2022年最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题 .docx

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1、函数及基本性质一、 函数的概念（1） 设 A 、B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数x ,在集合 B 中都有唯独确定的数f x 和它对应, 那么这样的对应 （包括集合 A , B 以及 A 到B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作f : AB （2） 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就留意 1： 只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数例 1判定以下各组中的两个函数是同一函数的为（） y1 x3 x5, y2x5 ；x3 y1x1x1 , y2 x1 x1 ； f xx , g xx 2 ； f x3 x4x3

2、, F xx 3 x1 ； f 1 x2 x5 2 ,f 2 x2x5 ；A、B、CD、2： 求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数如：f x3x24x9 , xR f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数如：f x5, x23x6 f x 是偶次根式时, 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合如 f x3x 24 x1 ,x1 或x1 3对数函数的真数大于零f xlog ax, x0 ,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1；如：f xlog 1x222 x5 ytan x 中, xkkZ 2零（负）指数幂的底数不能为零如：

3、f x 2x3 2如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集如：y2log 2 2x对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x的定义域为 a, b ,其复合函数f g x 的定义域应由不等式ag xb 解出如：f x的定义域是2,8 ,f 2x的定义域为 22x8对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论例：求函数 fxlg xklg1x 的定义域；有实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义例2.函数 y x10的定义域是_xxx 211x 2例3.求 y的定义域x

4、1例4.考点 3：求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的；事实上, 假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同；求函数值域与最值的常用方法：观看法： 对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值“直线类、反比例函数类”；一次函数的值域：R反比例函数：y / y0配方法： 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值；“二次函数”用配方法求值域；例 5：求函数 yx 26 x5 的值域；判别式法：行如a1 x2ya2 x2b1

5、x b2 xc1a1 , a2不同时为零c2的函数用判别式法求值域；例 6：求函数 yx1 的值域；x不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值（一正二定三相等）；换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；行如：y1的函数,可令f xfxt ；行如 yaxbcxd ac0 的函数, 可令 tcxd；行如 ya 2x 2的函数,可令 xa cos,0,或令 xa sin,22例 7：求函数 y2 x4 1x 的值域；反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值；形如 ycxd aaxb0 的函数用反函数法求值域；例 8：求 y3x1 的值域；x2数形结合

6、法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值；函数的单调性法；例 9：求函数 yx1x4 的值域；法一（数形结合法）： 法二（单调性）：练习 1 求以下函数的值域（ 1） y3x4x（ 2） y52 x24 x3（ 3） y12xx例 10 已知函数f xax22ax3ba0 在1,3 有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值；练习 2 设,是方程4x24mxm20, xR 的两实根 , 当 m 为何值时 ,22 有最小值 .求出这个最小值 .（ 3）函数的表示法：解析法（用数学表达式表示两个变量间的对应关系）、列表法（列出表格来表示两个变量间的对应关系）、图像法（用图像来表示两个

7、变量间的对应关系）二、函数的基本性质（ 1）函数的单调性定义：函数的性 质定义图象判定方法假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x 2, 当 x1x 时,都有 fxfx ,y y=fX（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性2 1 2fx2 那么就说fx在这个区间上是 增函数ofx1 x1x2 x（ 3 ）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）函数的（ 4）利用复合函数单调性（ 1）利用定义假如对于属于定义域I 内（ 2）利用已知函数的某个区间上的任意两个yy=fX单调性自变量的值 x 1、x 2,当 x1fx2,那么就说fx在这个区间上是 减函数ofx1 x1f

8、x2 x2x（ 3 ）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数 判别方法： a.定义法：例 11：已知函数yf x 的定义域为 R ,且对任意a,bR ,都有f abf af b ,且当 x0 时,f x0 恒成立,证明：（ 1）函数yf x 是 R 上的减函数；（ 2）函数 yf x 是奇函数；b.性质法：“ fx 与fxcc为常数 有相同单调性 ”“ fx 与cfx c为常数 当 c0 时具有相同的单调性,当c0 时具有相反的单调性 ”“增 +增=增,减 +减=减,增 -减=增,减 -增=减”“当 fx 、g x都是增（减）函数,就fx g x当两者都恒大于0 时也是增（

9、减）函数,当两者都恒小于0 时也是减（增）函数 ”C.“ 同增异减 ”:对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ugx 为增,就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x为增；如yf u 为增, ug x 为减,就yf g x 为减； 如 yf u 为减, ug x为增,就yf g x 为减例 12：求函数 f x2x 2x 2 的单调区间；例 13：已知函数 f xlog 2 x 2ax3a在区间 2,上是增函数,求 a 的取值范畴； 打“”函数f xxa a xy0 的图象与性质f x 分别在 ,a 、a, 上为ox增函数,分别在 a,0、 0

10、,a 上为减函数（ 2）最大（小）值定义一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（ 1）对于任意的xI ,都有 f xM ；（ 2）存在 x0I ,使得f x0M 那么,我们称M 是函数f x的最大值,记作 fmax xM 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意： （ 1）对于任意的 xI ,都有 fxm；（ 2）存在 x0I ,使得f x0 m那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作f max xm（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法假如对于函数fx定义域内任意一个x,都有 f x=fx,那么（ 1）利用定义

11、（要先判肯定义域是否关于原点对称）函数的奇偶性函数 fx叫做 奇函数假如对于函数fx定义域内任意一个x,都有 f x=fx,那么函数 fx叫做 偶函数（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）留意： 如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数“偶偶=偶,

12、奇奇=奇,偶偶=偶,偶偶=偶,奇奇=奇,奇奇=奇,偶奇=奇,偶奇=奇”例 14： 设 a 为实数,函数f xx 2| xa |1, xR（1）争论 f x 的奇偶性；（ 2）求f x 的最小值；例 15 ：设函数f x 与g x 的定义域是xR 且 x1 , f x是偶函数 ,gx是奇函数 ,且f xg x1,求 fx1 x 和 g x 的解析式 .三、函数的图像（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数

13、的图象平移变换yf xyf xh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位k 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xhyf xk伸缩变换yf x01,伸1,缩yf xyf x0 A 1,缩A 1,伸yAf x对称变换yf xx轴yf xyf xy轴yf x原点yf xyf xyf x直线y x1yf xyf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |yf x保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y| f x |f x 与f 2ax的图象关于 直线xa 对称联想点（ x,y） ,2a-x,yf x 与f 2ax的图象关于 点a, 0 对称联想点（ x,y）,2a-x,0（ 2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性, 它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法；例 16