2022年北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题.docx

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1、北京市西城区 2021 2021学年度第一学期期末试卷高三数学理科2021.1第一卷挑选题共 40 分一、挑选题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 171. 已知集合 A xR | 0x1 ， B xR| 2 x1 x10 ，就 ABA 10,2C 1B 1,1D ,10,1, 25i2. 在复平面内，复数2i的对应点位于A 第一象限B其次象限C第三象限D第四象限3. 在极坐标系中，已知点P2, ，就过点 P 且平行于极轴的直线的方程是6A sin1Bsin3Ccos1Dcos34. 执行如下图的程序框图假设输出S15 ， 就框图中 处

2、可以填入A k2B k3C k4D k55. 已知函数f xxb cos x ，其中 b 为常数 那么“ b0 ”是“f x 为奇函数” 的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 已知a,b 是正数，且满意 2a2b4 那么 a 2b2 的取值范畴是A 4 16, 554B ,16516C 1,16D , 4 57. 某四周体的三视图如下图该四周体的六条棱的长度中，最大的是A 25B 26C 27D 428. 将正整数 1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，就两组中各数之和相等的概率是2A 214B631C212 D63第二卷

3、非挑选题共 110 分二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 已知向量 a1,3 ，b2,1 ， c3, 2 . 假设向量 c与向量 kab 共线， 就实数 k 10. 如图， Rt ABC 中，ACB90 ， AC3 ，BC4 以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ，就BD； CD 11. 设等比数列 an 的各项均为正数， 其前 n 项和为Sn 假设a11 ，a34，Sk63 ，就 k x212. 已知椭圆y1 的 两个焦点是F1 ， F2 ，点 P 在该椭圆上假设| PF1 | PF2 |2 ，就242PF1F2 的面积是13. 已 知函数f xsin2 x ，其

4、中 x, a 当 a时， f x 的值域是；假设f x663的值域是 1 ,1 ，就 a 的取值范畴是214. 已知函数f x 的定义域为 R 假设常数 c0 ，对xR ，有f xcf xc ，就称函3数 f x 具有性质 P 给定以下三个函数：x f x2 ；f xsinx ；f xxx 其中，具有性质 P 的函数 的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题总分值 13 分在 ABC 中，已知3sin 2B1cos2B 求角 B 的值；假设 BC2 ， A，求 ABC 的面积416. 本小题总分值 14 分如图，四棱锥PABC

5、D中，底面 ABCD 为正方形， PAPD ， PA平面 PDC ，E 为棱 PD 的中点求证： PB / 平面 EAC ；求证：平面 PAD平面 ABCD ；求二面角 EACB 的余弦值17. 本小题总分值 13 分生产 A ，B 两种元件， 其质量按测试指标划分为：指标大于或等于 82 为正品， 小于 82 为次品 现随机抽取这两种元件各100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,7676,8282,8888,9494,100元件 A81240328元件 B71840296试分别估量元件A，元件 B 为正品的概率；生产一件元件A ，假设是正品可盈利40 元，假设是次品就亏损5 元；

6、生产一件元件B ，假设是正品可盈利 50 元，假设是次品就亏损10 元 . 在的前提下，记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于140 元的概率18. 本小题总分值 13 分已知函数f xx，其中 bR 2求设xbf x 的单调区间；b0 假设13bx, ，使44f x1 ，求的取值范畴19. 本小题总分值 14 分如图，已知抛物线y24x 的焦点为 F 过点P2,0的直线交抛物线于A x1, y1 ，B x2 , y2 两点，直线 AF ， BF 分别与抛物线交于点M ， N 求y1 y2

7、的值； 记直线 MN 的斜率为k1 ，直线 AB 的斜率为k2 . 证明：k1为定值k220. 本小题总分值 13 分如图，设 A 是由 nn 个实数组成的 n 行 n 列的数表，其中aiji , j1,2,3, n 表示位于第 i 行第 j 列的实数，且aij1,1 . 记 S n,n 为全部这样的数表构成的集合对 于 AS n, n ，记r i A为 A 的第 i 行 各 数之 积，c j A为 A 的 第 j 列各数 之积 令l Annr i Ac j A i 1j 1请写出一个AS4, 4，使得l A0 ；是否存在AS9, 9 ，使得l A0 ？说明理由；给定正整数 n ，对于全部的A

8、S n,n ，求 l A 的取值集合北京市西城区 2021 2021学年度第一学期期末高三数学 理科 参考答案及评分标准一、挑选题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分.2021.11D；2 B；3 A；4 C；5 C；6 B ；7 C；8 B 二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共 30 分.91；10 16 ， 12 ；11 6 ；512 2 ；13 51 ,1 ， , ；14262注： 10、 13 题第一问 2 分，其次问 3 分;14 题结论完全正确才给分.三、解答题： 本大题共 6 小题， 共 80 分. 假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15本小

9、题总分值 13 分 解法一 ：由于3sin 2B1cos2B ，所以23sinBcosB2sin 2B 3 分由于0B， 所以 sin B0 ，从而tan B3 ， 5 分所以 B 6 分3解法二 ： 依题意得3sin 2Bcos2B1 ，所以2sin2 B1 ，6即 sin2 B1 3 分62由于0B， 所以2 B13，所以2 B所以 B6665 5 分66 6 分3 解法一 ：由于A， B，43依据正弦定理得ACBC， 7 分sin Bsin A所以 ACBC sin B6 8 分sin A由于CAB5， 9 分12所以sin Csin 5sin62 ， 11 分12464所以 ABC 的

10、面积 S1 ACBC sin C33 13 分22解法二 ：由于A， B，43依据正弦定理得ACBC， 7 分sin Bsin A所以 ACBC sin B6 8 分sin A依据余弦定理得AC 2AB 2BC 22 AB BCcos B ， 9 分化简为AB22 AB20 ，解得AB13 11 分所以 ABC 的面积 S1ABBC sin B33 13 分2216. 本小题总分值 14 分证明：连接 BD 与 AC 相交于点 O ，连结 EO z由于四边形 ABCD 为正方形，所以O 为 BD 中点P由于 E 为棱 PD 中点EyD所以 PB / EO 3 分CxO由于 PB平面 EAC ，

11、 EO平面 EAC ，AB所以直线 PB / 平面 EAC 4 分证明：由于 PA平面 PDC ，所以 PACD 5 分由于四边形 ABCD 为正方形，所以 ADCD ，所以 CD平面 PAD 7 分所以平面 PAD平面 ABCD 8 分 解法一 ：在平面 PAD 内过 D 作直线 DzAD 由于平面 PAD平面 ABCD ，所以 Dz平面 ABCD 由 Dz, DA, DC 两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系Dxyz 9 分设 AB4 ，就D 0,0,0,A4,0,0,B4,4,0,C 0,4,0,P2,0,2,E 1,0,1 所以 EA3,0,1 ， AC 4,4,0 设平面 EAC 的

12、法向量为n = x, y,z ，就有n EA0,nAC0.3 x所以4 xz0,x4 y0 取1 ，得 n1,1,3 11 分易知平面 ABCD 的法向量为 v0,0,1 12 分所以 | cosn, v| n v |3 11 13 分| n | v |11由图可知二面角 EACB 的平面角是钝角，所以二面角 EACB 的余弦值为3 1111 14 分解法二 ：取 AD 中点 M ， BC 中点 N ，连结 PM ， MN 由于 ABCD 为正方形，所以 MN / CD z P由可得 MN平面 PAD EM由于 PAPD ，所以 PMAD DC由 MP , MA, MN 两两垂直，建立如下图x

13、AONyB的空间直角坐标系 Mxyz 9 分设 AB4 ，就A2,0,0,B 2,4,0,C2,4,0,D 2,0,0,P0,0,2,E1,0,1 所以 EA3,0,1 ， AC 4,4,0 设平面 EAC 的法向量为n = x, y,z ，就有n EA0,nAC0.3 x所以4 xz0,x4 y0 取1 ，得 n1,1,3 11 分易知平面 ABCD 的法向量为 v0,0,1 12 分所以 | cosn,v| n v |3 11 13 分| n | v |11由图可知二面角 EACB 的平面角是钝角，所以二面角 EACB 的余弦值为3 1111 14 分17. 本小题总分值 13 分解：元件

14、 A 为正品的概率约为元件 B 为正品的概率约为 1 分40328410054029631004 2 分解：随机变量 X 的全部取值为 90,45,30,15 3 分P XP X90304335455441111；P XP X4515133201； 7 分545所以，随机变量 X 的分布列为 :9045301533115205208 分X5420P3311EX904530 1566 9 分520520设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件，就次品有 5n 件.依题意，得50 n105n140 ，解得n19 6所以n4 ，或 n5 11 分设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于140

15、元”为大事 A ，43 413 581就 P AC5444128 13 分18. 本小题总分值 13 分解：当 b0 时，1f xx故 f x 的单调减区间为 ,0 ， 0, ；无单调增区间 1 分bx2 当 b0 时，f xx2b2 3 分令 f x0 ，得 x1b ， x2b f x 和 f x 的情形如下：x,bbb,bbb,f x00f x故 f x 的单调减区间为 ,b， b,；单调增区间为 b,b 5 分 当 b0 时，f x 的定义域为 D xR | xb 由于 f xbx2 x2b20 在 D 上恒成立，故 f x 的单调减区间为 ,b ， b,b ， b,；无单调增区间 7

16、分解：由于b0 ，13x, ，4 4所以f x1等价于bx2x ，其中1 3213x, 9 分4 411设 gxxx ，g x 在区间, 上的最大值为44g24 11 分就“1 321x,4 4，使得bxx ”等价于 b40,所以， b 的取值范畴是14 13 分19. 本小题总分值 14 分解：依题意，设直线AB 的方程为xmy2 1 分2将其代入y4x，消去 x ，整理得y24my80 4 分从而 y1 y28 5 分证明：设M x3, y3 ，Nx4, y4 y 2y 2就 k1y3y4x1x2y3y412244y1y2 7 分2yk2x3x4y1y2y34y1y2y3y4设直线 AM

17、的方程为xny441 ，将其代入y24x，消去 x ，整理得y24ny40 9 分所以 y1 y34 10 分同理可得y2 y44 11 分故 k1y1y2y1y2y1 y2 13 分k2y3y4444y1y2由得k1 k22 ，为定值 14 分20. 本小题总分值 13 分解：答案不唯独，如下图数表符合要求1111111111111111解：不存在AS9, 9 ，使得 3 分l A0 4 分证明如下：假设存在AS9, 9 ，使得l A0 由于 ri A1, 1 ， c j A1,11i9,1j9 ，所以 r1 A ， r2 A ， r9 A ， c1 A ， c2 A， c9 A这18 个数

18、中有 9 个1 ， 9 个1 令 Mr1 Ar2 Ar9 Ac1 Ac2 Ac9 A 一方面，由于这 18 个数中有 9 个 1， 9 个1，从而 M 1912另一方面，r1 Ar2 Ar9 A 表示数表中全部元素之积记这81 个实数之积为m ；c1 Ac2 Ac9 A也表示 m ， 从而Mm1 、相冲突，从而不存在AS9, 9 ，使得l A0 8 分解：记这n2 个实数之积为 p 一方面，从“行”的角度看，有pr1 Ar2 Arn A ；另一方面，从“列”的角度看，有pc1 Ac2 Acn A 从而有r1 Ar2 Arn Ac1 Ac2 Acn A 10 分留意到ri A1, 1 ， c j

19、 A1,11in,1j n 下面考虑r1 A ， r2 A ， rn A ， c1 A ， c2 A， cn A 中1 的个数：由知，上述 2 n 个实数中，1 的个数肯定为偶数，该偶数记为 2k 0kn ；就1的个数为2 n2k ， 所以l A12k12n2k2 n2k 12 分对数表A0 ： aij1 i , j1,2,3, n ，明显l A0 2n 将数表A0 中的a11 由 1变为 1，得到数表A1 ，明显l A12n4 将数表A1 中的a22 由 1变为 1 ，得到数表A2 ，明显l A2 2n8 依此类推，将数表Ak 1 中的akk 由 1变为 1 ，得到数表Ak 即数表Ak 满意：a11a22akk11k n，其余aij1 所以r1 Ar2 Ark A1， c1 Ac2 Ack A1所以 l Ak 2 1k nk 2n4k 由 k 的任意性知，l A 的取值集合为 2 n2k | k0,1,2, n 13 分