2022年北师大版数学九级下册知识点总结及例题不错 .docx

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1、精选资料可编辑修改,可打印 别找了你想要的都有！精品训练资料全册教案,试卷,教学课件,教学设计等一站式服务可修改编辑全力满意教学需求,真实规划教学环节最新全面教学资源,打造完善教学模式北师大版数学九年级下册学问点总结及例题第一章直角三角形的边角关系1正切：在 RtABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切,记作 tanA ,即 tan AA的对边 ;A的邻边tanA 是一个完整的符号,它表示 A 的正切,常省去角的符号 “ ”；tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示 “tan ”乘以“A”；tanA 的值越大,梯子越陡, A 越大；

2、 A 越大,梯子越陡, tanA 的值越大；例 在 RtABC 中,假如各边长度都扩大为原先的2 倍,那么锐角 A 的正弦值（）A. 扩大 2 倍B. 缩小 2 倍C.扩大 4 倍D.没有变化2. 正弦：在 Rt ABC 中,锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦,记作 sinA ,即sin AA的对边 ;斜边例 在 ABC中,如C90, sin A1 , AB22 ,就 ABC 的周长为3. 余弦：在 Rt ABC 中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦,记作 cosA ,即cos AA的邻边 ;斜边例 等腰三角形的底角为 30 ,底边长为23 ,就腰长为（）A4B 23C2D 2

3、24. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦；30 o45 o60 o123sin222cos 321222tan3133例 ABC 中,A,B 均为锐角,且有| tan B3 | （2sin A23） 0,就ABC是（）A直角（不等腰）三角形B等腰直角三角形C等腰（不等边）三角形D等边三角形5. 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角6. 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角；由直角三角形中除直角外的已知元素, 求出全部未知元素的过程, 叫做解直角三角形；7. 在ABC 中, C

4、为直角, A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,就有1三边之间的关系： a2+b2=c2；2两锐角的关系： AB=90 ；(3) 边与角之间的关系：sin Aa , csin Bb , ccos Ab , ccosBa , ctan Aa , btan Bb , a(4) 面积公式 : S1 ab21 chc hc 为 C 边上的高 ; 2例 在ABC 中,C90 ,以下式子肯定能成立的是（）A acsin BB ab cosBC ca tan BD ab tan A8. 解直角三角形的几种基本类型列表如下：例ABC 中,C=90 ,AC= 2就 tan A的值为5 ,A 的角平分线交 BC

5、 于 D,且 AD= 4315 ,A、 8155B、 3C、3D、 133例 已知,四边形 ABCD 中,ABC = ADB =求四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD .90 0 ,AB = 5 ,AD = 3 ,BC =23 ,9. 如图 2,坡面与水平面的夹角叫做坡角 或叫做坡比；用字母 i 表示,即ihtan A l例 一人乘雪橇沿坡度为 1:3 的斜坡滑下,滑下距离S（米）与时间 t（秒）之间的关系为 S 10t2t 2 ,如滑动时间为 4 秒,就他下降的垂直高度为A、 72 米B、36 米C、363 米D、183 米10. 从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做

6、方位角；如图 3, OA、OB、OC 的方位角分别为 45、135 、225 ；11. 正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90 的水平角,叫做方向角；如图 4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是； 北偏东 30,南偏东 45东南方向 、南偏西为 60,北偏西 60 ；Bi=h:lhCAl图 2图 3图 4其次章二次函数1. 二次函数的概念：形如 yax2bxca,b, c是常数, a0 的函数,叫做 x 的二次函数；（1） ）自变量的取值范畴是全体实数；（2） ） y2axa0 是二次函数的特例,此经常数 b=c=0.（3） ）在写二次函数的关系式时,肯定要查找两个变量之间的等量

7、关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围 ；2. 二次函数 yax2 的图象是一条顶点在原点且关于y 轴对称的抛物线；描述抛物线常从开口方向、对称性、 y 随 x 的变化情形、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点等方面来描述； 函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在 0,0,对称轴是 y 轴或称直线 x 0；当 a0 时,抛物线开口向上,并且向上方无限舒展；当 a0 时,抛物线开口向下,并且向下方无限舒展；函数的增减性：xA、当 a 0 时x0时, y随x增大而减小;0时, y随x增大而增大 .xB、当 a 0 时x0时, y随x增大而增大 ;0时, y随x增大而减小.当

8、a越大,抛物线开口越小；当a越小,抛物线的开口越大；最大值或最小值：当 a0,且 x 0 时函数有最小值,最小值是 0； 当 a0,且 x 0 时函数有最大值,最大值是 03. 二次函数 yax2c 的图象是一条顶点在 y 轴上且关于 y 轴对称的抛物线二次函数 yax 2c 的图象中, a 的符号打算抛物线的开口方向,|a|打算抛物线的开口程度大小, c 打算抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低；4. 二次函数 yax2bxc 的图象是以 xbb为对称轴,顶点在（,2a2a4acb 24a）的抛物线；（开口方向和大小由a 来打算）5. 二次函数 yax2bxc 的图象与 y ax 2 的图象

9、的关系：yax2bxc 的图象可以由 yax2 的图象平移得到,其步骤如下：将 yax2bxc 配方成 yaxh2k 的形式；（其中 h=b ,2a2k= 4 acb）；4a把抛物线 yax 2 向右（ h0 ）或向左（ h0 ）或向下（ k0 ,就当 xb 时, y 随 x 的增大而增大；如 a0 ,就当 xb 时, y 随 x 的增大而减小；2b4acb最值：如 a0 ,就当 x=2a 时, y最小4a；如 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；b 24ac =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；b 24ac 0 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；例 已知二次函数,且,就肯定有（）

10、A. B.C.D.0例已 知 抛物 线与 x轴有 两个 交 点 , 那 么 一元 二 次 方 程的根的情形是.例 已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为,就=.精选资料第三章圆1. 圆的定义：描述性定义： 在一个平面内, 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周, 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固定的端点 O 叫做圆心；线段 OA 叫做半径；以点 O 为圆心的圆,记作 O,读作“圆 O”集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合； 其中定点叫做圆 心,定长叫做圆的半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大 小,圆心和半径确定的圆叫做定圆；对圆的定义的懂得： 圆是一条封闭曲

11、线,不是圆面；可修改编辑精选资料圆由两个条件唯独确定：一是圆心（即定点）,二是半径（即定长）；2. 点与圆的位置关系及其数量特点：假如圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d,就点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.例 如A 的半径为 5,圆心 A 的坐标是 3 ,4,点 P 的坐标是 5,8,就点 P的位置为（）A、在A 内B、在A 上C、在A 外D、不能确定例 如O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为a,最小距离为 b（ab ）,就此圆的半径为（ ）abB abC ab 或 ab2222D ab或aAb3. 圆的对称性 :（1）与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两

12、点的线段叫做弦 ；直径：经过圆心的弦叫做直径；弧、半圆、优弧、劣弧：可修改编辑弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号 “ ”表示,以 CD 为端点的弧记为 “”,读作 “圆弧 CD ”或“弧 CD ”；半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；为了区分优弧和劣弧, 优弧用三个字母表示； 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形；同心圆：圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆；等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从

13、圆心到弦的距离叫做弦心距.（2） ）圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有许多条对称轴；（3） ）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；说明：依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具备：过圆心；垂直于弦； 平分弦；平分弦所对的优弧； 平分弦所对的劣弧；上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论；（4） ）定理：在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等；推论: 在同圆或等圆中 ,假如两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 ,那么

14、它们所对应的其余各组量都分别相等.例 两个同心圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm ,大圆的弦 BC 与小圆相切,就 BC= cm.例 已知O 的半径为 2cm, 弦 AB 长为 23 cm, 就这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为 A1B2C3D4例 如图为直径是 52cm 圆柱形油槽 ,装入油后 ,油深 CD 为 16cm,O那么油面宽度 AB=cm.AB DC4. 圆周角和圆心角的关系 :（1） ）弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成 360 份时,每一份的角都是 1的圆心角,相应的整个圆也被等分成 360 份,每一份同样的弧叫 1弧.（2） ）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

15、这里指的是角度数与弧的度数相等 ,而不是角与弧相等 .即不能写成AOB=,这是错误的 .（3） ）圆周角的定义 :顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角 ,叫做圆周角 .（4） ）圆周角定理 :一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之,在同圆或等圆中, 相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径；例 下面四个命题中 ,正确的一个是 A平分一条弦的直径必垂直于这条弦B 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C 圆心角相等 , 圆心角所对的弧相等）D 在一个圆中 , 平分一条弧和它所对弦的直线必经过

16、这个圆的圆心例 如图,ABC 内接于O,如A=40 ,就OBC 的度数为（A 20B40 C 50D70 例 如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把 O 点靠在圆周上, 读得刻度 OE=8 个单位,OF=6 个单位, 就圆的直径为（）A 12 个单位B10 个单位C1 个单位D15 个单位5. 确定圆的条件 :（1） ）确定一个圆必需的具备两个条件 :圆心和半径 ,圆心打算圆的位置 ,半径打算圆的大小 .经过一点可以作许多个圆 ,经过两点也可以作许多个圆 ,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 .精选资料（2）

17、）经过三点作圆要分两种情形 :i. 经过同始终线上的三点不能作圆 .ii. 经过不在同始终线上的三点 ,能且仅能作一个圆 .定理: 不在同始终线上的三个点确定一个圆 .(3) 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:i. 三角形的外接圆和圆的内接三角形 : 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形.ii. 三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.iii. 三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等.例 平行四边形的四个顶点在同一圆上,就该平行四边形肯定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D、等腰梯形6. 直线与圆的位置关

18、系1直线和圆相交、相切、相离的定义 :相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.相切:直线和圆有惟一公共点时惟一的公共点做切点 .,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 .（2） ）直线与圆的位置关系的数量特点 :设O 的半径为 r,圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.可修改编辑精选资料d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.（3） ）切线的判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（4） ）切线的性质定理 :圆的切线垂直于过切点的半径 .推论 1： 经过

19、圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论 :假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,就可推出第三个 .垂直于切线 ; 过切点; 过圆心.（5） ）三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.（6） ）三角形内心的性质 :i. 三角形的内心到三边的距离相等 .ii. 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的帮助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 .

20、例 以下四个命题中正确选项（）与圆有公共点的直线是该圆的切线可修改编辑精选资料垂直于圆的半径的直线是该圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线过圆直径的端点,垂直于此直径的直线是该圆的切线A、B、C、D、例 过O 外一点 P 作O 的两条切线 PA、PB,切点为 A 和 B,如 AB=8 ,AB的弦心距为 3,就 PA 的长为可修改编辑A、5B、20C、 25D、833例 如图, P 为O 外一点, PA 、PB 分别切O 于 A、B,CD 切O 于点 E,分别交 PA、PB 于点 C、D,如 PA=5 ,就PCD 的周长为（）A 5B 7C8D107. 圆和圆的位置关系 .（1） ）

21、外离、外切、相交、内切、内含 包括同心圆 这五种位置关系的定义 .外离: 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.外切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 , 每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点 .相交: 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 .内切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外 , 一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点 .内含: 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内含

22、的一个特例.（2） ）两圆位置关系的性质与判定 :两圆外离 dR+r两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdR+r R r两圆内切 d=R-r Rr两圆内含 dr（3） ）相切两圆的性质 :假如两个圆相切 ,那么切点肯定在连心线上 .（4） ）相交两圆的性质 :相交两圆的连心线垂直平分公共弦 .例 已知O1 的半径 r 为 3cm ,O2 的半径 R 为 4cm ,两圆的圆心距 O 1O2 为 1cm ,就这两圆的位置关系是（）（A）相交（B）内含（C）内切（D）外切8. 弧长及扇形的面积（1） ） 圆周长公式 :圆周长 C=2R R 表示圆的半径 （2） ）弧长公式 :弧长ln RR 表示圆的

23、半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 180（3） ）扇形定义 :一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.（4） ）弓形定义 :由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 .弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高 .（5） ）圆的面积公式 .圆的面积 SR2R 表示圆的半径 （6） ）扇形的面积公式 :扇形的面积S扇形2n RR 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数 360（7） ）弓形的面积公式 :ABOOOABABCCC(1) 当弓形所含的弧是劣弧时 ,S弓形S扇形S三角形(2) 当弓形所含的弧是优弧时 ,S弓形S扇形S三角形(3) 当弓形所含的弧是半圆时 ,S弓形1R22S

24、扇形例 如图,一块边长为 8 cm 的正三角形木板 ABC,在水平桌面上绕点 B 按顺时针方向旋转至 A BC 的位置时,顶点 C 从开头到终止所经过的路径长为 点 A、 B、C在同始终线上 （）CARo60ABCA、16 B、 8 C、 64 D、16 333例 要修一段如上图所示的圆弧形弯道, 它的半径是 48 m ,圆弧所对的圆心角是60 ,那么这段弯道长_m保留.2例 两同心圆中,大圆的弦 AB 切小圆于 C 点,且 AB=20cm, 就夹在两圆间的圆环面积是cm9. 圆锥的有关概念 :（1） ） 圆锥可以看作是一个直角三角形围着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而

25、成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面 .（2） ） 圆锥的侧面绽开图与侧面积运算 :圆锥的侧面绽开图是一个扇形 ,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.假如设圆锥底面半径为 r,侧面母线长 扇形半径 是 l, 底面圆周长 扇形弧长为 c,那么它的侧面积是 :侧S1 cl2SS1 2 rlrl 2Srlr 2r rl 表侧底面例 一个圆锥的底面半径为3,高为 4,就圆锥的侧面积是；例 圆锥的底面半径为3cm, 侧面绽开图是圆心角为120 o的扇形,求圆锥的侧面积；10. 与圆有关的帮助线（1） ）如圆中有弦的条件 ,常作弦心距 ,或过弦的一端

26、作半径为帮助线 .（2） ）如圆中有直径的条件 ,可作出直径上的圆周角 .（3） ）如一个圆有切线的条件 ,常作过切点的半径 或直径为帮助线 .（4） ）如条件交代了某点是切点时 ,连结圆心和切点是最常用的帮助线 .第四章统计与概率1. 试验频率与理论概率的关系只是在试验次数许多时,试验频率接近于理论概念,但试验次数再多 , 也很难保证明验结果与理论值相等,这就是 “随机大事 ”的特点.2. 嬉戏的公正性是指嬉戏双方各有50% 赢的机会 ,或者嬉戏多方赢的机会相等 .3. 表示一个大事发生的可能性大小的数叫做该大事的概率. 一个大事发生的概率取值在 0 与 1 之间.4. 概率的猜测的运算方法

27、 :某大事 A 发生的概率 :大事 A包含的基本领件的个数P基本领件的总数5. 用分析的方法求大事发生的概率要留意关键性的两点: 1要弄清晰我们关注的是发生哪个或哪些结果;2要弄清晰全部机会均等的结果.例 如图是某校九年级一班 50 名同学的一14%22%次数学测验成果的扇形统计图,按图中划分的分数段,这次测验成果中所占百分比36%28%85 分以上80 分84 分70 分79 分60 分69 分最大的分数段；85 分以上的共有 人；例 下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图；依据统计图,下面对全年食品支出费用判定正确选项（）A、甲户比乙户多衣 着食 品衣 着 食 品25%31%23

28、%34%B、B、乙户比甲户多C、甲、乙两户一样多D、无法确定哪一户多教 育23%其 他21%甲教 育19%其 他24%乙例 甲乙二人参与某体育项目训练,为了便于讨论,把最近五次训练成果分别用实线和虚线连结,如下列图,下面的错误选项A. 乙的其次次成果与第五次成果相同B. 第三次测试甲的成果与乙的成果相同C. 第四次测试甲的成果比乙的成果多2 分D. 五次测试甲的成果都比乙的成果高例 如图是一个木制圆盘,图中两同心圆 ,其中大圆直径为 20cm , 小圆的直径为 10cm , 一只小鸟自由悠闲地在空中飞行,小鸟停在小圆内 阴影部分 的概率是；例 如下列图的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,那么两个指针同时落在偶数上的概率是（）A. 52519B. 625C. 1025124276D255343THANKS .致力为企业和个人供应合同协议, 策划案方案书, 学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载,资料仅供参考