2022年最全面二项式定理重点知识点总结.docx

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1、名师总结优秀学问点二项式定理一、二项式定理：第 12 页,共 11 页nnabC0anC1 an 1bCk ankbkCnbn （ nN）等号右边的多项式叫做nnnCnab的二项绽开式,其中各项的系数k k0,1,2,3n 叫做二项式系数；n对二项式定理的懂得：（1） 二项绽开式有n1项（2） 字母 a 按降幂排列,从第一项开头,次数由n 逐项减 1 到 0；字母 b 按升幂排列,从第一项开头,次数由0 逐项加 1 到 n（3） 二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a, b,等式都成立,通过对a,b 取不同nnn的 特 殊 值 , 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 ； 在

2、 定 理 中 假 设 a1,bx , 就nn1xC0 xnC1 xCk xn kCnxn （ nN）（4） 要留意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式ab绽开,得到一个多项式；nn另一方面,也可将绽开式合并成二项式ab n二、二项绽开式的通项：Tk 1C k ank bk二项绽开式的通项Tk 1Ck ankbk k0,1,2,3n 是二项绽开式的第k1 项,它表达了n二项绽开式的项数、 系数、次数的变化规律, 是二项式定理的核心,它在求绽开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项Tk 1C k ank bk k0,1,2,3n 的

3、懂得：n（1） 字母 b 的次数和组合数的上标相同（2） a 与 b 的次数之和为 n（3） 在通项公式中共含有a, b, n, k,Tk1 这 5 个元素,知道 4 个元素便可求第 5 个元素Cnn例 113C 29Cnn 1nC3n 等于（）n3A 4B； 3 4 n4 nC；134 n1D.3例 2（ 1）求12 x 7 的绽开式的第四项的系数；（ 2）求 x1 9的绽开式中xx3 的系数及二项式系数三、二项绽开式系数的性质：对称性：在二项绽开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C 0C n ,C 1C n 1 ,C 2C n 2 ,C kC n k ,nnnnnnnn增

4、减性与最大值：在二项式绽开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值；假如二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n 偶数：nCC；k2nmaxn假如二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并最大,即kCn01n maxn 1Cn 2n 1Cn 2二项绽开式的各系数的和等于2 ,令 a1, b1即nnn11 n2 n ；CCCn 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 , 令 a1 , b1 即CCCC0213nnnn2n 1例题： 写出 x11y的绽开式中：（1） 二项式系数最大的项；（2） 项的系数肯定值最大的项；（3）

5、 项的系数最大的项和系数最小的项；（4） 二项式系数的和；（5） 各项系数的和四、多项式的绽开式及绽开式中的特定项（1） 求多项式a1a2a n 的绽开式,可以把其中几项结合转化为二项式,再利用n二项式定理绽开；例题： 求多项式x2123 的绽开式x2（2） 求二项式之间四就运算所组成的式子绽开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通项再分析；例题： 求 1x2 1x5 的绽开式中x3 的系数例题：（ 1）假如在n1x的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的有理项；24 x（ 2）求x12 x3的绽开式的常数项；【思维点拨】求绽开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定k

6、五、绽开式的系数和求绽开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的挑选就依据所求的绽开式系数和特点来定例题： 已知12 x7aa xa x2a x7 ,求：0127（1） a1a2a7 ；（ 2） a1a3a5a7 ；（3） | a0| a1 | a7 | .六、二项式定理的应用：1、二项式定理仍应用与以下几方面：（1） 进行近似运算（2） 证明某些整除性问题或求余数（ 3）证明有关的等式和不等式；如证明：2 n2 n n3, nN 取 2n11的绽开式n中的四项即可；2、各种问题的常用处理方法n（1） 近似运算的处理方法当 n 不是很大, | x | 比较小时可以用绽开式的前几项求1x 的近似值；例

7、题：1.056 的运算结果精确到0.01 的近似值是（）A 1.23B1.24C1.33D 1.34（2） 整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题,必需构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数的倍数与某数 k 的和或差的形式, 再利用二项式定理绽开,这里的 k 通常为 1,如 k 为其他数,就需对幂的底数 k 再次构造和或差的形式再绽开,只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要留意余数的范畴, 对给定的整数a,bb0 ,有确定的一对整数q 和 r ,满意 abqr ,其中 b 为除数, r 为余数, r0, b,利用二项式定理绽开变形后,如剩余部分是负

8、数,要留意转换成正数例题： 求 202263 除以 7 所得的余数n例题： 如 n 为奇数,就 7 nC 1 7n 1C 2 7 n 2n 1 7 被 9 除得的余数是（）nCnA 0B；2C；7D.8例题： 当 nN 且 n 1,求证 211 n3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题,它的取舍依据题目而定综 合 测 试6一、挑选题：本大题共12 个小题,每道题 5 分,共 60 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的.61. 在 x103的绽开式中,x 的系数为（）10A. 27C6B. 27C 4C10D 9C 4109C102. 已知 ab0,b4a, ab n 的绽

9、开式按 a 的降幂排列, 其中第 n项与第 n+1 项相等,那么正整数 n 等于（）A4B9C10D 113. 已知（a1 n的绽开式的第三项与其次项的系数的比为11 2,就 n 是 （）3 a 2A 10B11C12D 1345310 被 8 除的余数是（）A1B2C3D 75. 1.056 的运算结果精确到0.01 的近似值是（）A 1.23B1.24C1.33D 1.346. 二项式2xn1nN的绽开式中,前三项的系数依次成等差数列,就此绽开4 x式有理项的项数是（）A 1B2C 3D 4117设 3x 3 +x 2 n 绽开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,如 t+h=2 7

10、2,就绽开式的 x 2 项的系数是（）A 1B1C2D 328在 1xx 2 6 的绽开式中x5 的系数为（）A 4B5C6D 7x9 3 15 1 n 绽开式中全部奇数项系数之和等于1024,就全部项的系数中最大的值是x（）A330B462C680D 79010. x1 4 x15 的绽开式中,x4 的系数为（）A 40B10C40D 4511. 二项式 1+sinxn 的绽开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为5 ,2就 x 在0 , 2 内的值为（）A. 或63B. 或 5C6625或D或333612在 1+x5 +1+x6+1+x7 的绽开式中 ,含 x4 项的系数是等

11、差数列an=3n 5 的（）A第 2 项B第 11 项C第 20 项D第 24 项二、填空题：本大题满分16 分,每道题 4 分,各题只要求直接写出结果.13 x 21 92 x绽开式中940x 的系数是.14. 如 2x43a 0a1xa x4 ,就 a2a2a 4a1a32 的值为.15. 如 x3x 2 n 的绽开式中只有第6 项的系数最大,就绽开式中的常数项是.16. 对于二项式 1-x 1999 ,有以下四个命题：10001999绽开式中 T= C1000 x 999 ；绽开式中特别数项的系数和是1；绽开式中系数最大的项是第1000 项和第 1001 项；当 x=2000 时, 1-

12、x 1999 除以 2000 的余数是 1其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74 分.17（ 12 分）如 6x1 n绽开式中其次、三、四项的二项式系数成等差数列6 x（） 求 n 的值；（）此绽开式中是否有常数项,为什么？18 （ 12 分）已知 12 x n 的绽开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数19（ 12 分） 是否存在等差数列an ,使 a C0a C1a C 2aCnn2n 对任意1n2n3nn 1nnN*都成立？如存在,求出数列an的通项公式；如不存在,请说明理由20（ 12 分）某地现有耕地 100

13、000 亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高 10%；假如人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能削减多少 亩（精确到 1 亩）？21. （12 分）设 fx=1+xm+1+xnm、nN ,如其绽开式中,关于x 的一次项系数为11, 试问： m、n 取何值时, fx的绽开式中含x2 项的系数取最小值,并求出这个最小值.m22（ 14 分）规定 Cxx x1 x m.m1 ,其中 xR, m 是正整数,且01 ,这是Cnx组合数Cm （ n、m 是正整数,且 m n）的一种推广15(1) 求 C 3的值；(2) 设 x,当 x 为何值时,3CxxC 1 2取得最小值？C(3) 组合数的两个性质；CCmnnnm .mm 1mCC.n n 1n是否都能推广到Cm （ xR,m 是正整数）的情形？如能推广,就写出推广的形式x并给出证明；如不能,就说明理由.