基于交叉gram矩阵的双侧h2最优模型降阶方法-王维刚.pdf

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1、CN 431258TP 计算机工程与科学 第39卷第12期2017年12月ISSN 1007130X Computer Engineering&Science V0139，No12，Dec2017文章编号：1007130X(2017)12220307基于交叉Gram矩阵的双侧H2最优模型降阶方法王维刚1，杨 平1，蒋耀林12(1新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046；2西安交通大学数学与统计学院。陕西西安710049)摘 要：针对单输入单输出(SISO)线性时不变系统，提出了Grassmann流形上基于交叉Gram矩阵的双侧H。最优模型降阶方法。首先，将误差系统的H：范数通过交叉

2、Gram矩阵表示，并且把它看成关于变换矩阵的代价函数。其次，引入Grassmann流形，将代价函数看作是定义在Grassmann流形上的非负实值函数。然后，在Grassmann流形上进行线性搜索，寻找使得代价函数尽可能小的一组变换矩阵。运用此方法对大规模SISO线性时不变系统进行降阶，可以得到精度较高的降阶系统。最后，数值算例验证了该算法的近似效果。关键词：模型降阶；H2最优；交叉Gram矩阵；Grassmann流形中图分类号：0242 文献标志码：Adoi：103969jissn1007130X201712007Model order reduction of two-sided H2opt

3、imality based on the cross GramianWANG Weigan91。YANG Pin91JIANG Yaolinl2(1College of Mathematics and System Sciences，Xinjiang Universty，Urumqi 830046；2School of Mathematics and Statistics，Xian Jiaotong Universty，Xian 710049，China)Abstract：Aiming at the single input and single output(SISO)linear time

4、invariant system，we propose a twosided H2 optimal model order reduction method based on the cross Gramian and GrassmannmanifoldFirstly，the H2 norm of the error system is expressed by the cross Gramian，which is regardedas the cost function of transformation matricesSecondly，by introducing the Grassma

5、nn manifold，thecost function is viewed as a nonnegative real function defined on the Grassmann manifoldThirdly，weperform the linearsearch method on the Grassmann manifold to seek a couple of transformation matrices，which makes the cost function as small as possibleWe apply this method to an SISO lin

6、ear time-invariant system and obtain a more accurate reduced order systemNumerical examples verify the effectiveapproximation Of the proposed methodKey words：model order reduction；H2 optimality；cross gramian matrix；Grassmann manifold引言在众多工程应用领域，如电子系统、控制系统、力学系统、流体机械系统等，都涉及大型或复杂动力系统的计算机设计、仿真、优化与控制。这些工

7、程系统通常都由微分方程来描述，如简单的RLC(Resistor Inductor Capacitor)电路，取电源电压作为输入变量，取电容两端电压为输出变量，把电感电流作为状态变量，根据电路原理，电路的状态空间可以等价于一个3维的单输入单输出SISO(Single Input and Single Output)线性时不变系收稿日期：20150818；修回日期：2016-120fi基金项目：国家自然科学基金(11371287，61663043)通信作者：蒋耀林(xjusxy，163corn)通信地址：830046新疆乌鲁木齐市天山区胜利路新疆大学(校本部)数学与系统科学学院Address；Co

8、llege of Mathematics and System SciencesXinjiang University(the Main Campus)。Shengli Rd。Tianshan DistrictUrumqi830046Xinjiang，PRChina万方数据2204 Computer Engineering 8L Science计算机工程与科学2017，39(12)统。但是，对于现代高维或复杂系统，由于计算机内存、计算速度的限制，直接用计算机进行分析或数值模拟相对困难。在这样的背景下，对模型的规模或阶数进行有效的降阶处理就显得尤为重要。模型降阶的目的就是用一个阶数较低的系统去近

9、似原始系统，同时保持原始系统的一些特性。通过模型降阶得到的降阶系统可以有效降低原始系统在模拟和控制中的时间复杂度。关于模型降阶和SIS()线性时不变系统的详细介绍参见文献1，2。H：最优模型降阶方法是模型降阶中一种被广泛研究的方法3州。1970年，WilsonE53给出了线性系统基于可控Gram矩阵和可观Gram矩阵的wilson条件。Gallivan等人L6证明线性系统的切线插值条件等价于Wilson条件。Benner等人7将wilson条件推广到双线性系统，提出了对双线性系统进行降阶的B1RKA(The Bilinear herativeRational Krylov Algorithm)

10、模型降阶方法。1999年，Yan等人8：提出了一种在流形上解决H：最优问题的方法，指出H。最优问题可近似为紧Stiefel流形上的最优问题，给出了一个在紧Stiefel流形上基于系统可控Gram矩阵和可观Gram矩阵的梯度流算法。在文献9中，Edelman等人将Grassmann流形看作是紧Stiefel流形的一个商空间，给出了Grassmann流形上的梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法。在此基础上，文献10将H。最优问题转化为Grassmann流形上的最优问题，基于系统可控Gram矩阵和可观Gram矩阵，提出了一个单侧的H。最优模型降阶方法。与此同时，文献11提出Grassmann流形上针对双线

11、性系统的GDMR(Gradient Descent Model Reduction)算法和CGMR(The Conjugate Gradient Model Reduction Algorithm)算法。此外，文献12针对稳定的sISO系统和对称系统，运用交叉Gram矩阵既包含系统的可控信息也包含系统的可观信息的特点，提出基于交叉Gram矩阵的平衡截断模型降阶方法。值得注意的是，文献1表明，SISO系统的H。范数除了通过系统的可控或可观Gram矩阵表示外，也可以由交叉Gram矩阵来表示。这为求解H。最优问题提供了一个切人点。本文主要考虑SISO线性时不变系统。将误差系统的H：范数通过交叉Gra

12、m矩阵表示，将它看作关于变换矩阵的代价函数。引入非紧Stiefel流形，将H。最优问题看作定义在非紧Stiefel流形上的一个优化问题。通过定义非紧Stiefel流形上的等价关系，得到非紧Stiefel的一个商流形，即Grassmann流形。进一步，H。最优问题被看作是Grassmann流形上的一个最优问题。通过Grassmann流形的一些几何性质，运用线性搜索寻求使得代价函数尽可能小的一组变换矩阵，由此提出基于交叉Gram矩阵的双侧H：最优模型降阶方法。本文主要由如下几部分组成：第2节给出预备知识；第3节提出基于交叉Gram矩阵的双侧H。最优模型降阶方法；第4节给出数值算例；第5节进行总结。

13、2 预备知识给定如下SISO线性时不变系统：憾l筹拙。 其中AR“”是常数矩阵，b，C1 E R”是常数向量，“(f)R是输入变量，y(f)E R是输出变量，J()R1是状态变量。假设系统(1)稳定，且设初始状态x(O)一0，对系统(1)进行Laplace变换，得到系统(1)的传递函数H(5)一c(订一A)b，其中J。表示订行的单位矩阵。它的H。范数呻j定义为：l|峨一瓢三而H c洲其中H(如)表示H(如)的共轭。进一步，系统(1)的H。范数可以表示为8|f：=cPcT一61缈，其中P和Q分别是原始系统的可控Gram矩阵和可观Gram矩阵，P和Q在时间域上的表达式为u：PI e“bbeAl 7

14、dfQI e7Cwce4 dt文献12针对稳定SlSO线性时不变系统给出了交叉Gram矩阵的概念：R一-fie执削r (2)由R的表达式可以看出，R可以同时反映系统的可控性信息和可观信息，且R满足如下Sylrester方程：AR+RA+k一0 (3)根据交叉Gram矩阵的定义，系统(1)的H：范数1u还可表示为：0岐一eRb (4)模型降阶的目的是寻求两个变换矩阵w万方数据王维刚等：基于交叉Gram矩阵的双侧H：最优模型降阶方法 2205R“和V E R“(r，z)，满足w7V=J，使得降阶系统：宝：三豁仙Q 可以较好地近似原始系统，其中AW7AV，占一W1b和三一cV。根据原始系统(1)和降

15、阶系统(5)构造如下的误差系统：P。：p一Ae工e4-6础 (6)厶”y。()一c。工。()其中，工j()一(工7()，主()，Y。()=y()多c c，A。一(：三)，6jc61，占7，c。一cc，一；，。根据误差系统(6)的系数矩阵可知，误差系统也是SISO线性时不变系统，从而它的交叉Gram矩阵为：R。一l e4eb。C。eA,tdt (7)并且当A。稳定时，满足如下的Sylvester方程：A。R。+R。A。+beC。一0 (8)根据式(4)，误差系统的H。范数可以通过交叉Gram矩阵表示为：旧忆一II一圳：一鼬。H：最优模型降阶是寻找一个降阶系统，使其满足：Il一忆一批min，J(W

16、V)：一洲m扣in，8一宝忆其中，J(w，V)是以变换矩阵W和v为变量的代价函数。因此，H：最优模型降阶可以转换为寻求适当的变换矩阵W和，满足w7VI，使J(w，V)尽可能小。3 Grassmann流形上基于交叉Gram矩阵的双侧模型降阶方法这一部分主要讨论线性时不变系统(1)在Grassmann流形上基于交叉Gram矩阵的双侧H2最优模型降阶方法。首先，本文指出，代价函数实际上是定义在非紧Stiefel流形上的非负实值函数。由于降阶系统只与变换矩阵列向量张成的子空间有关，而与具体的变换矩阵无关，所以代价函数又可以看作是定义在Grassmann流形上的非负实值函数。然后，在Grassmann流

17、形上运用相关理论寻求使得代价函数尽可能小的变换矩阵。最后，根据我们的讨论，给出寻求变换矩阵的具体算法。31 Grassmann流形上的代价函数首先，引人非紧Stiefel流形，将代价函数定义在非紧Stiefe|流形上。然后，通过在非紧Stieet流形定义等价关系，得到非紧Stiefel流形的商流形，即Grassmann流形，并给出Grassmann流形在此等价关系下的矩阵表示，从而将代价函数转化为定义在Grassmann流形上的非负实值函数。由文献14可知，非紧Stiefel流形是所有挖，的满秩矩阵的集合：St(竹，r)一U rank(U)一r，UR“7)根据非紧Stiefel流形的定义，H。

18、最优问题可以转化为：min J(W，V) (10)wTy一在非紧Stiefel流形上定义等价关系：非紧Stiefel流形中的两个元素u。，u：St(，z，r)等价当且仅当存在非奇异的矩阵MR“，使得U。一u。M。在这种等价关系下，Grassmann流形可以看成是非紧Stiefel流形的一个商空间，具体可表示为：G，(咒，r)一ul uSt(行，)令T明G，(挖，r)表示G，(娌，r)在u处的切空间，则TEUG，(卵，r)可以表示为丁们G，(，!，r)一善E R积1 uT善一0，如果对Grassmann流形赋予黎曼度量5|：(善，)一trace(ulu)叫喜7r)，V考，7 E TE川G，(咒，

19、r)则Grassmann流形G，(行，r)就是一个黎曼流形。因为代价函数J(w，y)只依赖于W和y列向量张成的子空间1，所以H：最优模型降阶问题可以进一步看作Grassmann流形上的最小问题：rain J(W，y) (11)EwyG，(n，r)wTy一为了进一步分析误差系统的H。范数，把误差系统(6)的交叉Gram矩阵R。写成如下分块形式：Re=(：夤X) ，通过将R。的分块形式代入它所满足的Sylvester方程(8)可以得到如下方程：Al，+YA 4-k一0 (13)Ax+魅一踮一0 (】4)万方数据2206 Computer Engineering 8L Science计算机工程与科学

20、2017，39(12)触+j疆一赫一0 (15)将式(12)代人式(9)中，可得：J(w，y)一ff。ff 2H。一cRb一渤+c硒一溘易(16)32代价函数在Grassmann流形上的梯度在本小节，我们根据代价函数的表达式，分别计算代价函数关于w和V的偏导数。再根据计算出的偏导数，分别构造代价函数在w和y处的梯度11I。令矩阵J。和J，分别表示J(W，V)关于W和V的偏导数，其中：(Jw，i=絮产，(Jr，j=驾其中，i一1，2，行；J一1，2，r。设wR“表示w的微分，R“7表示V的微分，则有如下表达式113成立：J(w+Aw，y)一J(w，V)+trace(d：，Aw)+o(|l厶w 1

21、1)J(w，V+A，)一J(w，y)+trace(JSA。)+o(11。0)下面根据J(W+A。，y)和J(W，+A，)的表达式，推导代价函数J(w，y)关于w和y的偏导数。在此之前，先给出如下引理。引理1 设卢和互满足五卢+两+F一0和QA+胞+H=0，则：trace(您)一trace(HP)证明 明显地，有trace(硬)=trace(一A吧一PBQ)一trace(一QA一鲍)P)一trace(HP)证毕。 口定理1 给定原始系统(1)，变换矩阵wR“和VR“。假设y、x和袁分别为方程(13)、(14)和(15)的解，则代价函数J(w，y)关于w和y的偏导数，w和，分别为：J。一2(AW+

22、be)X一2AyPP (17)J，一2(RwTA一&)T袁T+2(YXWTAYbc)T(18)证明 因为J。和J，的证明过程相似，所以只对进行证明，的证明同理可得。由方程(16)，结合误差系统是SISO系统，J(w，y)可以表示为：J(W，y)一trace(c。R。b。)一trace(orb一三怕一cxb一汝占)因此，代价函数J(W，V)关于A。的一阶微分，可表示为：，一trace(一AybcV+W1 bcAx+wT kXk一幻PwT)其中，R“，山R“和厶xR“分别满足如下Sylvester方程：AAy+AyA+AwtAVy+厶。，be一0 (19)A寅+空A+wtAVR+RA矿AV一wT幻

23、一0(20)Allx+AxA+蚴。TAV=0 (21)根据引理1，结合方程(13)和(19)有：trace(-beVAy)一trace(AVY+be)1X7Aw)根据引理1，由方程(14)和(21)可得：trace(W1 bcA x)一trace(XAwTAVY)一trace(A。TAyyX)同理，根据方程(15)和(20)有：trace(kAs)一trace(wT A碾+RwT AVR一。t触)一trace(1良7(2AV良一踮)TA。)综上，U可表示为：厶Jtrace(2(AVY+踮)x一2AVPP)TA。)由Jtrace(-，)7A)可得：Jv一2(AW+k)X一2AVrPP证毕。 口定

24、理1给出了代价函数J(w，y)关于w和V的偏导数。在此基础上，可以推导出代价函数J(w，V)在Ew处的梯度具体为：vJw(W，y)=(JW(WTW)1WT)t，。WTW(22)在V处的梯度为：VJ，(W，V)一(JV(VTy)_1V1)JyVlV(23)33具体算法下面我们将根据梯度v，。(w，y)和梯度vJy(w，V)给出在Grassmann流形上基于交叉Gram矩阵求解H：最优问题的双侧模型降阶方法。假设已得变换矩阵w。和u，令三一cV。，6M=W：b和A叭一wV。，k一0，1，2，接下来构造V抖。和w抖。为了便于求解问题m、in J(w，V)，我们Lwj，LV J“一【月-)wTy一通过

25、函数：了(w，V)一trace(aRb一眦。b+eXl，一擅占)近似J(w，y)，其中墨川l，和R分别满足如下Sylvester方程：AX，+X，4，一bcM一0 (24)万方数据王维刚等：基于交叉Gram矩阵的双侧H：最优模型降阶方法 2207AMl，女+KA+bc一0 (25)A，ER+R4，一b，c，一0 (26)于是我们将最小化问题 rain J(w，y)LwJL叫G(n，r)wTy一。转化为近似问题 rain J(w，V)。Lwtl叫G一(，r)wTV=J，接下来通过线性搜索方法求解该近似问题。容易知道，如果y抖。满足。心，。一置则J(w，)关于w偏导数J w一0，其中：了(w，v)

26、一trace(dzb一押Mb+cXM6定PM占)设风。可逆，则V0，=Xk，。R未。将V0。一V。投影到V；G，(靠，r)的切空间，构造搜索方向sy一1一y女(V：y)1V：Vk+l (27)为了保证迭代的收敛性，通过Armijo准则1们选择一个合适的步长t，。，构造变换矩阵：V抖l一(y+tl kSv)(w：(y+tlhSy)_1(28)固定w。和V，令A。抖，一w：Ay抖，占。抖，一w：b和三。抖，一cVk+。，J(w，y)变为J(W，y)一J(W，V)：一trace(eRbcY女，女十16+cX，抖16一eR抖16)其中鼍抖。，y。抖，和风抖。分别满足如下方程：Ax抖1+X女，抖lA女抖

27、lk女，抖l一0 (29)A女，打1y抖l+K，抖lA+6蚪1 c=0 (30)A抖lR抖1+RE抖1A抖16女，抖1Ck,抖10(31)类似地，若w0-满足w抖，R：抖。一一l，：抖，则J(w，y)关于y偏导数Jv一0。假设R：抖。可逆，则w抖t一一yj抖，R_I，。将w抖twt投影到EWkG，(以，)的切空间，可得搜索方向：Sw=Wk+1一Wk(：W)-1w1w抖l (32)再由Armijo准则选择一个合适的步长t。；，构造变换矩阵：w抖l=(w+tzks)(，0l(w+tzkS)。1(33)令A抖。，抖，一w二，AV抖。，占抖，抖。一w0，b和三抖，抖，=cV抖；。了(w，y)就变为：一

28、 J(W，y)一J(W，y)：一trace(cRbcy抖】抖1 b+抖1抖16一cR女+1抖l西)其中，兄扎抖。，y川，抖。和R抖+，分别满足方程：AX+1抖1+X抖1抖1A+l，+1一k抖l，抖l=0A抖l，女+1y抖1，i+l+y抖l，抖1A+6抖1，抖lc一0A抖1外1R抖l，抖l+R+1抖1A抖1女+16抖1抖1c计1，抖l=0则第k步所得降阶系统的系数矩阵为A抖。一A“，抖1，6抖l 2 6抖1，抖l，c抖1一c抖l，抖l。我们选取算法迭代的停止标准为II vJk(Wk，U)lI+0 vJu(w。，V。)Il0是给定的阈值。基于上述分析，我们给出如下具体的双侧模型降阶方法。算法1 G

29、rassmann流形上基于交叉Gram矩阵的双侧降阶方法TMORCG(Twosided ModelOrder Reduction method based on the CrOSSGramiart on the Grassmann)输入：原始系统的系数矩阵(A，b，c)，降阶系统的阶数r，初始变换矩阵w。和，。，阈值0。输出：降阶系统的系数矩阵(A。，筑，文)。步骤1根据初始的变换矩阵构造降阶系统的系数矩阵A。一w。TAV。，b。一w。Tb，c。=cY。；步骤2 当II VJ、(姒，取)l|+lI VJK(w：，y*)l时：(1)由式(27)构造s，通过Armijo准则选取时问步长t。t，再由

30、式(28)构造变换矩阵y。(2)由式(32)构造sw，由Armijo准则选取时间步长t。，通过式(33)构造变换矩阵瞅+。(3)根据W。和v。构造AH。=w二。A，_。，占一wHTl 6，；1一cVHI。(4)令kk+1。接下来，对TMORCG的计算复杂度进行分析。通过Armijo准则来计算时间步长的过程中，需要求解方程(24)方程(26)，方程(29)方程(31)，由于Wk。AV川R附，因此，解方程(26)和(31)所需的乘法次数为0(r3)。由文献10可知，解方程(24)、(25)、(29)和(30)所需的乘法次数为O(rN。+，)，这里N。是解线性方程(A一4)zb所需的乘法次数，其中A

31、是九理的稀疏矩阵，6和工是扎维列向量，P为除A的特征值外的任意数。假设算法第2步计算时间步长t。和t。最多需要m次迭代，TMoRCG算法迭代的次数为k，则TMORCG算法所需的总乘法次数为O(km(rN，+F3)。在算法第2步中，由Armijo准则选取的时间步长t。=乜，口；，其中J是使得以下不等式成立的最小的非负整数：J(w，V)一J(w，V抖1)口l犀71(Svk，Sv；其中，简(o，1)，7l0。同理时间步长t：。一a：恁，i是使得下面不等式成立的最小的非负整数：J(wk，V外1)一J(W抖1，V抖I)az压yz(Swk，札)其中，侥，a2(o，1)，y20。显然，代价函数，关于k是递减

32、的，即：J(W。，V抖1)，(Wk，Vt)，k一0，1，2，万方数据2208 Computer Engineering&Science计算机工程与科学2017，39(12)因此，Armijo准则可以保证算法1的收敛性。对于初始变换矩阵w。和K，通常由平衡截断方法或Krylov子空间方法进行构造。4数值算例考虑一个598阶的eady模型，这是中太平洋地区的一个大风暴轴模型1 6|。它的系数矩阵AR598598，bR5981和CR1598。取一10，在算法1迭代40次后， 0 vJ，。(毗，V。)lI+0 vJw。(帆，V)01726510，可以认为TMORCG算法已收敛。取降阶系统的阶数r一10

33、，以平衡截断方法所得变换矩阵为初值，对该系统运用TMORCG算法、传统的Arnoldi模型降阶方法口1以及平衡截断模型降阶方法n73进行降阶。图1和图2分别给出了原始系统与降阶系统在输入“()一cos(2t)exp()时的瞬态响应及它们的相对误差。图3为幅值图，图4为相角图。图中Reduced model 1表示由传统Arnoldi模型降阶方法得到的降阶系统；Reduced model 2表示由平衡截断模型降阶方法得到的降阶系统；Reducedmodel 3表示由TMORCG模型降阶方法得到的降阶系统。Figure 1 Transient responses of the output j，(

34、r)图1输出y(f)的瞬态响应Figure 2 Relative errors of the output y(r)图2输出y(，)的相对误差从图l可以看出，与传统Arnoldi模型降阶方法和平衡截断模型降阶方法相比，运用本文提出的模型降阶方法(TMORCG)得到的降阶系统的输出能更好地近似原始系统的输出y(f)。从图2可以看出，取降阶系统的阶数为r一10时，Reducedmodel 3的相对误差比Reduced model 1和Reduced model 2的相对误差整体上要小。从而与传统的Arnoldi模型降阶方法和平衡截断模型降阶方法相比，TMORCG模型降阶方法得到的降阶系统在区间o，

35、5更接近原始系统。此外，我们给出原始系统和各个降阶系统取降阶阶数r一6时，在区间10，104上的Bode图，其中图3是幅值图，图4是相角图。70互二二二一一一一60。 、)50 32扣中静1矿广奇前Frequency(rads)Figure 3 Bode magnitude plot图3幅值图P lgure l Bode phase plot【矧1 卡角I冬4在幅值图中，各个降阶系统均能较好地近似原始系统，而在相角图中，Reduced model 3近似效果较其他两个降阶系统的近似效果更好。因此，本文提出的TMORCG模型降阶方法是可行的。5结束语本文提出的TMORCG模型降阶方法，将误差系统

36、的Hz范数最小化问题看成Grassmann流形上代价函数关于变换矩阵的最小化问题。通过在Grassmann流形上进行线性搜索，寻求使得代价函万方数据王维刚等：基于交叉Gram矩阵的双侧H：最优模型降阶方法 2209数尽可能小的变换矩阵。数值算例表明，TMORCG模型降阶方法能够较大程度地降低原始系统的阶数，得到精度较高的降阶系统。此外，本文只讨论了SISO线性时不变系统在Grassmann流形上基于交叉Gram矩阵的双侧模型降阶方法，对于多输人多输出MIMO(Multiple InputMultiple Output)系统的情形，我们将进行后续的研究。参考文献：Ell Jiang Yao-li

37、nModel order reduction methodsMBeijing：Science Press2010(in Chinese)2 Zhang Siying，Gao LiqunModel control theoryMBeijing：Tsinghua University Press，2006(in Chinese)3Xu Kangli，Yang Zhixia，Jiang YaolinStructurepreservingand passivitypreserving Hz model order reduction methodJComputer Simulation，2015，32

38、(12)：226230(in Chinese)43 Zhang Meng，Li Aijun，Liu ShiminParametric optimizationfor mixed H2H。optimal PID controllerJJournal of Vibration and Shock，2011，30(10)：197202(in Chinese)5 Wilson D AOptimum solution of modelreduction problemJElectrical Engineers Proceedings of the Institution，1970，117(6)：1161

39、11656Gallivan K，Vandendorpe A，Dooren P VModel reduction ofMIMO systems via tangential interpolationJSIAM Journalon Matrix Analysis and Applications，2010，26(2)：3283497Benner P，Breiten TInterpolation-based H2 model reductionof bilinear control systemsJSIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，2

40、012，33(3)：8598858 Yan W Y，Lam JAn approximate approach to H2 optimalmodel reductionJIEEE Transactions on Automatic Control，1999，44(7)：1341一135891 Edelman A，Arias T A，Smith S TThe geometry of algorithms with orthogonality constraintsJSIAM Journal onMatrix Analysis and Applications，1999，20(2)：303353i0

41、3 Zeng T，Lu CTwosided Grassmann manifold algorithm foroptimal H2 model reductionJInternational Journal for Numefical Methods in Engineering，2015，104(10)：92894311Xu K L，Jiang Y L，Yang z XHE order-reduction for bilinear systems based on Grassmann manifoldJJournal of theFranklin Institute2015352(10)：44

42、674479r12 Baur U，Benner PCrossGram based model reduction fordatasparse systemsJSIAM Journal on Scientific Computing2008，31(1)：776798131 Yang Ping，Xu Kangli，Jiang YaolinModel reductionmethod based on the restarted Lanezos algorithmJComputerEngineeringScience，2017，39(3)：464469(in Chinese)141 Absil P A

43、，Mahony R，Sepulchre ROptimization algorithmson matrix manifoldsMPrinceton：Princeton UniversityPress。20081516173Absil P A，Mahony R，Sepulchre RRiemannian geometry ofGrassmann manifolds with a view on algorithmic computationJActa Applicandae Mathematicae，2004。80(2)：199220An Yu eSVD-Krylov based methods

44、 for model reduction oflarge-scale dynamical systemsDShanghai：Shanghai University，2006(in Chinese)Gugercin S，Antoulas A CA survey of model reduction bybalanced truncation and some new resuhsJInternationalJournal of Control，2004，77(8)：748766附中文参考文献：1蒋耀林模型降阶方法M北京：科学出版社，20102张嗣瀛，高立群现代控制论M北京：清华大学出版社，200

45、63徐康丽，杨志霞，蒋耀林保结构及无源性的H2模型降阶方法J计算机仿真，2015，32(12)：2262304章萌，李爱军，刘世民弹性飞机的混合H2Ho。最优PID控制器设计J振动与脉冲，2011。30(10)：19720213 杨平，徐康丽，蒋耀林基于重启Lanczos过程的模型降阶方法J计算机工程与科学，2017，39(3)：46446916安玉娥应用于大规模动力系统中的基于SVD-Krylov的模型简化方法D上海：上海大学，2006作者简介：王维刚(1991一)，男，甘肃天水人，硕士生，研究方向为模型降阶和大型系统模拟。E-mail：13150332261163comWANG Wei-g

46、ang，born in 1991。MScandidate，his research interests includeuction，and large scale system simulation杨平(1992一)，男，重庆人，博士生，研究方向为模型降阶和大型系统模拟。E-mail：xjusxyp163comYANG Ping，born in 1992，PhD candidate，his research interests include modeland large scale system simulation蒋榴林(1966一)，男，江苏扬州人，博士，教授，研究方向为模型降阶、大型系统模拟、波形松弛方法和工程问题的并行计算。E-mail：yljiangxjtueducnJIANG Yao-lin，born in 1966，PhD，professor，his research interests include model order reduction，large scale system simulation，wave relaxation method，and parallel computation of engineering problemso一鲞万方数据