2022年北京市东城区第一学期高三级期末数学统一练习理科.docx

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1、东城区 2021-2021学年度第一学期期末教案统一检测高三数学（理科）学校班级姓名考号 本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷1 至 2 页，第二卷3 至 5 页，共 150 分；考试时长120 分钟；考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回；第一卷（挑选题共 40 分）一、本大题共 8 小题，每道题 5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；（ 1）设集合 A1,2，就满意 AB1,2,3的集合 B 的个数是（ A ） 1B 3C 4D 8（ 2）已知 a 是实数， ai 是纯虚数，就 a 等于1i（ A ）1（B） 1

2、（C） 2（ D ）2（ 3）已知 an为等差数列，其前 n 项和为Sn ，如a36 ， S312 ，就公差 d 等于（ A ） 1（ B） 53（ C） 2（ D） 3（ 4）执行如下列图的程序框图，输出的k 的值为（ A ） 4（ B） 5（ C） 6（ D ） 7（ 5）如 a ， b 是两个非零向量，就“abab ”是“ ab”的（ A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（ 6）已知 x ， y 满意不等式组x 0,y 0,当 3s5 时，目标函数 z3x2 y 的最大值x ys,y 2x4.的变化范畴是（ A ） 6,15（ B） 7,1

3、5（ C） 6,8（ D） 7,81 / 11（ 7）已知抛物线y22 px 的焦点 F 与双曲线xy1 的右焦点重合，抛物线的准线2279与 x 轴的交点为 K ，点 A在抛物线上且 | AK|2 | AF| ，就 AFK 的面积为（ A ） 4（ B） 8（C） 16（ D） 321（ 8）给出以下命题：在区间0,上，函数yx 1 , yx 2 , y x12 ,yx3 中有三个是增函数；如log m 3logn 30 ， 就 0nm1 ；如函数f x 是奇函数，就 f x1 的图象关于点A1,0 对称；已知函数f x3x 2 ,x2,就方程f x1 有 2 个实数根，其中正确命题的个数为

4、2log3 x1, x2,（ A ） 1（ B ） 2（ C） 3（D ） 4第二卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每道题 5 分，共 30 分；y23y=3x2 / 11O1x（ 9）如sin3 ，且 tan0 ，就 cos513 / 11（ 10）图中阴影部分的面积等于（ 11）已知圆 C ： x2y26x80 ，就圆心 C 的坐标为；如 直 线 ykx 与 圆 C 相 切 ， 且 切 点 在 第 四 象 限 ， 就k（ 12）一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的表面积为（ 13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价 p% ,其次次提价 q% ；方案

5、乙：每次都提价pq % ，如 pq 20 ，就提价多的方案是.（ 14）定义映射f : AB ， 其中 A m, nm,nR， BR ，已知对全部的有序正整数对 m, n 满意下述条件 : f m,11 ；如 nm ， f m, n0 ；f m1,nn fm, nf m, n1 ，就 f 2,2， f n,2三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；（ 15）（本小题共13 分）已知函数f x3 sinxcos xcos 2xa （）求f x 的最小正周期及单调递减区间；（）如f x 在区间 , 上的最大值与最小值的和为633 ，求 a 的值2（ 16

6、）（本小题共13 分）已知 an 为等比数列，其前 n 项和为Sn ，且 Sn2 nanN * .（）求 a 的值及数列 an的通项公式；（）如 bn2 n1an ，求数列 bn的前 n 项和Tn .（ 17）（本小题共14 分）如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ，DAB60 ， E 是 AB 的 中 点 ，MA 平 面A B C D，且在矩形 ADNM 中， AD（）求证： AC BN ；（）求证： AN / 平面 MEC ；（）求二面角 MECD 的大小 .2 ， AM37 7NMDC（ 18）（本小题共13 分）AEB已知 aR ，函数f xaln x1 x（）当 a1时，求曲线yf

7、 x在点 2,f 2处的切线方程；（）求f x 在区间 0,e 上的最小值（ 19）（本小题共13 分）在平面直角坐标系xOy 中，动点 P 到两点 3 ，0 ， 3 ，0 的距离之和等于4 ，设点 P 的轨迹为曲线 C ， 直线 l 过点（）求曲线 C 的轨迹方程；E 1,0且与曲线 C 交于 A ， B 两点（）是否存在AOB 面积的最大值，如存在，求出AOB 的面积；如不存在，说明理由 .（ 20）（本小题共14 分）已知实数组成的数组x1, x2 , x3, xn 满意条件：nxii 1n0 ；xi1 .i1 当 n2 时，求x1，x2 的值；（）当 n3 时，求证：3x12x2x31

8、 ；（）设 a1a2a3an ,且 a1an n2 ，求证：nai xii 11a12an .东城区 2021-2021 学年度第一学期期末教案统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、挑选题（本大题共8 小题，每道题 5 分，共 40 分）（ 1）C（ 2） B（3） C（ 4）A（ 5）C（ 6） D（ 7） D（8） C二、填空题（本大题共6 小题，每道题 5 分，共 30 分）（ 9）45（ 10） 1（ 11） 3,024（ 12） 754 10（ 13）乙（ 14） 22n2注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，其次个空填对得2 分 三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分

9、）（ 15）（共 13 分）解：（）31cos 2xf xsin 2xa 22sin2 xa1 .3 分62所以 T4 分3由2k2 x2k，262得kx2k63故函数f x 的单调递减区间是 k, 2k （ kZ ） 7 分63（）由于x，635所以2x666所以1sin2 x261 10 分由于函数f x 在 , 上的最大值与最小值的和1a1 1a1 3 ，632222所以 a013 分（ 16）（共 13 分）解：（）当 n1 时， S1a12a .1 分当 n2 时，anSnSn 1n 12.3 分由于 an是等比数列，所以 a12a21 11 ，即 a11. . a1 .5 分所以数

10、列 an的通项公式为an2n 1 nN * .6 分nn（）由（）得b2 n1) a2n1 2n 1 .就 Tn1 1325227232n1 2n 1 .2Tn123225232 n3 2 n 12 n1 2 n . -得T1 12222222n 12 n1 2 n 9 分n21222n 122nn1 2142 n 112 n1) 2 n2 n3 2 n3 .12 分所以 Tn2n3) 2n3 .13 分（ 17）（共 14 分）解：（）连结 BD ，就 ACBD .由已知 DN平面 ABCD ，由于 DNDBD ，z所以 AC平面 NDB . 2 分N又由于 BN平面 NDB ，所以 ACB

11、N .4 分M（） CM 与 BN 交于 F ，连结 EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F所以 F 是 BN 的中点 .由于 E 是 AB 的中点，Dy所以 AN / EF .7 分C又 EF平面 MEC ，AN平面 MEC ，AEBx所以 AN / 平面 MEC . 9 分（）由于四边形ABCD 是菱形， E 是 AB 的中点，可得DEAB .如图建立空间直角坐标系Dxyz ，就D0,0,0， E3,0,0, C 0,2,0 ，M 3,1, 3 7 .7CE3,2.0， EM0,1,37 .10 分7设平面 MEC 的法向量为 n x, y, z .CE n0,就EMn0.3

12、x2 y0,所以y37 z0.7令 x所以 n2 .212,3, .12 分3又平面 ADE 的法向量 m0,0,1 ，所以 cosm, nm n1.m n2所以二面角 MECD 的大小是 60 . 14 分（ 18）（共 13 分）解：（）当 a1 时，f x1ln x x1 ， x0, ，所以 f x11x1 ， x0, .2 分因此 fx221 4xx2即曲线 yf x 在点 2,f 2处的切线斜率为 14. 4 分又 f 2ln 21 ，2所以曲线 yf x 在点 2, f2处的切线方程为yln 21 1 x2 ，即 x4 y244ln 240 6 分（）由于f xaln x1 ，所以

13、f xa1xaxx2xx2令 f x0 ，得 xa 8 分如 a 0 ，就f x0 ， fx 在区间0,e 上单调递增，此时函数f x无最小值如 0ae，当 x0,a 时，f x0 ，函数 fx 在区间 0, a 上单调递减，当 xa,e 时，f x0 ，函数 fx 在区间a,e上单调递增，所以当 xa 时，函数f x取得最小值 ln a 10 分如 ae ，就当 x0,e 时， fx0 ，函数 fx 在区间 0,e 上单调递减，所以当 xe 时，函数f x取得最小值a 12 分e综上可知，当 a 0 时，函数 fx 在区间 0,e 上无最小值；当 0ae时，函数 fx 在区间0,e 上的最小

14、值为 ln a ；当（ 19）（共 13 分）a e时，函数 fx 在区间 0,e 上的最小值为a 13 分e解.（）由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以 3 ，0 ， 3，0 为焦点，长半轴长为2 的椭圆3 分故曲线 C 的方程为2xy21 5 分4（）存在 AOB 面积的最大值 . 6 分由于直线 l 过点E 1,0，可设直线 l 的方程为xmy1或 y0 （舍）2xy21,就4xmy1.2整理得 m24) y2 my30 7 分由2 m 212 m240 设 A x1， y1， B x2， y2 m2m23m2m23解得 y12m4，y22m42就 | yy |4m3 221m4由于

15、SAOB1OEy1y2222m322m421 10 分m3m23设 gtt1 ， tm t3 ， t3 2就 gt 在区间 3, 上为增函数 所以 g t43 3所以 SAOB3，当且仅当 m20 时取等号，即3S AOB max2所以 S的最大值为313 分AOB2（ 20）（共 14 分） 解：x1x2x1x20,11.2由（ 1）得 x2x1 ，再由（ 2）知x10 ，且x20 .当 x10 时，x20 .得 2 x1x11 ，所以x21,22 分1.2x1当 x10 时，同理得x21,24 分1.2（）证明：当 n3 时，由已知 x1x2x30 , x1x2x3 =1 .所以 3x12x2x3x12 x1x2x3x3x1x3x1x31.9 分（）证明：由于a1aian ，且 a1an i1,2,3, n .所以 a1ai aian a1ai aian a1an ,即 a1 +a n2aia1ani1,2,3, n .11 分nai xii 1nai xii 11 na1xi2 i 11 nanxi2 i 11 n2 i 12aia1an xi1 n a12 i 1an2aixi 1 n2 i 1 a1an xi 1na1anxi2i 11n1 aa .14 分2