2022年北师版八级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习.docx

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1、北师版八年级数学第 1 章 勾股定理一学问归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；222表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠

2、,没有间隙,面积不会转变22依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4SSS, 41 abbac ,化简可证正方形EFGH正方形ABCD2DCHEGFbaAcB方法二：baaccbcbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc2222abc大正方形面积为Sab 2a 22abb2222所以 abc方法三：S梯形1 ab ab ,S梯形2S ADES ABE21 ab1 c 2 ,化简得证222AaDbccEaBbC .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在

3、的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC 中,C90,就 ca2b 2 , bc2a2 , ac2b2知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系2可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理2假如三角形三边长 a , b , c 满意 abc2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定ab 与较长边的平方22三角形的可能外形,在运

4、用这肯定理时,可用两小边的平方和222c 作比较,如它们相2等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；如a bc2 ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是钝b角三角形；如a22c ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；22定理中 a , b , c 及 a 2bc 2 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a , b , c22满意 acb ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形22 .勾股数能够构成直

5、角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即称 a , b , c 为一组勾股数abc2 中, a , b , c 为正整数时,记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：22n1,2n, n1 （ n2, n为正整数）；2n1,2n22n,2 n 22n1 （ n 为正整数）m2n2,2 mn, m2n 2 （ mn,m , n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角

6、形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在详细推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决 常见图形：CCC30ABA

7、DBBDACBDA题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C90 已知 AC已知 AB6 , BC17, AC8 求 AB 的长22215 ,求 BC 的长分析：直接应用勾股定理a bc解：2ABAC2BC10 BCAB2AC 28题型二：应用勾股定理建立方程例 .在 ABC 中,ACB90 , AB5 cm , BC3 cm , CDAB 于 D , CD 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4 ,斜边长为 15,就这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 cm ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的

8、乘积有时可依据勾股定理列方程求解解： ACAB2BC24 , CDAC BC AB2.4ADBC2设两直角边的长分别为3k , 4k3k 4k 15 ,k3 , S542设两直角边分别为a , b ,就 ab17 , a 2b 289 ,可得 ab60S1 ab30cm2222例 .如图 ABC 中,C90, 12 , CD1.5, BD2.5 ,求 AC 的长CD12AEB分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DEAB 于 E ,12 ,DECD在BDE 中C901.522BED90 , BEBDDE2Rt ACDRt AED ACAE在 Rt ABC 中,C9022ABAC

9、BC 2 , AEEB2AC 242AC3例 4.如图 Rt ABC ,C90AC3, BC4 ,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积CA B答案： 6题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树,一棵高8 cm ,另一棵高 2 cm ,两树相距 8 cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了mAEDBC分析：依据题意建立数学模型,如图AB8m , CD2 m , BC8 m ,过点 D 作 DEAB ,垂足为 E ,22就 AE6 m , DE8 m在 Rt ADE 中,由勾股定理得答案： 10 mADAEDE10题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三

10、角形例 6.已知三角形的三边长为a , b , c ,判定 ABC 是否为 Rt a1.5, b2 , c2.55 a, b2222241, c232解：ab1.526.25 , c2.56.25ABC 是直角三角形且C902 bc 213 , a 225 , b 2c 2a 2ABC 不是直角三角形916例 7.三边长为 a, b , c 满意 ab2解：此三角形是直角三角形10 , ab18 , c8的三角形是什么外形？22理由：abab2ab64 ,且2c 64222abc所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8.已知 ABC 中, AB证明：13 cm

11、, BC10 cm , BC 边上的中线 AD12 cm ,求证： ABACAB DCAD 为中线,BDDC5 cm在 ABD 中,222222ADBD169 , AB16922ADBD2AB,ADB90 ,ACADDC169, AC13 cm ,ABAC一、 挑选题21、在 Rt ABC中, C=90,三边长分别为 a、b、c,就以下结论中恒成立的是 A、2abc2D、2ab c22、已知 x、y 为正数,且 x2-4+（y2-3=0,假如以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形,）那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、153、直角三角形的始终角边长为1

12、2,另外两边之长为自然数,就满意要求的直角三角形共有（ ）A、4 个B、5 个C、6 个D、8 个4、以下命题假如 a、b、c 为一组勾股数,那么 4a、4b、4c 仍是勾股数；假如直角三角形的两边是 3、4,那么斜边必是 5；假如一个三角形的三边是 12、25、21,那么此三角形222必是直角三角形； 一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,（ab=c）,那么 a b c =211；其中正确选项（）A、B、C、D、5、如 ABC的三边 a、b、c 满意 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,就此为（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定6、已知等腰三角形的腰长为

13、10,一腰上的高为 6,就以底边为边长的正方形的面积为（）A、40B、80C、40 或 360D、80 或 3607、如图,在 Rt ABC中, C=90, D为 AC上一点,且 DA=DB=,5 又 DAB的面积为 10,那么 DC的长是（）A、4B、3C、5D、4.5ADC ABCD EADAB第 7 题图CBD第 8 题图BC第 9 题图8、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6, BC=8；现将直角边 AC沿直线 AD折叠,使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,就 CD等于（）A、2 B、3 C、4 D、5 9. 一只蚂蚁从长、宽都是 3,高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬

14、到 B 点,那么它所行的最短路线的长是；10. 在安静的湖面上,有一支红莲,高出水面1 米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2 米,问这里水深是m；二. 解答题1. 如图,某沿海开放城市 A 接到台风警报,在该市正南方向260km的 B 处有一台风中心,沿BC方向以 15km/h 的速度向 D移动,已知城市 A 到 BC的距离 AD=100km,那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？假如在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危急,正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危急？CAD第 1 题图2、数组 3、4、5；

15、5、12、13；7、24、25；9、40、B 41；都是勾股数,如奇数n 为直角三角形的始终角边,用含 n 的代数式表示斜边和另始终角边；并写出接下来的两组勾股数；3、一架方梯长 25 米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 米,（ 1）这个梯子的顶端距 地面有多高？（2）假如梯子的顶端下滑了4 米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3） 当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时,这时梯子的顶端距地面有多高？AA4. 如图, A、B 两个小集镇在河流 CD的同侧,分别到河的距离为 AC=10千米, BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂, 向 A、B 两镇供水, 铺设水管的费用为每千米 3 万, 请你在河流 CD上挑选水厂的位置 M,使铺设水管的费用最节约,并求出总费用是多少？BACDL答案：1-5 DCACC6-8 CBB9、1010、1.5第 4 题图