初中几何辅助线大全(20页).docx
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《初中几何辅助线大全(20页).docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中几何辅助线大全(20页).docx(31页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:例1:已知如图1-1:D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.证明:(法一)将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,在AMN中,AMAN MDDENE;(1) 在BDM中,MBMDBD; (2) 在CEN中,CNNECE; (3) 由(1)(2)(3)得: AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC (法二:)如图1-2, 延长BD交 AC于F,延长CE交BF于G
2、,在ABF和GFC和GDE中有: ABAF BDDGGF(三角形两边之和大于第三边)(1) GFFCGECE(同上)(2) DGGEDE(同上)(3) 由(1)(2)(3)得: ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:例如:如图2-1:已知D为ABC内的任一点,求证:BDCBAC。分析:因为BDC与BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使BDC
3、处于在外角的位置,BAC处于在内角的位置;证法一:延长BD交AC于点E,这时BDC是EDC的外角, BDCDEC,同理DECBAC,BDCBAC证法二:连接AD,并延长交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD,同理,CDFCADBDFCDFBADCAD即:BDCBAC。注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如:例如:如图3-1:已知AD为ABC的中线,且12,34,求证:BECFEF。分析:要证BECFEF ,可利用三角形三边关系定理证明
4、,须把BE,CF,EF移到同一个三角形中,而由已知12,34,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF移到同一个三角形中。证明:在DA上截取DNDB,连接NE,NF,则DNDC,在DBE和DNE中:DBEDNE (SAS)BENE(全等三角形对应边相等)同理可得:CFNF在EFN中ENFNEF(三角形两边之和大于第三边)BECFEF。注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。例如:如图4-1:AD为ABC的中线,且12,34
5、,求证:BECFEF证明:延长ED至M,使DM=DE,连接 CM,MF。在BDE和CDM中, BDECDM (SAS) 又12,34 (已知) 1234180(平角的定义) 32=90,即:EDF90 FDMEDF 90在EDF和MDF中 EDFMDF (SAS) EFMF (全等三角形对应边相等) 在CMF中,CFCMMF(三角形两边之和大于第三边) BECFEF注:上题也可加倍FD,证法同上。注意:当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。例如:如图5-1:AD为 ABC的中线,求证:
6、ABAC2AD。分析:要证ABAC2AD,由图想到: ABBDAD,ACCDAD,所以有ABAC BDCDADAD2AD,左边比要证结论多BDCD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明:延长AD至E,使DE=AD,连接BE,则AE2AD AD为ABC的中线 (已知) BDCD (中线定义) 在ACD和EBD中 ACDEBD (SAS) BECA(全等三角形对应边相等) 在ABE中有:ABBEAE(三角形两边之和大于第三边) ABAC2AD。(常延长中线加倍,构造全等三角形)练习:已知ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、
7、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF2AD。六、截长补短法作辅助线。例如:已知如图6-1:在ABC中,ABAC,12,P为AD上任一点。求证:ABACPBPC。分析:要证:ABACPBPC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边ABAC,故可在AB上截取AN等于AC,得ABACBN, 再连接PN,则PCPN,又在PNB中,PBPNBN,即:ABACPBPC。证明:(截长法)在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNAPC (SAS) PCPN (全等三角形对应边相等) 在BPN中,有 PBPN
8、BN (三角形两边之差小于第三边) BPPCABAC证明:(补短法) 延长AC至M,使AMAB,连接PM, 在ABP和AMP中 ABPAMP (SAS) PBPM (全等三角形对应边相等) 又在PCM中有:CMPMPC(三角形两边之差小于第三边) ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形:例如:如图7-1:已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B, 求证:ADBC分析:欲证 ADBC,先证分别含有AD,BC的三角形全等,有几种方案:ADC与BCD,AOD与BOC,ABD与BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。证明:分别延长D
9、A,CB,它们的延长交于E点, ADAC BCBD (已知) CAEDBE 90 (垂直的定义) 在DBE与CAE中 DBECAE (AAS) EDEC EBEA (全等三角形对应边相等) EDEAECEB 即:ADBC。(当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。)八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如:如图8-1:ABCD,ADBC 求证:AB=CD。分析:图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决。证明:连接AC(或BD) ABCD ADBC (已知) 12,34 (两直线平行,内错角相等)在ABC与CDA中 ABCC
10、DA (ASA) ABCD(全等三角形对应边相等)九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。例如:如图9-1:在RtABC中,ABAC,BAC90,12,CEBD的延长于E 。求证:BD2CE 分析:要证BD2CE,想到要构造线段2CE,同时CE与ABC的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA,CE交于点F。 BECF (已知) BEFBEC90 (垂直的定义)在BEF与BEC中, BEFBEC(ASA)CE=FE=CF (全等三角形对应边相等) BAC=90 BECF (已知) BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF (AA
11、S)BDCF (全等三角形对应边相等) BD2CE十、连接已知点,构造全等三角形。例如:已知:如图10-1;AC、BD相交于O点,且ABDC,ACBD,求证:AD。分析:要证AD,可证它们所在的三角形ABO和DCO全等,而只有ABDC和对顶角两个条件,差一个条件,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由ABDC,ACBD,若连接BC,则ABC和DCB全等,所以,证得AD。证明:连接BC,在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如:如图11-1:ABDC,AD 求证:ABCDCB。分析:由ABDC,AD,想到如取AD的中点N
12、,连接NB,NC,再由SAS公理有ABNDCN,故BNCN,ABNDCN。下面只需证NBCNCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有NBMNCM,所以NBCNCB。问题得证。证明:取AD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NC。则AN=DN,BM=CM,在ABN和DCN中 ABNDCN (SAS) ABNDCN NBNC (全等三角形对应边、角相等)在NBM与NCM中 NMBNCM,(SSS) NBCNCB (全等三角形对应角相等)NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在ABC中,BD:DC1:3,AE:ED2:3,求AF:FC。解:过点D
13、作DG如图2,BCCD,AFFC,求EF:FD解:过点C作CG如图3,BD:DC1:3,AE:EB2:3,求AF:FD。解:过点B作BG如图4,BD:DC1:3,AFFD,求EF:FC。解:过点D作DG如图5,BDDC,AE:ED1:5,求AF:FB。2. 如图6,AD:DB1:3,AE:EC3:1,求BF:FC。 答案:1、1:10; 2. 9:1初中几何辅助线二 由角平分线想到的辅助线 口诀:图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
14、对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线;利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线(一)、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图1-1,AOC=BOC,如取OE=OF,并连接DE、DF,则有OEDOFD,从而为我们证明线段、角相等
15、创造了条件。如图1-2,AB2AC2AC3 CAC。3已知:如图2-5, BAC=CAD,ABAD,CEAB,AE=(AB+AD).求证:D+B=180。4.已知:如图2-6,在正方形ABCD中,E为CD 的中点,F为BC 上的点,FAE=DAE。求证:AF=AD+CF。例1 已知:如图2-7,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AE平分CAB交CD于F,过F作FH证:BD=2CE。分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。例3已知:如图3-3在ABC中,AD、AE分别BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD,交AD
16、的延长线于F,连结FC并延长交AE于M。求证:AM=ME。分析:由AD、AE是BAC内外角平分线,可得EAAF,从而有BF12ACDBBDCAABECD已知,如图,C=2A,AC=2BC。求证:ABC是直角三角形。CAB2已知:如图,AB=2AC,1=2,DA=DB,求证:DCACABDC12 3已知CE、AD是ABC的角平分线,B=60,求证:AC=AE+CDAEBDC4已知:如图在ABC中,A=90,AB=AC,BD是ABC的平分线,求证:BC=AB+ADABCD三 由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之
17、和时,一般方法是截长补短法:1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:例1、 已知如图1-1:D、E为ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明:(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 几何 辅助线 大全 20
![提示](https://www.taowenge.com/images/bang_tan.gif)
限制150内