2022年北京市西城区-学高二上学期期末考试数学理科试卷.docx

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1、北京市西城区 2021 2021 学年度第一学期期末试卷高二数学理科三题号一二本卷总分151617181920分数一、挑选题：本大题共符合要求的 .8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有哪一项1. 双曲线x23y21的一个焦点坐标为A 2,0B 0,2C 2, 0D 0, 22. 已知椭圆的短轴长是焦距的2 倍，就椭圆的离心率为A 12B 22C 155D53. 设 ,是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的选项是4. 设 mR , 命题“假设 m0 ，就方程x200m mm 有实根”的逆否命题是 A假设方程 B假设方程 C假设方程 D假设方程x2x2x2x

2、2m 有实根，就m 有实根，就mmm 没有实根，就m 没有实根，就005. 已知的,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线， 就“” 是“ m”A 充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件试卷总分值： 150 分考试时间： 120 分钟A 假设/， l /，就 lB假设/， l，就lC假设， l，就 lD假设， l /，就l高二数学第一学期期末试卷理科第13页共 9页6. 已知双曲线的焦点在x 轴上， 焦距为 25 ，且双曲线的一条渐近线与直线x2 y10平行，就双曲线的标准方程为x2A y 21y2B x21C3x23y21D3x23y21442055207. 已知A

3、3,0 ，B0,4 ，动点Px, y 在线段 AB 上运动，就 xy 的最大值为A 5B 4C 3D 28. 用一个平面截正方体和正四周体，给出以下结论： 正方体的截面不行能是直角三角形； 正四周体的截面不行能是直角三角形； 正方体的截面可能是直角梯形； 假设正四周体的截面是梯形，就肯定是等腰梯形.其中，全部正确结论的序号是A B CD二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.9. 命题“ xR ， 使得x22 x50 ”的否认是.10. 已知点M 0,1 ,N 2,3 .假如直线 MN 垂直于直线 ax2 y30 ，那么a 等于.11. 在正方体ABCD

4、A1B1C1D1 中，异面直线AD, BD1 所成角的余弦值为.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如下图，就该三棱柱的4侧视图的面积为.2213. 设 O 为坐标原点，抛物线y24 x 的焦点为 F ， P 为抛物正主视图线上一点 . 假设 PF3 ，就 OPF的面积为.俯视图14. 学完解析几何和立体几何后， 某同学发觉自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线环绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，打算把抛物线的顶点 确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如下图的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进 一 步 的 计 算 ， 帮 助 他

5、求 出 抛 物 线 的 方 程 . 你 需 要 测 量 的 数 据 是 全部测量数据用小写英文字母表示，算出的抛物线标准方程为三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15本小题总分值 13 分如图， 四棱锥 PABCD的底面是正方形， 侧棱 PA底面 ABCD ， E 是 PA 的中点 . 求证：PC / 平面 BDE ；P 证明： BDCE .EADBC16. 本小题总分值 13 分如图 , PA平面 ABC , ABBC , 求证 : AM平面 PBC ； 求二面角 APCB 的余弦值 .ABPA2BC2 , M为 PB 的中点 .CABMP1

6、7. 本小题总分值 13 分已知直线 l 过坐标原点 O ，圆 C 的方程为 x2y26y40 . 当直线 l 的斜率为2 时，求 l 与圆 C 相交所得的弦长； 设直线 l 与圆 C 交于两点 A, B ，且 A 为 OB 的中点，求直线l 的方程 .18. 本小题总分值 13 分x2已知 F1为椭圆y21 的左焦点，过F1的直线 l 与椭圆交于两点P, Q .43假设直线l 的倾斜角为 45 ，求 PQ ； 设直线 l 的斜率为 k k0 ，点 P 关于原点的对称点为P ，点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q ， P Q 所在直线的斜率为 k .假设 k2 ，求 k 的值 .19. 本小题总

7、分值 14 分如图，四棱锥EABCD 中，平面 EAD平面 ABCD ,DC /AB ， BCCD ，EAED ，且 AB4 , BCCDEAED2 .求证 : BD平面 ADE ；求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值；E在线段 CE 上是否存在一点F ，使得DC平面 BDF平面 CDE ，请说明理由 .AB20. 本小题总分值 14 分如图， 过原点 O 引两条直线l1, l2 与抛物线1W : y222 px 和 W2 : y4 px其中 p 为常数， p0 分别交于四个点A1, B1 , A2 , B2.y求抛物线W1,W2 准线间的距离；A2证明：A1B1 / A2B2 ；假设 l

8、1l2 ，求梯形A1A2B2 B1 面积的最小值 .A1OxB1B2北京市西城区 2021 2021 学年度第一学期期末试卷高二数学理科参考答案及评分标准一、挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1. C；2. D ； 3. B； 4. D；5. B； 6. A；7. C ； 8. D .二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9.对任意 xR , 都有 x 22x50 ；10.1 ；11.3 ；312.8 3 ；13.2 ；14. 碗底的直径 m，碗口的直径 n ，碗的高度 h ； y2注：一题两空的题目，第一空2 分，其次空 3 分.三、解答题：本大题共6

9、 小题，共 80 分.15. 本小题总分值 13 分解: 连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ，由于四边形 ABCD 是正方形，所以O 为 AC 中点.n2m2x .4hP又由于 E 是 PA 的中点，所以PC / OE ， 3 分由于 PC平面 BDE ， OE平面 BDE ，E所以 PC / 平面 BDE . 6 分 由于四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC . 8 分AD由于 PA底面 ABCD ，且 BD平面 ABCD ，OBC所以 PABD . 10 分又由于 ACPAA ，所以 BD平面 PAC ， 12 分又 CE平面 PAC ，所以 BDCE . 13 分16.

10、本小题总分值 13 分解: 由于 PA平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以 PABC .由于 BCAB ， PAABA，所以 BC平面 PAB . 2 分所以 AMBC . 3 分由于 PAAB ， M为 PB 的中点，z所以 AMPB . 4 分C所以 AM平面 PBC . 5 分 如图，在平面ABC 内，作Az /BC ，Ay B就 AP, AB, AZ 两两相互垂直，PM建立空间直角坐标系Axyz .x就 A0,0,0,P2,0,0,B0,2,0,C0,2,1,M 1,1,0 .AP2,0,0 ， AC0,2,1 ， AM1,1,0. 8 分设平面 APC 的法向量为 n x, y

11、, z ，就n AP0,n AC0,x0,即2yz0.令 y1，就 z2 . 所以 n0,1,2 . 10 分由 可知 AM1,1,0 为平面 BPC 的法向量，设 n, AM的夹角为，就 cosn AMn AM1105210. 12 分由于二面角 APCB 为锐角，所以二面角 APCB 的余弦值为1010. 13 分17. 本小题总分值 13 分解： 由已知，直线l 的方程为 y所以，圆心到直线l 的距离为332x，圆 C 圆心为 0,3 ，半径为5 ， 3 分3 . 5 分所以，所求弦长为 2 2 . 6 分 设A x1, y1 ，由于 A 为 OB 的中点，就B2 x1 ,2 y1. 8

12、 分又 A, B 圆 C 上，2x2y6 y40，2222所以1114x14 y112y140 ，即 x1y13y110 . 10 分解得 y11 ， x11， 11 分即 A1,1 或 A 1,1 . 12 分所以，直线l 的方程为 yx 或 yx . 13 分18. 本小题总分值 13 分解：设Px1, y1 , Qx2, y2 ，由已知，椭圆的左焦点为1,0 ，又直线 l 的倾斜角为 45 ，所以直线 l 的方程为 yx1 ， 1 分yx由3x21,4 y 2得 7 x2128x80 ， 3 分所以 x1x28， x1x278. 4 分7| PQ |1k 2 xx 24x x28 282

13、44. 5 分121 2777yk x1,2222由22得 34k x8k x4k120 ， 6 分3x4 y128k24k 212所以 x1x2234k， x1x2234k. 8 分依题意 P x1 ,y1 , Q x2 ,y2 ，且 y1kx11， y2kx21，所以， ky1y2x1x2k x1 x1x2 x2， 10 分其中 xx xx 24x x12 1k， 11 分12121 22234k8k23 1k 2结合 x1x234k 2，可得 k2 . 12 分2k解得 7k29 ，k37 . 13 分719. 本小题总分值 14 分解：由 BCCD ,BCCD2 .z可得 BD22 .

14、由 EAED , 且 EAED2 ，E可得 AD22 .CD又 AB4 .所以 BDAD . 2 分又平面 EAD平面 ABCD ，AB平面 ADE平面 ABCDAD ，xy所以 BD平面 ADE . 4 分如图建立空间直角坐标系Dxyz ，就 D0,0,0， B0,22,0， C2,2,0， E2,0,2 ，BE2,22,2，DE2,0,2 , DC2,2,0 . 6 分设 n x, y, z 是平面 CDE 的一个法向量，就n DE0 , nDC0 ，xz0,即令 xxy0.1 ，就 n1,1, 1 . 7 分设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为，就 sin| cosBE , n| B

15、E n |2222 |2. 8 分| BE | | n |2 333所以 BE 和平面 CDE所成的角的正弦值23. 9分设 CFCE ,0,1 .又 DC2,2,0 , CE22,2,2 , BD0, 22,0 .就 DFDCCFDCCE221,1,. 10 分设 m x, y, z 是平面 BDF一个法向量 , 就 m BDy0,即21x1yz0.0 ， mDF0 ， 11 分令 x1 , 就 m1,0,21 . 12 分假设平面 BDF平面 CDE，就 mn分0 ，即 1210 ，10,1 . 133所以， 在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BDF平面 CDE. 14 分20. 本

16、小题总分值 14 分解：由已知，抛物线W1,W2 的准线分别为xp和 xp ， 2 分2所以，抛物线W1,W2 准线间的距离为p. 4 分2设l1 : yk1x ，代入抛物线方程，得A1, A2 的横坐标分别是2 p4 pkk和2211. 5 分|OA |4 p2k 44 p2k 21|OB |1111，同理1， 7 分|OA2 |16 p2k 416 p22k 2|OB2 |2所以 OA1B111OA2B2 ，所以 A1B1 / A2 B2 . 8 分2设A1 x1, y1， B1 x2 , y2 ，直线A1B1 方程为l A B: xtym1，1 1代入曲线y2 px ，得 y2 pty2

17、 pm10 ，2所以 y1y22 pt ， y1y22 pm1. 9 分由 l1l2 ，得 x1 x2y1 y21122220 ，又 y22 px ， y22 px ，所以 y1 y2y y0 ，由 y y2pm ，得 m2 p . 11 分4 p2121211所以直线A1B1 方程为l A B: xty2 p，1 12同理可求出直线A2B2 方程为l A B: xty4 p .2 2所以 | A1B1 |1ty1y22 p 1t 2t 24 ， 12 分| A2 B2|4 p 1t 2t 24 ，平行线l与 l之间的距离为 d2 p，A1 B1A2 B211t 222所以梯形A1 A2 B2 B1 的面积 S A1B12A2B2 d6 pt4 ， 13 分当 t0 时，梯形12 p2A1A2 B2B1的面积达最小，最小值为212 p . 14 分