第11讲阿氏圆最值模型（原卷版）.docx

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1、中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，O 的半径为R，点 A、B 都在O 外 ，P为O上一动点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定 解决办法：如图2，在线段 OB

2、 上截取OC使 OC=R，则可说明BPO与PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2. 计算出这两条线段的长度比3. 在OB上取一点C，使得，即构造POMBOP，则，4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在RtABC中，C=90，AC=

3、4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为_ 变式练习1如图1，在RTABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求，的最小值. 例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，C的半径为,点B在C上一动点，的最小值为_.变式练习2如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是M上一动点，则PO+2PA的最小值为_.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC1，BD2，P为上一动点，求PC

4、+PD的最小值变式练习3如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_变式练习4（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，B60，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为 图1 图2例题5. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）两点，直线AC

5、：y=x6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形求出此时点E，H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的最小值变式练习5如图1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P

6、，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（090），连接EA、EB，求EA+EB的最小值达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RTABC中，B=90，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，则的最小值_.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PA+PB的最小值为_.3. 如图，等边ABC的边长为6，内切圆记为O，P是O上一动点，则2PB+PC的最小值为_.4. 如图，在R

7、tABC中，C=90，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为 5. 如图，在平面直角坐标系中，P是AOB外部第一象限内的一动点，且BPA=135，则的最小值是多少6. 如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值7. （1）如图1，在ABC中，ABAC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BDCE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB18，BC25，点M是矩形内部一动点，MA15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值