2022年北京市西城区届高三5月模拟测试数学试题+Word版含答案.docx

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1、西城区高三模拟测试数学理科第一卷 挑选题共 40 分2一、 挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 假设集合 A x | 0x1 ， B x | x2x0 ，就以下结论中正确的选项是A ABB ABRC ABD BA2. 假设复数 z 满意 1iz1 ，就 zA 1i221iB221iC221iD2223. 以下函数中，既是偶函数又在区间0,1 上单调递减的是A y1 xB yxC y|x|D ycosx24. 某正四棱锥的正主视图和俯视图如下图，该正四棱锥的侧面积是A 12B 4 10C12 2D 8 55. 向量 a,b,

2、c 在正方形网格中的位置如下图假设向量ab 与 c共线，就实数A 2B 1C 1D 2226. 已知点A0,0， B2,0假设椭圆W : xy1上存在点 C ，使得 ABC 为等边三角形，就椭圆 W 的离心率是A 12B 222mC 63D 327. 函数2f x1xa 就“a 0 ”是“x01,1，使f x0 0 ”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8在直角坐标系 xOy 中，对于点 x, y ，定义变换：将点 x, y变换为点 a, b ，使得x tana,y tan b,其中 a, b , 这样变22换就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系aOb

3、 内的曲线就四个函数 y12x x0 ， y22x x0 ，xy3e x0 ，y4ln x x1 在坐标系 xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线如图依次是A，B，C，D，第二卷非挑选题共 110 分二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 已知圆 C 的参数方程为x 2cos ,y sin 为参数，就圆 C 的面积为；圆心 C 到直线2l : 3x4 y0 的距离为210. x1 4 的绽开式中xx 的系数是 11. 在 ABC 中， a3 ， b2 ，A，就cos 2B 312. 设等差数列 an 的前 n 项和为Sn 假设a11 ， S2S3 ，就数列 a

4、n 的通项公式可以是 13. 设不等式组x 1,x y 3,2xy 5表示的平面区域为D 假设直线axy0 上存在区域 D 上的点，就实数 a 的取值范畴是 14. 地铁某换乘站设有编号为A， B，C， D，E 的五个安全出口假设同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下：安全出口编号A， BB， CC， DD， EA， E疏散乘客时间 s120220160140200就疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题总分值 13 分已知函数 f x1tan x sin 2x 求f x

5、 的定义域；假设0, ，且 f 2，求的值16. 本小题总分值 14 分如图，梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面相互垂直，AB / CD / EF ，ABAD CDDAAFFE2 ， AB4 求证：DF /平面 BCE ；求二面角CBFA 的余弦值；线段 CE 上是否存在点 G ，使得 AG平面 BCF ？请说明理由17. 本小题总分值 13 分在某地区，某项职业的从业者共约8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为明白这种职业病与某项身体指标 检测值为不超过6 的正整数 间的关系， 依据是否患有职业病， 使用分层抽样的方法随机抽取了100 名从业者， 记录他们该项

6、身体指标的检测值，整理得到如下统计图：求样本中患病者的人数和图中a， b 的值；在该指标检测值为4 的样本中随机选取2 人，求这 2 人中有患病者的概率；III某讨论机构提出，可以选取常数X 0n0.5 nN* ，假设一名从业者该项身体指标检测值大于X0 ，就判定其患有这种职业病；假设检测值小于X 0 ，就判定其未患有这种职业病 从样本中随机挑选一名从业者，依据这种方式判定其是否患有职业病写出访得判定错误的概率最小的X0 的值及相应的概率只需写出结论18. 本小题总分值 14 分已知直线l : ykx1 与抛物线C : y24x 相切于点 P 求直线 l 的方程及点 P 的坐标；设 Q 在抛物

7、线 C 上， A 为 PQ 的中点 过 A 作 y 轴的垂线， 分别交抛物线 C 和直线 l 于M ， N 记 PMN 的面积为S1 ， QAM 的面积为S2 ，证明： S1S2 19. 本小题总分值 13 分已知函数f xln x xax ，曲线y f x 在 x1 处的切线经过点 2,1 求实数 a 的值；设 b1 ，求f x 在区间 1, bb上的最大值和最小值20. 本小题总分值 13 分数 列 An ：a1,a2 ,an n 2的 各 项 均 为 整 数 ， 满 足 ：ai 1 i1,2, n ， 且2nnn 1n1aa23a2n 12123a2a0 ，其中 a0 假设 n3 ，写出

8、全部满意条件的数列A3 ；求a 1 的值；证明： a1a2an0 西城区高三模拟测试数学理科参考答案及评分标准一、挑选题：本大题共8 小题，每题5 分，共40 分.1C2 A3 D4 B5D6 C7 A8 A二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9 ， 6510 611 1312 n2 答案不唯独13 1,3214D注：第 9 题第一空 3 分，其次空 2 分.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15本小题总分值 13 分解：由于函数ytanx 的定义域是 xR | xk, kZ ，所以 f x 的定义域为 xR | xk,

9、k2Z 4 分f x1tan2xsin 2 x1sin x sin 2x cos x25 分sin 2 x6 分2sinxsin 2 xcos 2 x17 分2 sin2 x 1 48 分由 f 2 ，得 sin22 942分由于 0，所以 2 710 分11 分所以 2444 ，2 3，或4444解得13 分，或舍去4216. 本小题总分值 14 分解：由于CD /EF ，且 CDEF ，所以 四边形 CDFE 为平行四边形，所以 DF / CE 2 分由于 DF平面 BCE ， 3 分所以 DF / 平面 BCE 4 分在平面 ABEF 内，过 A 作 AzAB由于 平面 ABCD平面 A

10、BEF ，平面 ABCD平面 ABEFAB ， 又Az平面 ABEF ， AzAB，所以 Az平面 ABCD ，所以 ADAB ， ADAz， AzAB 如图建立空间直角坐标系Axyz 5 分由题意得，A 0,0,0， B 0,4,0， C2,2,0， E0,3,3 ， F 0,1, 3 所以 BC2,2,0， BF0,3,3 设平面 BCF 的法向量为 n x, y, z ，nBC0,就即nBF0,2x2 y0,3y3z0.令 y1 ，就 x1 ， z3 ，所以 n1,1, 3 7 分平面 ABF 的一个法向量为v1,0,0，8 分就 cosn,vn v5 10 分| n | v |5所以

11、二面角 CBFA 的余弦值55线段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，理由如下：11 分解法一： 设平面 ACE 的法向量为 m x1 , y1, z1 ，就mAC0,mAE0,2x1即3y12y10,3z10.令 y11 ，就x11，z13 ，所以 m 1,1,3 13 分由于 m n0 ，所以 平面 ACE 与平面 BCF 不行能垂直，从而线段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF 14 分解法二： 线段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，理由如下：11 分假设线段 CE 上存在点 G ，使得 AG平面 BCF ，设 CGCE ，其中0,1 设 G

12、 x2 ,y2 ,z2 ，就有 x22, y22, z2 2 ,3 ，所以x222， y22， z23，从而G22 , 2,3 ，所以 AG22,2,3 13 分由于 AG平面 BCF ，所以所以有2223113AG / n ，14 分由于 上述方程组无解，所以假设不成立所以 线段 CE 上不存在点 G ，使得 AG平面 BCF 17. 本小题总分值 13 分解：依据分层抽样原就，容量为100 的样本中，患病者的人数为2 分1003.48.540 人a10.100.350.250.150.100.05 ，b10.100.200.300.40 4 分指标检测数据为4 的样本中，有患病者 400.

13、208 人，未患病者 600.159 人6分设大事 A 为“从中随机挑选2 人，其中有患病者” 就 PA2CC93429，178 分所以 PA19 分PA2534使得判定错误的概率最小的X 04.5 11 分当 X04.5 时，判定错误的概率为21100 13 分18. 本小题总分值 14 分解：由ykx1,得 k 2 x22 k4 x10 2y24x分依题意，有 k0 ，且2 k4 24k 20 解得 k1 3 分所以直线 l 的方程为 yx1 4 分将 k1代入，解得x1 ，所以点 P 的坐标为 1,2 5 分设Qm, n ， 就n 24m ，所以A m21, n227分依题意，将直线yn

14、22分别代入抛物线C 与直线 l ， n2 2n2nn2得 M , ，N , 816222分由于 | MN |n2 2nn 24 n44m4 n4mn1，1621616410 分m1n2 28m8 n24n421616| AM |8m84 m4 n4mn112 分164，所以| AM| MN| 13 分又A 为 PQ 中点，所以 P， Q 两点到直线 AN 的距离相等，所以 S1S2 14 分19. 本小题总分值 13 分解： f x 的导函数为f x分1ln xax2x2，2所以 f 11a 依题意，有f 1 11a ，12即a11a ，124 分解得 a15 分由得f x1x22ln x当

15、 0 x 1 时， 1x20 ， ln x0 ，所以f x0 ，故f x 单调递减所以f x 在区间 0,1 上单调递增， 在区间 1, 上单调递减8分由于0分11b， 所以bf x最大值为f 11 9设 hbf bf 1b1ln bb1 ，其中 b1 bbb10 分就 h b11 ln b0 ，b2故 hb 在区间 1, 上单调递增11 分12 分所以 hbh10 ， 即f b1f b，故 f x 最小值为1f bln b1bb13 分20. 本小题总分值 13 分解：满意条件的数列分A3 为：1,1,6 ； 1,0,4 ； 1,1,2 ； 1,2,0 3a114分否就，假设a11 ，由于a

16、10 ，所以a1 1 又a2 , a3 , an 1 ，因此有n 1a12n 2a22n 3a32an 1 2ann 1n 2n 3 2 1 2 1 2 1 2 1n 1n 2n 3n1n222211 ，nnn123123这与 a2a2a2a2a0 冲突！所以 a11 n 18 分先证明如下结论：k1,2, n1 ，必有 a12n 2a22n kak2 0 .否就，令n 1a1 2n 2a22n knak20 ，留意左式是 2 n k 的整数倍，因此n 1212n kn k22ka2aa2所以有：a2n 1a2n 2a2n 3a2an k2123n 1n2n kn k1 1 2 1 2 1 2 1n kn k 1n k 222221n1n1，nnnn123123n k这与 a2a2a2a2a0 冲突！212所以 an 12 0 102ka2a分因此有：a10,a1 2a2 0,a1 4a22a3 0,kk12a2a2a2a 0,12k 1ka2 n 2a2n 3a2a 0.12n 2n 1将上述 n1个不等式相加得a2 n 11a2 n 21a210 ， 又 a112n 1n 12n 32n2a2a23an 12an0 ，两式相减即得a1a2an0 13分