2022年北京市中学生数学竞赛高中一级初赛试题.docx

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1、精品学习资源2021 年北京市中同学数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答 2 0 1 7 年 4 月 9 日 选 择 题 答 案123456AABDCD欢迎下载精品学习资源填空题答案12345678欢迎下载精品学习资源24825041242410145一、 选择题1集合 A=2, 0, 1, 7 ， B=x| x 2- 2A, x - 2A ，就集合 B 的全部元素之积为 A 36 B54C72D108 答： A 解：由 x 2- 2A ，可得 x2 =4， 2， 3， 9，即 x=2，2 ，3 ， 3 又由于 x- 2A ，所以 x2，x3，故 x= - 2，2 ，3 ， - 3因此，集合B=

2、 - 2, -2 ,2 , -3 ,3 ， - 3 所以，集合B 的全部元素的乘积等于 - 2 -2 2 -3 3 - 3=36 欢迎下载精品学习资源2已知锐角 ABC 的顶点 A 到它的垂心与外心的距离相等，就tanBAC=2欢迎下载精品学习资源 A 3B 32 C1D 3 2欢迎下载精品学习资源由于 AD ， CE 是 ABC 的高， KAB ， KCB 是直径 BK上的圆周角， 所以 KAB= KCB=90 于是 KA/CE ，KC/AD ，EK因此 AKCH 是平行四边形所以 KC=AH=AO=1 BK 2在直角 KCB中，由 KC= 1 BK ，得 BKC=60，所以 BAC= BK

3、C=60BODHC答： A 解：作锐角 ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点 H，锐角 ABC的垂心 H 也在形内A连接 BO 交 O 于 K ，BK 为O 的直径 . 连接 AK ，CK 2欢迎下载精品学习资源故 tanBAC= tan302= 3 3欢迎下载精品学习资源3将正奇数的集合 1, 3, 5, 7, 从小到大按第 n 组 2n- 1 个数进行分组： 1 ，3, 5, 7 ，9, 11,13, 15, 17 ，数 2021 位于第 k 组中，就 k 为 A 31B32C33D34 答： B.解：数 2021 是数列 an= 2n - 1 的第 1009

4、 项设 2021 位于第 k 组，就1+3+5+ +2k - 1 1009，且 1+3+5+ +2k - 3 1009欢迎下载精品学习资源即 k 是不等式组k 21009k121009的正整数解，解得k =32 ，所以 2021 在第 32 组中欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14如图，平面直角坐标系x-O-y 中， A, B 是函数 y =x在第 I 象y1y =欢迎下载精品学习资源限的图象上两点，中意OAB=90的面积等于且 AO = AB ，就等腰直角 OABxA欢迎下载精品学习资源 A 12答： D B2 2 C3 2 D5 B2Ox欢迎下载精品学习资源解：依题意， OAB=9

5、0且 AO = AB ， AOB= ABO=45过点 A 做 y 轴垂线交 y 轴于点 C，欢迎下载精品学习资源过点 B 做 y 轴平行线，交直线CA 于点 D 易见 COA DAB y1y =欢迎下载精品学习资源设点 Aa,11，就点 Ba +,aa1- aaxCAD欢迎下载精品学习资源由于点 B 在函数 y = 1xa2=1的图象上， 所以 a + 1a11- a=1 ，即 2 -BaaOx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此 SABC =1 OA 2= 1 1222a+ a2 = 1 122a2 25a 42欢迎下载精品学习资源5已知 f x = x5 + a1x 4 + a2x

6、 3 + a3x 2 + a4x + a5，且当 m =1, 2, 3, 4 时，f m=2021m ，就 f 10 - f - 5= A 71655 B75156C75615D76515 答： C解： 由于 当 m =1, 2, 3, 4 时， f m=2021m ，所以 1, 2, 3, 4 是方程 f x - 2021x=0 的四个实根， 由于 5 次多项式 f x - 2021x 有 5 个根，设第 5 个根为 p，就f x - 2021x = x - 1x- 2x - 3x - 4x - p即f x = x - 1x - 2x - 3x - 4x - p+2021x 所以 f 10=

7、9 87610- p+2021 10， f - 5= - 67895+p - 2021 5，因此 f 10- f - 5=159876+2021=75615 | x |, xa,欢迎下载精品学习资源6已知函数f xx24ax2a,假设存在实数m，使得关于 x 的方程 f x=m 有四xa.欢迎下载精品学习资源个不同的实根，就a 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源 A a答： D1B a71 C a611D a54欢迎下载精品学习资源解：要使方程 fx=m 有四个不同的实根，必需使得y=m 的图像与 y=fx 的图像有 4 个不同的交点 而直线与 y=|x| 的图像及二次函数的图像交点都是最多为两

8、个，所以 y=m 与函数 y=|x|, x a 的图像和 y=x 2- 4ax+2a, x a 的图像的交点分别都是2 个而存在实数 m，使 y=m 与 y=|x|, xa 的图像有两个交点，需要a 0，此时 0m a；又由于欢迎下载精品学习资源y=x 2- 4ax+2a, x a 顶点的纵坐标为42a44a 2，所以， 要 y=m 与 y=x2 - 4ax+2a, x a 的图像有两欢迎下载精品学习资源个交点，需要 m42a44a2欢迎下载精品学习资源因此 y=m 的图像与 y=fx 的图像有 4 个不同的交点需要中意：欢迎下载精品学习资源解得 a1 40 m a 且 m42a44a 2，欢

9、迎下载精品学习资源二、 填空题欢迎下载精品学习资源1. 用x 表示不超过 x 的最大整数，设答： 24S12399 ，求 S 的值欢迎下载精品学习资源解：由于 121, 2, 322，所以 11 ,2 ,3 2，因此1231 ，共 3 个 1；同理， 22 4, 5, 6, 7, 8 32，因此， 456782 ，共 5 个 2；又 32 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1542，因此 910=153 ，共 7 个 3；依次类推，161723244 ，共9 个 4；252634355 ，共11 个 5；363747486 ，共13 个 6；495062637 ，共15 个 7；6

10、46579808 ，共17 个 8；818298999 ，共19 个 9.S = 123 + 45678 + + 8199 = 1 3+2 5+3 7+4 9+5 11+6 13+7 15+8 17+9 19=615 由于 242=576615=S 625=25 2，即 24S 25，所以， S =24 1111112确定 2021 log2 2021 2021 log4 2021 2021 log8 2021 2021 log16 2021 2021 log32 2021 5 的值答： 8欢迎下载精品学习资源解：原式 =202115log 2021 2log2021 4log 2021 8l

11、og2021 16log 2021 322021202120212021欢迎下载精品学习资源11=2 481632 5 = 2 122 232425 511欢迎下载精品学习资源=2 1+2+3+4+55 =2 15 5 =23=8欢迎下载精品学习资源3. 已知 ABC 的边 AB=29 厘米， BC=13 厘米， CA=34 厘米，求 ABC 的面积答：平方厘米AP解：留意到13=32+2 2， 29=52+22， 34=52+3 2，作边长为 5 厘米的正方形 AMNP ，分成 25 个 1 平方厘米的正方形网格，如图依据勾股定理，可知， AB=29 厘米， BC=13 厘米， CA=34

12、厘米，因此 ABC 的面C积可求MBN欢迎下载精品学习资源 ABC 的面积 =55- 12135-2125-223=9.5平方厘米 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设函数答： 2f x x12ln xx21122x的最大值为 M ，最小值为 N ，试确定 M+N 的值欢迎下载精品学习资源解：由已知得由于f x12xlnx1xx21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2lnx21xlnx21xlnx 21xx 21x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源= lnx21x ln10 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2所以 lnx21xlnx21x ，欢迎下载精品学习资

13、源欢迎下载精品学习资源因此，lnx1x 是奇函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源进而可判定，函数g x2xlnx212x为奇函数欢迎下载精品学习资源x1就 gx 的最大值 M 1 和最小值 N 1 中意 M 1+N 1= 0 由于 M =M 1+1 ， N = N 1+1，所以 M + N = 2 5. 设 A 是数集 1, 2, , 2021 的 n 元子集， 且 A 中的任意两个数既不互质， 又不存在整除关系， 确定 n 的最大值答： 504解：在数集 1, 2, , 2021 中选取子集， 使得子集中任意两个数不互质， 最大的子集是偶数集 2, 4, , 2021 共 1008

14、个元素，但其中，有的元素中意整除关系，由于 1010 的 2 倍是 2021，所以集合A=1010, 1012, 1014, , 2021 中，任意两个数既不互质， 又不存在整除关系， A 中恰有 504 个元素事实上 504 是 n 的最大值由于假设从 1009, 1011, , 2021 中任取一个奇数， 会与 A中的与它相邻的偶数互质；假设从1,2, 3, , 1008 中任取一A数，就它的 2 倍在 A 中，存在整除关系D6. 如图，以长为 4 厘米的线段 AB 的中点 O 为圆心、 2 厘FOECB欢迎下载精品学习资源米为半径画圆， 交 AB 的中垂线于点 E 和 F. 再分别以 A

15、 、B 为圆心， 4 厘米为半径画圆弧交射线AE 于点 C，交射线 BE 于点 D. 再以 E 为圆心 DE 为半径画圆弧 DC ，求这 4 条实曲线弧连接成的“卵形” AFBCDA 的面积圆周率用 表示，不取近似值答： 12- 42 -4 平方厘米欢迎下载精品学习资源解：半圆 O, 2 的面积 = 1222=2 欢迎下载精品学习资源由于 AO=OB=2 ，所以 AB=AC=BD=4， AE=BE=22 ， ED=EC=4 - 22 又 AEB= CED=90 ， EAB = EBA=45 ，欢迎下载精品学习资源因此，扇形 BAD 的面积 =扇形 ACB 的面积 = 1 42=2， AEB 的

16、面积 = 142=4 ，直角扇形欢迎下载精品学习资源EDC 的面积 = 14824- 22 2= 6 -42 ，欢迎下载精品学习资源卵形 AFBCDA 的面积 = 半圆 O, 2 的面积 +扇形 BAD 的面积 +扇形 ACB 的面积- AEB 的面积 +直角扇形 EDC 的面积= 2 +22-4+6 -42 = 12 - 42 -4平方厘米 x2欢迎下载精品学习资源7. 已知f xx2100x，求 f 1+f 2+ +f 100的值5000欢迎下载精品学习资源答： 101解：设 gx = x 2- 100x+5000 ，就g100- x = 100 - x 2- 100100 - x+500

17、0=100 2- 200x+x 2 - 1002+100x+5000= x 2- 100x+5000= gx ，即 gk = g100 - k2222欢迎下载精品学习资源所以 f k + f 100- k =kg k 100kk=g 100k 100gk k=2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又f 50 =502502100505000 =1，f 100 = 10021002=2.1001005000欢迎下载精品学习资源所以， f 1+ f 2+ + f 100= f 1+ f 99+ f 2+ f 98+ + f 49+ f 51+ f 50+ f 100= 2 49+1+2=10

18、1 8如图，在锐角ABC 中， AC = BC = 10 ，D 是边 AB 上一点， ACD 的内切圆和 BCD 的与 BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求 AB 的长答： 45 解：线段 AB 被两圆与 AB 的切点及点 D 分成四段，由于两圆半B径相等，再依据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为 a, b, b, c，由于圆 O2 的切线长 CE = CG ，所以 BC+a =D CD+b = AC - c+b+b，而 AC = BC ，所以 a+c = 2b CA欢迎下载精品学习资源由等角关系可得AOEB1F O2BE，得O1FBE2a，即，由AFO2Ec2欢迎

19、下载精品学习资源a O2bGDb此推出 ac = 4分别运算 BCD 和 ACD 的面积：11欢迎下载精品学习资源O1cCFAS BCD所以2 BCCDBD ,2S ACD2 ACCDAD 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S ACDS BCDADBDABac2b4b.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又设由 C 引向 AB 的高为 h，可得11222欢迎下载精品学习资源S由、两式可得ACDS BCDcah22ca4ac102b欢迎下载精品学习资源4b1ca 24224ac1022b2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将 a+c = 2b， ac = 4 代入，化简得 b25b1000欢迎下载精品学习资源解得 b2=5 或 b2=20 ，即 b =5 或 b = 25 ，负根舍 于是， AB = a+c+2b = 4b = 45 ，或 AB = 85 假设 AB = 85 ， ABC 为钝角三角形，不合题设ABC 是锐角三角形的要求 所以 AB 的长为 45 欢迎下载