2022年北京市东城区第一学期高三级期末数学统一练习理科2.docx

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1、东城区 2021-2021 学年度第一学期期末教案统一检测高三数学（理科）学校班级姓名考号 本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷1 至 2 页，第二卷3 至 5 页，共 150 分；考试时长120 分钟；考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效；考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回；第一卷（挑选题共 40 分）一、本大题共 8 小题，每道题 5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；（ 1）设集合 A1,2 ，就满意 AB1,2,3的集合 B 的个数是（ A ） 1B 3 C 4 D 8（ 2）已知 a 是实数， ai 是纯虚数，就a 等于1i（ A ）1 （

2、 B ） 1 （C） 2 （ D）2（ 3）已知 an为等差数列，其前 n 项和为Sn ，如a36 ， S312，就公差 d 等于（ A ） 1（ B） 53（ C） 2（ D） 3（ 4）执行如下列图的程序框图，输出的k 的值为（ A ） 4（ B） 5（ C） 6（ D ） 7（ 5）如 a ， b 是两个非零向量，就“abab ”是“ ab ”的（ A ）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（ C）充要条件（ D ）既不充分也不必要条件x0,（ 6）已知 x ， y 满意不等式组yx0,y当 3s5 时，目标函数 z3 x2 y 的最大值s,y2x4.的变化范畴是（ A ） 6,15 （

3、B ） 7,15 （ C） 6,8 （ D） 7,81 / 11（ 7）已知抛物线y22 px 的焦点 F 与双曲线xy1 的右焦点重合，抛物线的准线2279与 x 轴的交点为 K ，点 A 在抛物线上且 | AK |2 | AF | ，就 AFK 的面积为（ A ） 4（ B） 8（C） 16（ D） 32（ 8）给出以下命题：在区间0,上，函数 yx11 , yx 2 , y x12 ,yx3 中有三个是增函数；如log m 3logn 30 ， 就 0nm1 ；如函数f x 是奇函数，就 f x1) 的图象关于点A1,0 对称；已知函数f x3x 2 ,x2,就方程f x1 有 2 个实

4、数根，其中正确命题的个数为2log3 x1, x2,（ A ） 1 （ B） 2 （ C） 3 （D ） 4第二卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每道题 5 分，共 30 分；y23y=3x2 / 11O1x（ 9）如sin3，且 tan0 ，就 cos513 / 11（ 10）图中阴影部分的面积等于（ 11）已知圆 C ： x2y26x80 ，就圆心 C 的坐标为；如直线 ykx 与圆 C 相切，且切点在第四象限，就k（ 12）一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的表面积为（ 13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价 p% ,其次次提价 q% ；方案乙

5、：每次都提价pq % ，如 pq 20 ，就提价多的方案是 .（ 14）定义映射f : AB ， 其中 A m,nm, nR ， BR ，已知对全部的有序正整数对 m,n 满意下述条件 : f m,11 ；如 nm ， f m, n0 ；f m1,nn fm, nf m, n1 ，就 f 2, 2， f n, 2三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；（ 15）（本小题共13 分）已知函数f x3sinxcos xcos2xa （）求f x 的最小正周期及单调递减区间；（）如f x 在区间 , 上的最大值与最小值的和为633 ，求 a 的值2（ 16

6、）（本小题共13 分）已知 an 为等比数列，其前 n 项和为Sn ，且 Sn2nanN* .（）求 a 的值及数列 an 的通项公式；（）如 bn2 n1an ，求数列 bn的前 n 项和Tn .（ 17）（本小题共14 分）如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ，DAB60 ， E 是 AB 的 中 点 ，MA 平 面A B C D，且在矩形 ADNM 中， AD（）求证： AC BN ；（）求证： AN / 平面 MEC ；（）求二面角 MECD 的大小 .2 ， AM3 7 7NMDC（ 18）（本小题共13 分）aAEB已知 aR ，函数f xln x1 x（）当 a1 时，求曲线y

7、f x 在点 2, f2处的切线方程；（）求f x 在区间 0,e 上的最小值（ 19）（本小题共13 分）在平面直角坐标系xOy 中，动点 P 到两点 3 ，0 ， 3，0 的距离之和等于4 ，设点 P 的轨迹为曲线 C ， 直线 l 过点（）求曲线 C 的轨迹方程；E 1,0且与曲线 C 交于 A ， B 两点（）是否存在AOB 面积的最大值，如存在，求出AOB 的面积；如不存在，说明理由 .（ 20）（本小题共14 分）已知实数组成的数组x1, x2 , x3, xn 满意条件：nxii 1n0 ；xi1 .i 1 当 n2 时，求x1，x2 的值；（）当 n3 时，求证：3x12x2x

8、31 ；（）设 a1a2a3an ,且 a1an n2 ，求证：nai xii 11 a12an .东城区 2021-2021 学年度第一学期期末教案统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、挑选题（本大题共8 小题，每道题 5 分，共 40 分）（ 1）C（ 2）B （ 3） C（ 4） A（ 5）C（ 6）D（ 7）D （ 8）C二、填空题（本大题共6 小题，每道题 5 分，共 30 分）（ 9）4（ 10） 1（ 11） 3,0524（ 12） 754 10 （ 13）乙（ 14） 2 2n2注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，其次个空填对得2 分三、解答题（本大题共6 小题，共

9、 80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）f x3 sin 2x21cos 2xa 2sin2 x6a1.23 分所以 T4 分由22k2 x322 k，得6kx623k故函数 f x 的单调递减区间是6k, 23k （ kZ ） 7 分（）由于6x，3所以6122x656所以sin2 x61 10由于函数 f x 在 ,63 上的最大值与最小值的和1a1 212a1 232所以 a0 13 分（ 16）（共 13 分）解：（）当n1 时， S1a12a.1 分当 n2 时， anSnSn 12n 1 .3 分分，由于 an 是等比数列，所以 a12a21 11，即 a11. a1 .5

10、分n 1*所以数列 an 的通项公式为an2nN .6 分（）由（）得b2n1a2n1 2n 1 .nn就 Tn1 1325227232n1 2n1 .2Tn123225232n3 2n 12 n1 2n . -得T1 12222222n 12n1 2n 9 分n122222n 12n1 2nn142n 112 n1 2n2 n3 23 .12 分所以 Tn2n3) 2n3.13 分（ 17）（共 14 分）解：（）连结 BD ，就 ACBD .由已知 DN平面 ABCD ，由于 DNDBD ，z所以 AC平面 NDB . 2 分又由于 BN平面 NDB ，N所以 ACBN .4 分M（） C

11、M 与 BN 交于 F ，连结 EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F所以 F 是 BN 的中点 .由于 E 是 AB 的中点，Dy所以 AN /EF .7 分C又 EF平面 MEC ，AN平面 MEC ，AEBx所以 AN / 平面 MEC . 9 分（）由于四边形ABCD 是菱形， E 是 AB 的中点，可得DEAB .如图建立空间直角坐标系Dxyz ，就D0,0,0， E3,0,0, C 0,2,0 ，3 7M 3,1, .7CE3, 2.0 ， EM0,1, 37 .10 分7设平面 MEC 的法向量为 n x, y, z .CEn0,就EMn0.3 x2 y0,所以37y

12、z0.7令 x所以 n2 .2,3,213.12 分又平面 ADE 的法向量 m0,0,1 ，所以 cosm,nm n1.m n2所以二面角 MECD 的大小是 60 . 14 分（ 18）（共 13 分）解：（）当 a1 时，f x1ln x x1 ， x 0, ，所以 f x11x1， x0, .2 分因此 fx221 4xx2即曲线 yf x 在点 2,f 2处的切线斜率为14. 4 分又 f 2ln 21 ，2所以曲线 yf x 在点 2, f2处的切线方程为yln 21 1 x2 ，即 x4 y244ln 240 6 分（）由于f xaln x1 ，所以f xa1xaxx2xx2令

13、f x0 ，得 xa 8 分如 a 0 ，就f x 0 ， fx 在区间0,e 上单调递增，此时函数f x无最小值如 0ae，当 x0, a 时，f x0 ，函数 fx 在区间 0, a 上单调递减，当 xa,e 时，f x0 ，函数 fx 在区间a,e上单调递增，所以当 xa时，函数f x 取得最小值 ln a 10 分如 a e ，就当 x0,e 时， fx0 ，函数 fx 在区间 0,e 上单调递减，所以当 xe时，函数f x 取得最小值a 12 分e综上可知，当 a 0 时，函数 fx 在区间 0,e 上无最小值；当 0ae 时，函数 fx 在区间0,e 上的最小值为 ln a ；当（

14、 19）（共 13 分）a e时，函数 fx 在区间 0,e 上的最小值为a 13 分e解.（）由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以 3 ，0 ， 3，0 为焦点，长半轴长为2 的椭圆3 分x22故曲线 C 的方程为y 415 分（）存在 AOB 面积的最大值 .6 分由于直线 l 过点E 1,0，可设直线 l 的方程为xmy1 或 y0 （舍）2xy21,就4xmy1.整理得 m24) y22my30 7 分由2m 212m240 设 A x1， y1，B x2， y2 m2m23m2m23解得 y12m4， y22m4就 | y2y1 |4m23m24由于 SAOB1OEy1y222m2

15、32m242110 分2m3m3设 gt 12t， tm3 ， t3 t就 gt 在区间 3, 上为增函数 43所以 gt3所以 SAOB3，当且仅当 m20 时取等号，即3S AOB max2AOB所以 S的最大值为313 分2（ 20）（共 14 分） 解：x1x2x1x20,11.2由（ 1）得 x2x1 ，再由（ 2）知x10 ，且x20 .当 x10 时， x20 .得 2 x1x1x11，所以x21 ,1 ,22 分1 .2当 x10 时，同理得x224 分1 .2（）证明：当n3 时，由已知 x1x2x30 , x1x2x3 =1.所以 3x12x2x3x12x1x2x3x3x1x3x1x31.9 分（）证明：由于a1aian ，且 a1an i1,2,3, n .所以 a1ai aiana1ai aian a1an ,即 a1 +a n2aia1an i1,2,3, n .11 分nai xii 1nai xii 11 na1xi2 i 11 nanxi2 i 11 n2 i 12aia1an xi1 n a12 i 1an2aixi1 n2 i 1 a1an xi 1na1anxi2i 11n1 aa .14 分2