2022年二次函数几种解析式的求法.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大， 技巧性强， 笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。一、三点型例1已知一个二次函数图象经过（-1，10） 、 （2， 7）和（ 1，4）三点，那么这个函数的解析式是 _。分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b

2、 , c, 进而获得解析式y=ax2+bx+c. 二、交点型例 2 已知抛物线y=-2x2+8x-9 的顶点为 A，若二次函数y=ax2+bx+c 的图像经过A 点，且与 x 轴交于 B（0，0） 、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。分析要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3), 再求也 y=-2x2+8x-9 的顶点 A（2， -1） 。将 A 点的坐标代入y=ax(x-3), 得到 a=21y=21x(x-3), 即y=xx23212. 三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是A(-1,4) 且经过点 (1,2)求其解析式。分析此类题型

3、可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料再将点 (1,2)代入求得 a=-21y=-,4)1(212x即 y=-.27212xx由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。四、平移型例 4 二次函数y=x2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向

4、上平移3 个单位得二次函数, 122xxy则 b 与 c 分别等于(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1 的顶点（ 1，0）先向下平移3 个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3） 。y=x3)3(22xcbx=x.662xb=-6,c=6.因此选（ B）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax2+bx+c 为 x=2 时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A

5、（1，0） ，B（3，0） 。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x2+8x-6. 六、识图型精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料例 6 如图 1， 抛物线 y=cxbx)2(212与 y=dxbx)2(212其中一条的顶点为P，另一条与 X 轴交于 M、N 两点。（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于 M、N 点？（2）求两条抛物线的解析式。解（1）抛物线 y=c

6、xbx)2(212与 x 轴交于 M，N 两点（过程从略） ；（2）因 y=dxbx)2(212的顶点坐标为（0，1） ，b-2=0,d=1, b=2. Y=1212x. 将点 N的坐标与b=2 分别代入y=221x+(b+2)x+c得 c=6. y=221x+4x+6 七、面积型例 7 已知抛物线y=xcbx2的对称轴在y 轴的右侧，且抛物线与y 轴交于 Q（0，-3） ，与 x 轴的交点为A、 B，顶点为 P，PAB 的面积为 8。求其解析式。解将（ 0，-3）代入 y=cbxx2得 c=-3. 由弦长公式，得122bAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

7、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料点 P 的纵坐标为4122b由面积公式，得. 8412122122bb解得.2b因对称轴在y 轴的右侧 , b=-2.所以解析式为y=322xx八、几何型例8 已知二次函数y=2x-mx+2m-4 如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。解由弦比公式，得AB=4)42(42mmm顶点 C 的纵坐标为 -4)4(2mABC 为等边三角形43214)4(2mm解

8、得 m=4, 32故所求解析式为y=, 344)324(2xx或 y=344)324(2xx九、三角型例 9 已知抛物线y=cbxx2的图象经过三点（0，2512） 、 （sinA， 0） 、 （sinB，0）且A、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。解A+B=900， sinB=cosA.则由根与系数的关系，可得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料cAAbAA

9、cossincossin将（ 0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2,得, 125242b57b-b,0 b=-57所以解析式为y=2512572xx十、综合型例 10 如图 2，已知抛物线y=-qpxx2与 x 轴交于 A、B 两点 ,与 y 轴交于 C 点，若 ACB=900，且 tgCAO-tg CBO=2，求其解析式解设 A，B 两点的横坐标分别为x21,x,则 q=(-x.)21OBOAx由AOCCOB，可得 OC2=OAOB，q2=q 解得 q1=1,q2=0（舍去），又由 tgCAO-tg CBO=2 得2OBOCOAOC精品资料 - - - 欢迎下载 - -

10、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料即21121XXx1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2 所以解析式为y=-x2+2x+1 函数及其图象例 1. 二 次 函 数 性 质 的 应 用例 2. 利 用 二 次 函 数 性 质 求 点 的 坐 标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页

11、- - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料例 3. 求 二 次 函 数 解 析 式例 4. 求 二 次 函 数 解 析 式二 、 同 步 测 试三 、 提 示 与 答 案- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例 6. 已 知 抛 物 线 y =ax2+b

12、x +c 如 图 所 示 ， 对 称 轴 是 直 线x =- 1( 1) 确 定a. b. c. b2- 4 ac 的 符 号 ，( 2) 求 证a- b+c o;( 3) 当x 取 何 值 时 ， y 随x 值 的 增 大 而 减 小 。解 ： ( 1) 由 抛 物 线 开 口 向 上 ， 得 出a 0， 由 抛 物 线 与y 轴 交 点 坐 标 为 ( O， C) ， 而 此 点 在 x 轴 下方 ， 得 出c 0， 又 由 抛 物 线 的 对 称 轴 是 x =- 1， 在y 轴 左 侧 ， 得 出 b 与 a 同 号 b 0。抛 物 线 与x 轴 有 两 个 交 点 ， 即ax2+bc

13、 +c =0 有 两 个 不 等 的 实 根 ， b2- 4a c 0( 2) 当x =- 1 时 ， y =a- b +c 0( 3) 当x - 1 时 ， y 随 x 值 的 增 大 而 减 小 。例 7. 已 知 y 是x 的 二 次 函 数 ，且 其 图 象 在 x 轴 上 截 得 的 线 段AB 长4 个 单 位 ，当x =3 时 ， y 取 得最 小 值 - 2。( 1) 求 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式( 2) 若 此 函 数 图 象 上 有 一 点P，使 PAB 的 面 积 等 于12个 平 方 单 位 ， 求P 点 坐 标 。分 析 ： 由 已 知 可 得 抛 物

14、线 的 对 称 轴 是 直 线x =3， 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 ， 又 由 抛 物 线 在x 轴 上 截得 线 段AB 的 长 是 4， 可 知 其 与x 轴 交 点 为 ( 1， 0) ， ( 5, 0)解 ： ( 1) 当x=3 时y 取 得 最 小 值 - 2. 即 抛 物 线 顶 点 为 ( 3， - 2). 设 二 次 函 数 解 析 式 为y =a( x - 3)2- 2又 图 象 在x 轴 上 截 得 线 段 AB 的 长 是4， 图 象 与 x 轴 交 于 ( 1， 0) 和 ( 5， 0) 两 点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

15、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料 a( 1 - 3)2- 2=0 a= 所 求 二 次 函 数 解 析 式 为y=x2- 3x +( 2) PAB 的 面 积 为 12 个 平 方 单 位 ， AB =4 4 Py =12 Py =6 Pg= 6但 抛 物 线 开 口 向 上 ， 函 数 值 最 小 为 - 2， Py =- 6 应 舍 去 ， Pg=6又 点P 在 抛 物 线 上 ， 6=x2- 3x +x1=- 1, x2

16、=7即 点P 的 坐 标 为 ( - 1， 6) 或 ( 7， 6 )说 明 ： 此 题 如 果 设 图 象 与x 轴 交 点 横 坐 标 为 x 1， x 2， 运 用 公 式 x1- x2 =， 会使 运 算 繁 琐 。 这 里 利 用 抛 物 线 的 对 称 性 将 线 段 长 的 条 件 转 化 为 点 的 坐 标 ， 比 较 简 便 。例 8. 如 图 ，矩 形 EFGH 内 接 于 ABC。E、F 在 AC 边 上H、G 分 别 在 AB、BC 边 上 ，AC=8c m, 高 BD=6c m,设 矩 形 的 宽HE 为 x ( c m) 。试 求 出 矩 形 EFGH 的 面 积y

17、 ( cm2) 与 矩 形 EFGH 的 宽x ( cm) 间 的 函 数 关 系式 ， 并 回 答 当 矩 形 的 宽 取 多 长 时 ， 它 的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ?解 ： 四 边 形EFGH 是 矩 形 HG AC ABC HBG设 BD 交HG 于M则 BD 与BM 分 别 是 ABC 和 HBG 的 高 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系

18、网站删除学习资料 HG AC, MD=HE=x , BM=6- x, HG= y =S矩 形EF GH=HE* HG y =x *整 理 得y =-x2+8x BD=6 自 变 量x 的 取 值 范 围 是0 x 6 x2的 系 数 为 - 0， y 有 最 大 值当x =-= 3 时 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料y最 大 值=12 所 求 函 数 的 解

19、 析 式 为y=-x2+ 8x ( 0 x 6) ， 当 它 的 宽 为3c m 时 ， 矩 形EFGH 面 积 最 大 ， 最大 面 积 为12cm2。例9. 二 次 函 数y=ax2+bx - 5 的 图 象 的 对 称 轴 为 直 线x=3， 图 象 与 y 轴 相 交 于 点B， 设x 1, x 2是 方 程ax2+bx - 5=0 的 两 个 根 ， 且 x 12+x 22=2 6, 又 设 二 次 函 数 图 象 顶 点 为A，( 1) 求 二 次 函 数 的 解 析 式( 2) 求 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离解 ( 1) 如 图 -=3 -=6又 x1+x2=-=6

20、x1* x2=-由 已 知 ， 有 x 12+x 22=2 6，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料 ( x1+x 2)2- 2x 1x 2=26即 ( -)2+= 26,= 26- 36解 得 a=- 1 解 析 式 为 y =- x2+6x - 5 =- ( x - 3)2+4( 2) OB=5, OC=4, AC=3 AB=3又OA=5 AOB 为 等 腰

21、三 角 形 ， 作OD AB 于D， BD= OD=,即 原 点O 到 直 线 AB 的 距 离 为三 、 同 步 测 试 ：选 择 题 ：1. 如 果 点P( 3m- p, 1- m) 是 第 三 象 限 的 整 数 点 ， 那 么 P 点 坐 标 是 ()( A).( - 2， - 1)( B) ( - 3， - 1)( C) ( - 3， - 2 )( D) ( - 4， - 2)2. 若 点P( a, b) 在 第 二 、 四 象 限 两 轴 夹 角 平 分 线 上 ， 则a 与b 的 关 系 是 ( )( A) a= b( B) a=- b( C) a= b( D) a =b精品资料

22、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料3. 点P( x , y ) 在 第 二 象 限 ， 且 x =2， y =3, 则 点 P 关 于x 轴 对 称 点 的 坐 标 为 ()( A) ( - 2， 3)( B) ( 2， - 3)( C) ( - 2， - 3)( D) ( 2， 3)4. 函 数y =中 ， 自 变 量x 的 取 值 范 围 是 ()( A) x 2(

23、 B) x 2( C) x 2( D) x 25. 函 数y =中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ()( A) x - 2 且x 1( B) x - 2 且x 1( C) x - 2 且x 1( D) x - 2 或 x 16. 在 下 列 函 数 中 ， 成 正 比 例 函 数 关 系 的 是 ()( A) 圆 的 面 积 与 它 的 周 长( B) 矩 形 面 积 是 定 值 ， 矩 形 的 长 与 宽( C) 正 方 形 面 积 与 它 的 边 长( D) 当 底 边 一 定 时 ， 三 角 形 面 积 与 底 边 上 的 高7. 函 数y =k ( x- 1) 与y=(

24、k o) 在 同 一 坐 标 系 下 的 图 象 大 致 如 图 ()8. 如 果 直 线y =k x +b 的 图 象 过 二 、 三 、 四 象 限 ， 那 么 ()( A) k 0, b 0( B)k 0， b 0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料( C) k 0， b 0( D) k 0， b 09. 对 于 抛 物 线y =-+x - x2， 下 列

25、结 论 正 确 的 是 ()( A) 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 是 (， 0)( B) 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 是 (， 0)( C) 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 是 ( -，)( D) 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 是 ( -， -)10. 若a 0, b 0 则 函 数y =ax2+bx 的 图 象 是 下 面 图 中 的 ()11. 已 知 ： 二 次 函 数y =ax 2+bx +c 的 图 象 如 图 ， 则 ()( A) a 0, b 0,c 0 , 0( B) a 0, b 0,c 0 , 0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

26、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料( C) a 0, b 0,c 0 , 0( D) a 0, b 0,c 0 , 012. 把 函 数y =2 x2- 4x - 5 的 图 象 向 左 平 移2 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 3 个 单 位 后 ， 所 得 到 的 函 数 图 象的 解 析 式 为 ()( A) y = 2x2+4 x - 8( B) y = 2x2- 8x +8( C) y = 2x2+

27、4 x - 2( D) y = 2x2- 8x - 2填 空 题13. 点A(， - 5) 到 x 轴 的 距 离 是 _； 到 y 轴 的 距 离 是 _； 到 原 点 的 距 离 是 _ _.14. 直 线y=k x+ b 与 直 线y =-x 平 行 ， 且 通 过 点 ( 2， - 3) ， 则k=_， 在y 轴 上 的 截 距 为 _.15. 一 次 函 数 的 图 象 经 过 ( 1， - 5) 点 且 与 y 轴 交 于 ( 0， - 1) 点 ， 则 一 次 函 数 的 解 析 式 为 _.16. 已 知 抛 物 线 的 顶 点 为M( 4，8) 且 经 过 坐 标 原 点 ，

28、则 抛 物 线 所 对 应 的 二 次 函 数 的 解 析 式 为 _.解 答 题 ：17. 一 次 函y =x +分 别 与x 轴 ， y 轴 交 于 点 A， B， 点C( 0, a) 且a 0， 若 BAC 为 直 角 ， 求图 象 过 点C 与 点A 的 一 次 函 数 解 析 式 。18. 已 知 如 图 ， 在 ABC 中 ， AB= 4， AC=6, D 是 AB 边 上 一 点 ， E 是AC 边 上 一 点 ， ADE= C, 设DB=x , AE=y 。( 1) 求 出y 与x 的 函 数 关 系 式 ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

29、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料( 2) 画 出 这 个 函 数 图 象 。19. 在 直 角 坐 标 系 x oy 中 ， 直 线l过 点 ( 4， 0) ， 且 与x， y 轴 围 成 的 直 角 三 角 形 面 积 为8， 一 个二 次 函 数 图 象 过 直 线l与 两 坐 标 轴 的 交 点 ， 且 以x =3 为 对 称 轴 ， 开 口 向 下 。 求 二 次 函 数 的 解 析式 及 函 数 的 最 大 值 。20

30、. 已 知 抛 物 线y =x2- mx +( 2m+3) ( m 是 不 小 于 - 2 的 整 数 ) 与x 轴 相 交 于 A、 B 两 点 ，且A、 B 两 点 间的 距 离 恰 是 顶 点 到y 轴 距 离 的2倍 。( 1) 求 这 条 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；( 2) 如 果D( t , 2 ) 是 抛 物 线 上 一 点 且 在 第 一 象 限 ， 求 D 点 坐 标 。四 . 提 示 与 答 案1. B 2. B3. C 4. B5. C 6. D7. A8. D9. B 1 0. C 11. B12. A 1 3. 5， 3， 214. -， - 215. y

31、 =- 4x - 116. y =-x2+4x17. y = -x -18. ( 1 ) y =-x+( 0 x 4) ； ( 2) 图 略19. y = -x2+ 3x- 4, 最 大 值 为.20. ( 1 ) y =x2+2x- 1; ( 2) D( 1, 2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -