021；x=1991， S 1991 =20， S S 1991 =2，1991+20+2=2021；x=1985， S 1985 =23， S S 1985 =5，1985+23+5=2021；x=1979， S 1979 =26， S S 1979 =8，1979+26+8=2021除此之外的 x 都不满意方程，所以解集是 1979, 1985, 1991, 2003 8直角 ABC 中，内切圆 O

15、 切斜边 AB 于 D，切 BC 于 E，切 CA 于 F，作 DK AC 于 K， DP BC 于 P，已知 AD=m，BD=n，试确定矩形 CKDP 的面积用 m，n 来表示解 设内切圆半径为 r，连接 OD，OE， OF，如BnPD图，就 OD=OE=OF= rm由切线长定理得E.OAD=AF=m， BD=BE=n，CE=CF=r CFKA设ABC 的半周长为 p，面积为 S，就 p=r+m+n，欢迎下载精品学习资源所以 Srm rn 2欢迎下载精品学习资源即 2S=r2+rm+rn+mn=r r+m+n+mn=rp+mn 由于 S=rp，代入上式得S= mn由于 DK /BC，所以 ADK ABC，欢迎下载精品学习资源所以 SADKS ABCm mnm2m3n22 ，欢迎下载精品学习资源22 mnmn mn223欢迎下载精品学习资源同理可得 SSnmnn mn，欢迎下载精品学习资源BDPABCmn2 mn2mn2欢迎下载精品学习资源m3 nmn32m2n 2欢迎下载精品学习资源因此，矩形 CKDP 的面积 = mnmn 2mn 2mn2 欢迎下载