2022年最全面概率论与数理统计复习资料重点知识点总结.docx

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1、第一章随机大事与概率概率论与数理统计第 10 页,共 5 页1. 大事的关系A BAB ABABAAB2. 运算规章 （ 1） ABBAABBA（ 2） ABCA BC AB CA BC （ 3） ABC AC BC ABC AC BC（ 4） ABABABAB3. 概率P A 满意的三条公理及性质：（ 1） 0P A1（ 2） P1（ 3）对互不相容的大事A1 , A2 , An ,有nPAk k 1nP Ak k 1（ n 可以取）（ 4） P 0（5）P A1P A（ 6）P ABP AP AB ,如 AB ,就PBAPBPA ,P APB（ 7）P ABP APBP AB （ 8）P

2、ABCP AP BPCP ABP AC PBC P ABC4. 古典概型：基本领件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率（ 1） 定义：如PB0 ,就P A | BP ABP B（ 2） 乘法公式：P ABPB P A | B如 B1 , B2 ,Bn 为完备大事组,PBi 0 ,就有（ 3） 全概率公式：P AnP Bi P A | Bi i 1（ 4） Bayes 公式：P Bk| AP Bk P A | Bk nP Bi P A | Bi i 17. 大事的独立性：A, B 独立P AB P A P B（留意独立性的应用）其次章随机变量与概率分布1. 离散随机变量：取有限或可列个值,P

3、 Xxi pi 满意（ 1） pi0 ,（ 2）ipi =1（ 3）对任意 DR, P XDpii: xi D2. 连续随机变量：具有概率密度函数f x ,满意（ 1）f x0,f- x dx1 ；（ 2）PaXbbf xdx ；（ 3）对任意 aaR, P Xa) 03. 几个常用随机变量0q1pppq, k0,1,2,n ,npnpq名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B 1, pPX1p , P X二项式分布Bn, pP Xk C k p k qn knPoisson 分布 PP Xkke, k k.0,1,2,几何分布G pP Xkq k1 p, k1,2,1qpp 2匀称分布U

4、 a,bf x1, a baxb ,abb2a) 212指数分布 Ef xex , x011正态分布 N ,2 f x x 221e2 2224. 分布函数F xP Xx ,具有以下性质（ 1） F 0,F 1；（ 2）单调非降； （ 3）右连续；（ 4）PaXb) F bF a ,特殊P Xa1F a ；（ 5）对离散随机变量,F xi: xipi ；x（ 6）对连续随机变量,F xxf t dt 为连续函数, 且在f x连续点上,F xf x5. 正态分布的概率运算以 x 记标准正态分布N 0,1的分布函数,就有（ 1）00.5 ；（ 2）x1 x ；（ 3）如 X N ,2 ,就F x

5、x ；（ 4）以 u记标准正态分布N 0,1 的上侧分位数,就P Xu 1u6. 随机变量的函数Yg X （ 1）离散时,求 Y 的值,将相同的概率相加；（ 2 ） X 连 续 ,g x在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 就fY yf X g1 y | g1 y |,如不单调,先求分布函数,再求导；第四章随机变量的数字特点1. 期望(1) 离散时E X xi pii, E g X g xi pi；i(2) 连续时E X xf xdx ,E g X g xf xdx ；(3) 二维时Eg X,Yi , jg xi , y j pij, E g

6、X , Y g x,y f x, ydxdy(4) 4ECC ；（5）ECX CE X ；（ 6）E XYE X EY ；（ 7）X ,Y独立时,E XY E X EY2. 方差（ 1）方差D X E XE X 2E X 2 EX 2 ,标准差 X D X ；（ 2） D C 0, D XCD X ；（ 3）D CX C 2 D X ；（ 4）X ,Y独立时,D XY D X DY3. 协方差（ 1） Cov X ,Y E XE X YEY E XY E X EY ；（ 2） Cov X ,YCov Y, X ,Cov aX ,bY abCov X ,Y ；（ 3） Cov X 1X 2 ,Y

7、 Cov X 1,YCov X 2 ,Y ；（ 4） Cov X ,Y0 时,称X ,Y不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价；（ 5） D XY D X DY2Cov X ,Y4. 相关系数Cov X ,YXY；有|XY |1 ,|XY |1a, b,PYaXb1 X Y5. k阶原点矩kE X k , k阶中心矩E XE X kk第五章大数定律与中心极限定理1. Chebyshev 不等式P| XE X |D X 2或 P| XE X |1D X 22. 大数定律3. 中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量X 1 , X 2 , X n独 立 同 分 布E X i 2, D X

8、i , 就niXi 1近似N n , n2 , 或 1Xnn i 12i N ,近似nnX ini 1或n N 0,1 ,近似（ 2 ） 设 m 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ,P Ap , 就 对 任 意 x , 有limnP mnpx npq x 或懂得为如X Bn, p ,就X Nnp, npq近似第六章样本及抽样分布1. 总体、样本（ 1） 简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布（留意样本分布的求法）；（ 2） 样本数字特点：样本均值1nXX in i 1（ E X 2, D X ）；2n2样 本 方 差S1n2n1 i 1 X iX （ES 2 2）

9、 样 本标 准 差nS1n1 i1 XiX 1nk1nk样本 k 阶原点矩kX i,样本 k 阶中心矩k X iX n i 1n i 12. 统计量：样本的函数且不包含任何未知数Xn3. 三个常用分布（留意它们的密度函数外形及分位点定义）2112（ 1）分布222XX122 2 n ,其中X 1 , X 2 , X n独立同分布于标准正态分布N 0,1 ,如 X 2 n, Y 2 n 且独立,就 XY 2 nn 2 ；（ 2） t 分布 tXY / n t n ,其中X N 0,1, Y 2 n 且独立；（ 3） F 分布 FX / n1 F n1 ,n 2 ,其中 X 2n1, Y 2 n2

10、 且独立,有下面的Y / n 2性质1 F n , n ,F n , n 121112FF n2 , n14. 正态总体的抽样分布21n22（ 1） X N ,/ n ；（ 2）2 X i i 1n ；（ 3） n1 S 222 n1 且与 X 独立；（4） tXS /n t n1 ；12（ 5） t XY 12 n1n2 t n1n22 , S2n11S2n21 S2Sn1n2n1n22（ 6） FS1 /22S2 /212F n121, n21第七章参数估量1矩估量：（ 1）依据参数个数求总体的矩； （ 2）令总体的矩等于样本的矩； （ 3）解方程求出矩估量2极大似然估量：（ 1）写出极大似然函数； （ 2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （ 4）令导数或偏导数为 0,解出极大似然估量 （如无解回到 （ 1）直接求最大值, 一般为 min xi 或 max xi ）3. 估量量的评比原就1 无偏性：如E .,就为无偏；2 有效性：两个无偏估量中方差小的有效；4. 参数的区间估量（正态）参数条件估量函数置信区间2 已知ux/n xu2n2tx xtns1未知s /n2n2未知2 n1s2 n1s2n2,21 s22n12 n112