2022年北京市西城区届高三二模试卷理科数学Word版含答案.docx

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1、北京市西城区 2021年高三二模试卷数 学（理科）2021.5第一卷（挑选题共 40 分）一、挑选题：本大题共8 小题，每道题 5 分，共 40 分 在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 18 / 151. 已知集合（）A x | x20 ， B x | xa，如 ABA ，就实数a 的取值范畴是（ A ） ,2（ B ） 2,（C） , 2（ D） 2,2. 在复平面内，复数z=12i 2 对应的点位于（）（ A ）第一象限（B ）其次象限（ C）第三象限（D ）第四象限x2y23. 直线 y2x 为双曲线 C： 221a0, b0 的一条渐近线，就双曲线C 的离心率ab是（ ）

2、（ A ） 5（ B ）523（C） 3（ D）24. 某四棱锥的三视图如下列图，记A 为此棱锥全部棱的长度的集合，就（）（ A ） 2 . A ，且 4 . A（ B ） 2 . A ，且 4 . A（ C） 2 .A ，且 25 . A44（ D） 2 . A ，且 17 . A1111正主视图俯视图侧左视图5. 设平面对量 a ， b ， c 均为非零向量，就“a bc0 ”是“ bc ”的（ ）（ A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件6. 如图，阴影区域是由函数ycos x的一段图象与 xy轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面

3、积是（）（ A ） 1（B ） 2（ C） 2O3 x 22（D ） 7. 在平面直角坐标系xOy 中，不等式组x0, y0, x y80所表示的平面区域是，不等式组0 x4,0 y10所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点Px, y ，就 P 为区域内的点的概率是（）1（ A ）43（ B ）53（ C）41（ D ）58. 设为平面直角坐标系xOy 中的点集，从中的任意一点 P作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 M ， N ，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为x，点 N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y .如是边长为 1 的正方形，给出以下三个结论：1x 的最大值为2 ；2x3

4、xy 的取值范畴是 2,22 ；y 恒等于 0.其中全部正确结论的序号是（）（ A ） 1（B ） 2 3（ C） 1 2（D ）1 2 3第二卷（非挑选题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每道题5 分，共 30 分9. x1 6x的二项绽开式中，常数项为 10. 在 ABC 中，如 a4 ， b3 ， cos A1 ，就 sin A ； B 311 如图，AB 和 CD 是圆 O 的两条弦，AB 与 CD 相交于点E ，且ACCEDE4 ，AE : BE4 :1 ，就 AE ； .BDA开头a =3,i=1是i10否. OCEDa1a1a输出 a终止Bi=i+112. 执行如下

5、列图的程序框图，输出的a 值为13. 设抛物线C：y24x 的焦点为 F ， M 为抛物线 C 上一点，N 2, 2 ，就 | MF| MN|的取值范畴是 .14. 已知 f 是有序数对集合M = x, y | x 挝N* , yN* 上的一个映射，正整数数对 x, y 在映射 f 下的象为实数z，记作f x, y =z . 对于任意的正整数m, nmn ，映射 f 由下表给出： x, yn, nm, nn, mf x, ynm- nm+ n就 f 3,5 =，使不等式f 2x, x 4 成立的 x 的集合是.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

6、骤15（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 Acos ,2 sin ，（）当2Bsin,0，其中R .时，求向量 AB 的坐标；3（）当0, 时，求2| AB | 的最大值 .16（本小题满分13 分）为明白某校同学的视力情形，现采纳随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5 名同学进行视力检测检测的数据如下：A 班 5 名同学的视力检测结果：4.3， 5.1， 4.6， 4.1， 4.9. B 班 5 名同学的视力检测结果：5.1， 4.9， 4.0， 4.0， 4.5.（）分别运算两组数据的平均数，从运算结果看，哪个班的同学视力较好？（）由数据判定哪个班的5 名同学视力方

7、差较大？（结论不要求证明）（） 现从 A 班的上述 5 名同学中随机选取3 名同学，用 X 表示其中视力大于4.6 的人数，求 X 的分布列和数学期望 .17（本小题满分14 分）如图，在三棱锥PABC 中， PA底面 ABC ， ACBC ， H 为 PC 的中点， M 为AH 的中点，PAAC2 ， BC1 .（）求证：AH平面 PBC ；（）求 PM 与平面 AHB 成角的正弦值；（）设点 N 在线段 PB 上，且 PNPB， MN/ 平面 ABC ，求实数的值.PHMACB18（本小题满分13 分）ex 1已知函数f xax24x4，其中 aR .（）如 a0 ，求函数f x 的极值；

8、（）当 a1 时，试确定函数f x的单调区间 .19（本小题满分14 分）x2y2设 A, B 是椭圆W:1 上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交 x 轴于点 M 43（与点A, B 不重合）， O 为坐标原点 .（）假如点M 是椭圆 W 的右焦点，线段 MB 的中点在 y 轴上，求直线 AB 的方程；（）设 N 为 x 轴上一点，且明：点 B 与点 C 关于 x 轴对称 .20（本小题满分13 分）OMON4 ，直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为C，证在无穷数列 a 中， a1，对于任意nN *，都有aN * ，aa. 设 mN * ，n1nnn 1记使得an m 成立的 n 的最

9、大值为bm .（）设数列 an为 1， 3， 5， 7，写出b1， b2 ， b3 的值；（）如 bn 为等差数列，求出全部可能的数列 an ；（）设 apq， a1a2apA ，求 b1b2bq 的值 .（用p, q, A 表示）北京市西城区 2021 年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学 （理科） 2021.5一、挑选题：本大题共8 小题，每道题 5 分，共 40 分.1 D2 B3 A4 D5 B6 B7 C8 D二、填空题：本大题共6 小题，每道题 5 分，共 30 分.9 2010 22 3411 8 2121313 3, +14 8 1,2注：第 10， 11， 14 题第一问

10、 2 分，其次问 3 分 .三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13 分）（） 解：由题意，得ABsincos ,2 sin ， 2 分2当时，3sincossin 2 cos 2 13332， 4 分2 sin2 sin26，32所以 AB13 ,6 . 6 分22（） 解：由于 ABsincos ,2 sin，222所以 | AB |sincos 2 sin 7 分1 sin 22sin 2 8 分1sin 21cos 2 9 分2 2 sin2 . 10 分4由于0 ，2所以 5 2. 11 分444所以当 2 5时， |4

11、4AB |2取到最大值| AB |2222 3 ， 12 分2即当时， | AB| 取到最大值3 . 13 分216（本小题满分13 分）（） 解：A 班 5 名同学的视力平均数为4.3+5.1+4.6+4.14.9xA =4.655.1+4.9+4.0+4.04.5， 2 分B 班 5 名同学的视力平均数为xB =4.55. 3 分从数据结果来看 A 班同学的视力较好. 4 分（） 解：B 班 5 名同学视力的方差较大. 7 分（） 解：由（）知， A 班的 5 名同学中有 2 名同学视力大于 4.6 .就 X 的全部可能取值为 0 ， 1 ， 2 . 8 分所以 PXP X031C33C5

12、10C C21C31325； 9 分3； 10 分5P X212C C332C5310. 11 分所以随机变量 X 的分布列如下：X012133P10510 12 分故 E X 0113236 . 13 分10510517（本小题满分14 分）（） 证明：由于 PA底面 ABC ， BC底面 ABC ，所以 PABC ， 1 分又由于 ACBC ， PAACA ，所以 BC平面 PAC ， 2 分又由于 AH平面 PAC ，所以 BCAH . 3 分由于 PAAC，H 是 PC 中点，所以 AHPC ，又由于 PCBCC ，所以 AH平面 PBC . 5 分（） 解：在平面 ABC 中，过点

13、A 作 AD /由于 BC平面 PAC ， 所以 AD平面 PAC ，BC，由 PA底面 ABC ，得 PA ， AC ， AD 两两垂直，所以以 A 为原点， AD ， AC ， AP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴如图建立空间直角坐标系，就 A0,0,0， P0,0, 2 ，B1,2,0， C 0,2,0， H 0,1,1 ，1 1M 0, .2 2设平面 AHB 的法向量为 n x,y, z ， 6 分z由于 AH0,1,1 ， AB1,2,0 ，Pn AH0,yz0,由n AB0,得x2 y0,HM令 z1 ，得 n2,1,1 . 8 分AN设 PM 与平面 AHB 成角为，

14、DCyxB由于 PM 0, 1 ,23 ，2201113 所以 sincosPM , nPMnPMn22，562即 sin21515. 10 分（） 解：由于 PB1,2,2 ， PNPB ，所以 PN,2, 2 ，13又由于 PM0, ，2213所以 MNPNPM, 2,2 2 2. 12 分由于 MN/ 平面 ABC ，平面 ABC 的法向量 AP0,0,2 ，所以 MNAP340 ，3解得. 14 分418. （本小题满分 13 分）ex 1（） 解：函数f x4 x4的定义域为 x | xR ，且 x1 . 1 分ex 14 x44ex 14 xex 1f x22 . 3 分4 x44

15、 x4令 f x0 ，得 x0 ，当 x 变化时，f x 和 f x 的变化情形如下：x,1 1, 000,f x0f x 5 分故 f x 的单调减区间为 ,1 ， 1,0 ；单调增区间为 0, 所以当 x0 时，函数f x 有微小值f 0e. 6 分4（） 解：由于 a1 ，所以 ax24x4 x2 2a1 x20 ，所以函数f x 的定义域为 R ， 7 分ex 1 ax24 x4ex 1 2ax4ex 1 xax42a求导，得f xax24x42ax24 x4 2， 8 分令 f x0 ，得 x10 ， x224 ， 9 分a当 1a2 时， x2x1 ，当 x 变化时，f x 和 f

16、 x 的变化情形如下：x, 2424aa 24 ,0a00,f xf x00故函数f x 的单调减区间为 24 ,0 ，单调增区间为a, 24 a， 0, 11 分当 a2 时， x2x10 ，2ex 1x2由于 fx22 0 ，（当且仅当x0 时，f x0 ）2 x4 x4所以函数f x 在 R 单调递增 . 12 分当 a2 时， x2x1 ，当 x 变化时，f x 和 f x 的变化情形如下：x, 000, 24a242a4 ,af x00f x故函数f x 的单调减区间为 0,24 ，单调增区间为 , 0 ，a24 , a综上，当1a2 时，f x的单调减区间为 24 ,0a，单调增区

17、间为, 24 ，a0, ；当 a2 时，函数f x 在 R 单调递增；当a2 时，函数f x 的单调减区间为 0,24 ；单调增区间为 , 0 ， 2a4 ,a 13 分19（本小题满分14 分）（） 解：椭圆 W 的右焦点为M 1,0 ， 1 分由于线段 MB 的中点在 y 轴上， 所以点 B 的横坐标为1 ，由于点 B 在椭圆 W 上，将 x1 代入椭圆 W 的方程，得点B 的坐标为1,3 . 3 分2所以直线 AB （即 MB ）的方程为 3 x4 y30或 3x4 y30 . 5 分（） 证明： 设点 B 关于 x 轴的对称点为B1 （在椭圆 W 上），要证点 B 与点 C 关于 x轴

18、对称，只要证点B1 与点 C 重合， .又由于直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C（与点 A 不重合）， 所以只要证明点 A ， N ， B1三点共线 . 7 分以下给出证明：由题意，设直线 AB 的方程为ykxmk0 , A x1, y1 ,Bx2, y2 ，就B1 x2 ,y2 .3x2由4 y212,ykxm,得 34k 2 x28kmx4m2120 ， 9 分所以8km 2434k 24 m2120 ，8km4m212x1x234k 2， x1x234k 2. 10 分在 ykxm 中，令 y0 ，得点 M 的坐标为 m ,0 ，k由 OMON4 ，得点 N 的坐标为 4k ,01m，

19、 11 分设直线 NA ， NB1 的斜率分别为kNA， kNB ，就 kNAkNBy1y214k4k4kx2 y1y1m4kx1y2y2 4k4km ， 12 分x1x2mm4 k4kx1 x2mm由于 x2 y1y1x1 y2y2mmx kxmkxm4kx kxm kxm4k211122mm2 kx1x24 k 2mm x1x2 8k4m2124k 28 km2 k2 m2 8k34 km34k8m2k24k8m2k32k324k32k 334k 20 ， 13 分所以 kNAkNB0 ，1所以点 A ， N ， B1 三点共线，即点 B 与点 C 关于 x 轴对称 . 14 分20（本小

20、题满分13 分）（） 解： b11， b21， b32 . 3 分（） 解： 由题意，得 1a1a2a3an，n结合条件aN* ，得an n . 4 分又由于使得anm 成立的 n 的最大值为bm ，使得an m1 成立的 n 的最大值为bm 1 ，所以 b1， b bmN * . 5 分1mm 1设 a2k ，就k 2 .假设 k2 ，即 a2k 2 ，就当 n2 时， an2 ；当n 3 时，an k1 .所以 b21， bk2 .由于 bn 为等差数列，所以公差db2b10 ，所以 bn1，其中nN * .这与 bk2k2 冲突，所以 a22 . 6 分又由于 a1a2a3an，所以 b

21、22 ，由bn为等差数列，得bnn ，其中nN *. 7 分由于使得an m 成立的 n的最大值为bm ，所以 ann ，由 ann ，得 ann . 8 分（） 解： 设 a2k k1，由于 a1a2a3an，所以 b1b2bk 11 ，且 bk2 ，所以数列 bn 中等于 1 的项有 k1 个，即 a2a1个； 9 分设 a3llk ，就 bkbk 1bl 12 ， 且 bl3 ，所以数列 bn中等于 2 的项有 lk 个，即 a3a2 个； 10 分以此类推，数列 bn 中等于 p1的项有 apap 1 个. 11 分所以 b1b2bqa2a12 a3a2 p1a pap 1pa1a2ap 1 p1apppappa1a2ap 1appq1A .即 b1b2bqpq1A . 13 分