2022年北京海淀高三文科数学第一学期期末试题及答案.docx

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1、12 / 9海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （文）参考答案及评分标准2021 1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、 挑选题（本大题共8 小题 , 每道题 5 分, 共 40 分）题号12345678答案AACBCBDB二、填空题（本大题共6 小题 , 每道题 5 分,有两空的小题，第一空3 分，其次空 2 分，共 30 分）9110 yx;211 312 3,13 4214 0；e三、解答题 本大题共 6 小题 , 共 80 分15（本小题满分13 分）解：（ I ）由于f x 3sin x cosxcos2 x123 sin 2x1 cos2x22sin2 x 6 分

2、6又 f Asin2 A1 ， A 60, ， 7 分所以 2 A , 7 ， 2 A , A 9 分666623（）由余弦定理222abc2bc cos A得到 4925c25c cos22c5c240 11 分解得 c所以 c，所以3 （舍）或83c8 13 分16. （本小题满分 13 分）解：（ I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大 3 分（）这辆汽车是A 类型车的概率约为出租天数为 3天的A 型车辆数33出租天数为3天的A,B 型车辆数总和10313这辆汽车是 A 类型车的概率为3 7 分13（） 50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为Ax33430

3、51567754.62 9 分5050 辆 B 类型车出租的天数的平均数为Bx310410515610754.8 11 分50答案一：一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62 ， B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8 ，挑选 B 类型的出租车的利润较大, 应当购买 B 型车 13 分答案二：一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62 ， B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8 ，而 B 型车出租天数的方差较大，所以挑选A 型车 13分17. （本小题满分 14 分）解： I连接 A1C 交 AC1 于点 O ，连接 EO由于 ACC1 A1 为正方形，所

4、以 O 为 A1C 中点又 E 为 CB 中点，所以 EO 为A1 BC 的中位线，所以 EO / / A1 B 3 分又 EO平面AEC1 ，A1B平面AEC1所以 A1 B / / 平面AEC1 6 分 由于 ABAC ，又 E 为 CB 中点，所以 AEBC 8 分又由于在直三棱柱ABCA1 B1C1 中，BB1底面 ABC ，又 AE底面 ABC ,所以 AEBB1 ,又由于BB1BCB ，所以 AE平面BCC1B1 ，又 B1C平面BCC1 B1 ，所以 AEB1C 10 分在矩形BCC B 中,tanCB CtanEC C2 , 所以CB CEC C ，1111121 11所以CB

5、1C1EC1B90 ，即B1CEC1 12 分又 AEEC1E ，所以B1C平面BCC1 B1 14 分18. （本小题满分 13 分）解：（ I ）由于f 1g 10, 所以 1,0 在函数f x, g x 的图象上又 f xx, g xa x，所以f 11, g 1a所以 a1 3 分（）由于F x1 x21m ln x ，其定义域为 x | x022F xxmx2xxm 5 分当 m0 时，F xmx2mx0 ，xx所以 F x 在 0, 上单调递增，所以 F x 在 1,e 上最小值为 F 10 7 分当 m0 时，令F xmx2mxxx0 ，得到 x1m0, x2m0 舍当 m1 时

6、，即 0m1 时，F x0 对 1,e 恒成立，所以 F x 在 1,e 上单调递增 , 其最小值为 F 10 9 分当 me时，即 me2 时,F x0 对 1,e 成立，所以 F x 在 1,e 上单调递减，其最小值为F e1 21em 11 分222当 1me , 即 1me 时,F x0 对 1,m 成立 ,F x0 对 m,e 成立所以 F x 在 1,m 单调递减 , 在 m,e 上单调递增其最小值为 F m1 m1m lnm1 m1m ln m 13 分22222综上，当 m1 时，F x 在 1,e 上的最小值为F 10当 1me2 时，F x 在 1,e 上的最小值为F m1

7、 m1m ln m222当 me2 时,F x 在 1,e 上的最小值为F e1 21em.2219. （本小题满分 14 分）解：（ I ）由于F 1,0 为椭圆的焦点 ,所以 c1, 又 b23,22所以 a 24, 所以椭圆方程为 xy1 3 分43（）由于直线的倾斜角为45 , 所以直线的斜率为1,所以直线方程为 yx1 , 和椭圆方程联立得到x2y 243yx11 , 消掉 y , 得到7 x28 x80 5 分所以288, x1x288, x1x2277所以 | CD |1k| x1x2 |24 7 分7（）当直线 l 无斜率时 ,直线方程为 x1 ,此时33D 1, , C 1,

8、 ,22ABD,ABC面积相等， | S1S2|0 8 分当直线 l 斜率存在（明显k设 C x1, y1 , D x2 , y2 0 ）时 ,设直线方程为yk x1 k0 ,x2y2和椭圆方程联立得到43yk x1 , 消掉 y 得 34k2 x 218k 2x4k2120明显0 ，方程有根，且 x1x28k 22 , x1x24k212 10 分234k34k此时 | S1S2 | | 2 | y2 | y1 |2 | y2y1 |2 |k x21k x11 |2122 |k xx 2k |12| k | 12 分因 为 k0 , 上 式34k121212332123 ， （ k3时等 号

9、 成2|k |4 |k|24 |k |k |立）所以 | S1S2 |的最大值为3 14 分20. （本小题满分 13 分）f xax 2ax解：（ I ）由题yaxa 在 0, 是增函数，xx由一次函数性质知当 a所以 a0 时， yaxa 在 0, 上是增函数，0 3 分（）由于f x 是“一阶比增函数”，即f x x在 0, 上是增函数，又 x1, x20, ，有 x1x1x2 ， x2x1x2所以 fx1x1f x1 x1x2 ，x2f x2 x2f x1 x1x2 x2 5 分所以 f x1x1 fx1x2 ，f x2x2 f x1x2所以 f x x112f x x2x1 f x1

10、x2 x2 fx1 x1x2x2 12f xx x1x2x1x2所以 f x1f x2f x1x2 8 分（）设f x0 0 ，其中x00 .由于 f x 是“一阶比增函数”，所以当xx0 时，f xf x00法一：取 t0, ，满意f t0 ，记 f tmxx0*由（）知f 2t 2m ，同理f 4t 2 f2 t 4m ，f 8 t2 f 4 t8m所以肯定存在nN ，使得f 2 n t 2 nm2021 ，所以 f x2021肯定有解 13 分法二：取 t0, ，满意f t0 ，记f tk t由于当 xt 时，f xf tk ，所以f xkx 对 xt 成立xt只要 x2021k，就有f xkx2021 ，所以 f x 2021肯定有解 13 分